D´epartement de math´ematiques et de statistique

D´epartement de math´ematiques et de statistique MAT 2100

Universit´e de Montr´eal Analyse 3

TP-1

mardi 17 janvier 2017 de 10h30 `a 12h30 local Z-260, pavillon Cliare-McNicoll

Exercice 1 ([1], exercice 1, p. 21]). Montrer que si r ∈Qet s∈R\Q, alors r+s∈R\Qetrs∈R\Q∪{0}.

Exercice 2([1], exercice 5, p. 21]). Soit A,∅6=A⊂Ret

−A^d´=^ef{−a:a∈A}. Montrer queinfA=−sup(−A).

Exercice 3. D´emontrer les r´esultats suivants.

(i) L’ensemble des irrationnelsR\Qn’est pas d´enombrable.

(ii) Le segment ]a, b[ et le segment ]c, d[ ont le mˆeme cardinal.

(iii) Le segment ]0,1[ et Ront le mˆeme cardinal.

Exercice 4([1], exercice 17, p. 22]). Soient x, y∈R^k. ´Etablir que kx+yk²+kx−yk²= 2kxk²+ 2kyk².

Interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.

Exercice 5([1], exercice 18, p. 22]). Soitx∈R^k,k≥2. D´emontrer qu’il existe y∈R^k,y6= 0, tel quex·y= 0.

Exercice 6. SoitR+={x∈R:x≥0}.

(i) Montrer que, pour tout espace m´etrique (X, d) et pour toute constante α >0, la fonction

(x, y)7→(αd)(x, y)^d´=^efα d(x, y) est une m´etrique surX.

(ii) Sid1 etd2 sont deux m´etriques surX, montrer que la fonction

(x, y)7→(d!+d2)(x, y)^d´=^efd1(x, y) +d2(x, y) est une m´etrique surX.

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(iii) Montrer que, pour tout espace m´etrique(X, d), la fonction (x, y)7→d(x, y)^d´=^ef d(x, y)

1 +d(x, y) est une m´etrique surX.

Exercice 7. Soient(Xi, di),1≤i≤n, des espaces m´etriques et X1× · · · ×Xn

d´ef

={(x1, . . . , xn) :xi∈Xi} (1)

l’espace produitdes Xi. Montrer que la fonction

(x, y) = ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn))7→d∞(x, y)^d´= max^ef

1≤i≤ndi(xi, yi) : (X1× · · · ×Xn)×(X1× · · · ×Xn)→R+

(2)

est une m´etrique surX1× · · · ×Xn. De la mˆeme fa¸con, pour toutp,1≤p <∞, montrer que la fonction

dp(x, y)^d´=^ef ( _n

X

i=1

di(xi, yi)^p )1/p

(3)

est une m´etrique surX1×· · ·×Xn. (Utiliser l’in´egalit´e de Minkowski du Th´eor`eme 1.1 du Chapitre 3)

Exercice 8. Soit E un espace vectoriel norm´e au sens des D´efinitions 1.1 et 4.4 du Chapitre 2. Montrer que

d(x, y)^d´=^efkx−yk est une m´etrique surE.

Exercice 9([1], exercice 7, p. 41]). SoientA1, A2, . . . des sous-ensembles d’un espace m´etrique. On pose

Bn=∪ⁿ_i=1Ai et B =∪^∞_i=1Ai. D´emontrer que

∀n≥1, Bn=∪ⁿ_i=1Ai et B⊃ ∪^∞_i=1Ai. Donner un exemple o`u l’inclusion est stricte.

Exercice 10 ([1], exercice 5, p. 41]). Donner un exemple d’un ensemble born´e de Rayant exactement trois points d’accumulation.

Exercice 11([1], exercice 6, p. 41]). On d´esigne par E^′ l’ensemble des points d’accumulation d’un sous-ensemble d’un espace m´etrique(X, d). ´Etablir queE^′ est ferm´e et queE et E ont les mˆemes points d’accumulation. E etE^′ ont-ils toujours les mˆemes points d’accumulation ?

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R´ ef´ erences

[1] W. Rudin,Principes d’analyse math´ematique, ´Ediscience, Paris 1995 et Dunod, Paris 2006 [traduction de l’anglais, Principles of mathematical analysis, McGraw–Hill, New York, 1958, 1964, 1976.

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