D´epartement de math´ematiques et de statistique MAT 2100
Universit´e de Montr´eal Analyse 3
TP-3
mardi 7 f´evrier 2017 de 10h30 `a 12h30 local Z-260, pavillon Claire-McNicoll
Exercice 1([1], Exercice 7, p. 91]). (i) On se donne f :R2→R
f(x, y)d´=ef
xy2
x2+y4, si(x, y)6= (0,0) 0, si(x, y) = (0,0)
.
Montrer quef est born´ee surR2 et n’est pas continue en(0,0), mais que sa restriction `a toute droite passant par(0,0) est continue.
(ii) On se donne la fonction g:R2→R
g(x, y)d´=ef
xy2
x2+y6, si(x, y)6= (0,0) 0, si(x, y) = (0,0)
.
Montrer que g n’est born´ee sur aucun voisinage de (0,0) et n’est pas continue en (0,0), mais que sa restriction `a toute droite passant par (0,0)est continue.
Exercice 2. Soitf :X→Y etg:Y →Z. Alors, pour les applications induites, on a(g◦f)−1=f−1◦g−1.
Exercice 3. (i) Soit un ensemble arbitraireXet soit{Aα}un recouvrement deX par des sous-ensembles de X.
(ii) Soit Y un autre ensemble et une famille fα:Aα →Y d’applications tel que
∀α, β, fα|Aα∩Aβ =fβ|Aα∩Aβ.
Alors, il existe une application unique f :X →Y qui est un prolongement de chaquefα :
∀α, f|Aα =fα.
Exercice 4. Soit f : X →Y et g : Y → X tel queg◦f = IX o`u IX est la fonction identit´e surX. Alorsf est injective etg est surjective.
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Exercice 5 ([1], Exercice 3, p. 91]). Soit f : (X, dX) → R une application continue. Montrer que
f−1{0}d´=ef{x∈X :f(x) = 0}
(1)
est ferm´e dans(X, d).
Exercice 6 ([1], Exercice 4, p. 91]). Soient f, g : (X, dX) → (Y, dY) deux applications continues entre deux espaces m´etriques etEun sous-ensemble dense dans(X, d). Montrer que
(i) f(E)est dense dans (f(X), dY); (ii) f=g surE entraˆıne f =g surX.
R´ ef´ erences
[1] W. Rudin,Principes d’analyse math´ematique, ´Ediscience, Paris 1995 et Dunod, Paris 2006 [traduction de l’anglais, Principles of mathematical analysis, McGraw–Hill, New York, 1958, 1964, 1976.
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