D´epartement de math´ematiques et de statistique MAT 2100
Universit´e de Montr´eal Analyse 3
TP-5
mardi 7 mars 2017 de 10h30 `a 12h30 local Z-260, pavillon Claire-McNicoll
Exercice 1. Soit Ω un sous-ensemble ouvert non-vide de Rn. Montrer qu’il existe une suite croissante de compacts non vides Kk tel que Ω =∪k≥1Kk et, pour tout compact K ⊂ Ω, il existe k ≥ 1 tel que K ⊂ Kk. (Indice. Lorsque
∂Ω6=∅, prendre∀k≥1, Kk d´ef
={x∈Rn :kxk ≤k etd∁Ω(x)≥1/k}.) Exercice 2. SoitΩ un ouvert non-vide deRn et
C(Ω)d´=ef{f : Ω→R|f continue surΩ}
l’espace des fonctions continues sur Ω, o`u Ω n’est pas n´ecessairement born´e.
Soit {Kk} la famille des sous-ensembles compacts construite dans l’Exercice 1 et pour toutf ∈C(Ω) etk≥1 on pose
qk(f)d´= supef
x∈Kk
|f(x)|.
Montrer que la fonction
d(f, g)d´=ef
∞
X
k=1
1 2k
qk(f−g) 1 +qk(f−g)
est une m´etrique surC(Ω).
Exercice 3(Arzel`a-Ascoli). Soit(X, d)un espace m´etrique compact. On d´enote parC0(X;Rk)d´=efn
f :X→Rk|f continue surXo
l’espace complet pourk≥1 et la norme
kfkC0 d´ef
= sup
x∈X
kf(x)k, kyk=
k
X
i=1
|yi|2
!1/2 . (1)
D´emontrer les ´enonc´es suivants.
(i) SiS est un sous-ensemble compact deC0(X;Rk), alors S est ferm´e, (a) S est uniform´ement ´equicontinu et
(b) S est uniform´ement born´e, c’est-`a-dire,
∃M >0, ∀f ∈S, ∀x∈X,kf(x)k ≤M.
(ii) R´eciproquement, siS est un sous-ensemble deC0(X;Rk)v´erifiant (a) et (b), alors l’adh´erenceS de S est compacte dansC0(X;Rk).
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R´ ef´ erences
[1] W. Rudin,Principes d’analyse math´ematique, ´Ediscience, Paris 1995 et Dunod, Paris 2006 [traduction de l’anglais, Principles of mathematical analysis, McGraw–Hill, New York, 1958, 1964, 1976.
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