D´epartement de math´ematiques et de statistique MAT 2100
Universit´e de Montr´eal Analyse 3
TP-9
mardi 11 avril 2017 de 10h30 `a 12h30 local Z-260, pavillon Claire-McNicoll Exercice 1. On dit queC⊂Rn est un cˆone de sommet 0si
∀x∈C,∀λ >0, λx∈C.
(1)
(i) Soitf :Rn→Rune fonction convexe Gateaux diff´erentiable en tout point d’un cˆone convexe C. Montrer que argminf(C)6=∅si et seulement si
∃x∈C, ∇f(x)·x= 0 et ∀y∈C, ∇f(x)·y≥0.
(2)
(ii) Trouver le ou les points minimisants pour
C={(x1, x2) :x1≥0 etx2≥0}et f(x1, x2) = (x1+ 1)2+ (x2−1)2.
Exercice 2. Pourε >0, une matricem×net un vecteurc∈Rm on consid`ere le probl`eme suivant :
inf
x∈Rnf(x) +εkxk2Rn, f(x)d´=efkAx−ck2Rm. (3)
(i) Montrer quef est convexe surRn,
(ii) Donner les conditions n´ecessaires et suffisantes pour l’existence d’une solution au probl`eme(3)et montrer qu’il y a toujours existence et unicit´e lorsqueε >0.
(iii) Donner les conditions n´ecessaires et suffisantes pour l’existence d’une solution au probl`eme (3)pourε= 0. Sont-elles toujours v´erif´ees ? Exercice 3. SoitB une matricen×nsym´etrique et d´efinie positive. On associe
`
aB la fonction
f(x)d´=ef Bx·x
kxk2 , x6= 0, (4)
o`u kxk est la norme euclidienne dansRn.
(i) Montrer qu’il existex∗∈Rn tel quekx∗k= 1 et f(x∗) = inf
06=x∈Rn
Bx·x kxk2 . (5)
1
(ii) Montrer qu’il existe une constanteβ >0 tel que
∀x∈Rn, Bx·x≥βkxk2. (6)
(iii) Montrer quef est Hadamard/Fr´echet diff´erentiable en x6= 0 et donner l’expression de son gradient. En d´eduire que la plus petite constante β v´erifiant (6) est la plus petite valeur propre de la matriceB.
Exercice 4. Soient A et B deux matrices sym´etriques n×n. On suppose B d´efinie positive. Pourx∈Rn,x6= 0, on d´efinit la fonction
f(x)d´=ef Ax·x Bx·x. (7)
(i) Montrer que l’ensemble U d´=ef {x ∈ Rn : Bx·x = 1} est non-vide et compact.
(ii) Montrer qu’il existexˆ∈Rn tel queBxˆ·xˆ= 1 et f(ˆx) = inf
06=x∈Rn
Ax·x Bx·x. (8)
(iii) Calculer ∇f(x) pour x6= 0 et caract´eriser x. Montrer que pour toutˆ λ tel qued´et (A−λB) = 0, on af(ˆx)≤λ.
2
