D´epartement de math´ematiques et de statistique

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D´epartement de math´ematiques et de statistique MAT 2100

Universit´e de Montr´eal Analyse 3

Quiz # 1

mardi 31 janvier 2017 de 10h30 `a 12h00 local Z-260, pavillon Claire-McNicoll Directives p´edagogiques:

•Les livres, notes de cours, calculatrices, ordinateurs, téléphones portables et appareils électroniques de tous genres ne seront pas permis.

•Les solutions bas´ees sur des dessins ne seront pas accept´ees

•R´epondre au maximum de questions : note maximale 85.

Question 1. Le Grand Hôtel de Hilbert possède un nombre dénombrable de chambres numérotées 1,2,3, . . .. Chaque chambre ne peut être occupée que par une seule personne. Ce jour là toutes les chambres sont occupées.

(i) (5 points) Un nouveau client se présente à la réception et demande une chambre. Est-il possible d’accommoder ce client supplémentaire ? Si oui, décrire et justifier la stratégie que doit adopter le réceptioniste.

(ii) (5 points) Répéter la partie (i) pour un nombre dénombrable de nouveaux clients.

Solution. (i) Le réceptioniste fait déménager l’occupant de la chambre 1 dans la chambre 2, celui de la chambre 2 dans la chambre 3 et ainsi de suite libérant la chambre 1 pour le nouveau client. La stratégie est basée sur le fait qu’il y a une bijectionx7→x+ 1 entreN={1,2, . . .}etN\{1}={2,3, . . .}.

(ii) Le réceptioniste fait déménager l’occupant de la chambre 1 dans la chambre 2, celui de la chambre 2 dans la chambre 4 et ainsi de suite libérant les chambres impaires 1,3,5, . . . pour les nouveaux clients. La stratégie est basée sur le fait qu’il y a une bijection qui réassigne les clients déjà dans l’hôtel dans des chambres paires

x7→f(x)^d´= 2x^ef :N→2N, x7→f⁻¹(x) =x/2 : 2N→N. et une bijection qui assigne les nouveaux clients dans des chambres impaires

y7→g(y)^d´= 2y^ef −1 :N→N\2N, y7→g⁻¹(y) = (y+ 1)/2 :N\2N→N.

Question 2. Soitf :X×X→R,X6=∅, vérifiant les proprétés suivantes : (P1) f(x, y) = 0 ⇐⇒ x=y;

(P2) f(x, y) =f(y, x) ;

(P3) f(x, y)≤f(x, z) +f(z, y).

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(i) (5 points) D´emontrer que

∀x, y∈X, f(x, y)≥0.

(ii) (5 points) Que peut-on dire de plus surf?

Solution. (i) De (P1), pour tout x∈X, f(x, x) = 0, et, pour tout y ∈ X, de (P3) et (P2)

0 =f(x, x)≤f(x, y) +f(y, x) = 2f(x, y) ⇒ f(x, y)≥0.

(ii) De (i)f :X×X →R₊et pour cette fonction (P1) à (P3) sont les trois autres propriétés qui définissent une métrique surX.

Question 3. SoitEune partie d’un espace m´etrique (X, d). Donner les d´efini- tions suivantes :

(i) (2 points) un point isolé deE; (ii) (2 points) un point d’adhérence deE; (iii) (2 points) un ensemble ouvert ; (iv) (2 points) un ensemble fermé ;

(v) (2 points) un ensemble born´e ; (vi) (2 points) un ensemble compact ; (vii) (2 points) un suited-Cauchy ; (viii) (2 points) un suited-convergente ;

(ix) (2 points)E dense dans (X, d) ;

(x) (2 points)E s´equentiellement compact dans (X, d).

Question 4. (10 points) Est-ce que tous les points int´erieurs d’une partieE d’un espace m´etrique (X, d) sont des points d’accumulation deE. Justifier ou donner un contre-exemple.

Solution. Bien que le résultat soit vrai dansRⁿ muni de la métrique qui corres- pond à la normekxkp, 1≤p≤ ∞, il y a un contre-exemple dans le cas général.

Il suffit de prendre X = {0,1}, l’ensemble à deux points, avec la métrique d(x, y) =|x−y|. Alors, chaque point est un point intérieur deX car

B1/2(0) ={0} ⊂ {0,1}=X et B1/2(1) ={1} ⊂ {0,1}=X, mais ce ne sont pas des points d’accumulation car

B^′_1/2(0) =∅ et B_1/2^′ (1) =∅.

PourRⁿ, sixest un point int´erieur d’un sous-ensembleE ⊂Rⁿ, alors il existe r0>0 tel queBr0(x)⊂E. Donc

B^′_r0(x)∩E=B^′_r0(x)6=∅ et ∀r^′, 0< r^′≤r0, B^′_r′(x)∩E=B_r^′′(x)6=∅,

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carB_r^′′(x) ={y ∈Rⁿ : 0< d(y, x)< r^′} n’est pas vide. Finalement, pour tout r >0, min{r, r0}>0 et

B_r^′(x)∩E⊃B_min{r,r^′ ₀_}(x)∩E=B_min{r,r^′ ₀_}(x)6=∅. Le pointxest bien un point d’accumulation.

Question 5. (10 points) SoitR⁺={x∈R:x >0}avec la m´etriqued(x, y) =

|x−y|. La suite{1/n}est-elled-convergente dansR⁺? Justifier.

Solution. Par l’absurde. Si la suite est convergente dansR⁺, il existe x∈R⁺, c-`a-d.,x >0, tel que

∀ε >0,∃N tel que ∀n > N, 1 n−x

< ε.

On choisitε=x/2>0. Alors, pour tout entiern≥2/x, x−1

n ≥x−x 2 =x

2 =ε >0

⇒ ∀n≥ 2 x,

x− 1 n

≥ε

et 1/nne peut converger vers x. Bien que la suite soit Cauchy, il n’existe pas de limite dansR⁺.

Question 6. (10 points) Soit E un sous-ensemble ferm´e d’un espace m´etrique complet (X, d). Est-ce queE est complet ? Justifier.

Solution. Soit{xn}une suite de Cauchy dansE. Comme (X, d) est complet, il existex∈X tel quexn →xdans (X, d). Pour toutr >0, il existeN tel que pour toutn > N,d(xn, x)< ret Br(x)∩E6=∅. Par définition,xest un point d’adhérence deE, c’est-à-dire,x∈E. Comme E est fermé,E =E et x∈E.

L’espace (E, d) est donc complet.

Question 7. Soient a,b,c trois lettres distinctes et une m´etrique arbitraired faisant deX ={a, b, c}un espace m´etrique.

(i) (5 points) ´Enum´erer tous les ouverts de (X, d). Justifier.

(ii) (5 points) ´Enum´erer tous les compacts de (X, d). Justifier.

(iii) (5 points) Est-ce que (X, d) est complet ? Justifier.

Solution. (i) Commedest une m´etrique et quea6=b,b6=cet c6=a, d(a, b)>0, d(b, c)>0, d(c, a)>0 ⇒ δ^d´= min{d(a, b), d(b, c), d(c, a)}^ef >0.

La bouleBδ/2(a) ne contient que le pointa puisque d(b, a)> d(b, a)/2 ≥δ et qued(c, a)> d(c, a)/2≥δ. DoncBδ/2(a) ={a}et{a}est ouvert. Par le mˆeme

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raisonnement{b}et{c}sont ouverts. Comme l’union d’ouverts est ouverte, tous les sous-ensembles deX sont ouverts.

(ii) Comme X ne contient qu’un nombre fini d’éléments, tous les sous- ensemblesE deX ne contienent qu’un nombre fini d’éléments deX. Par con- séquent, tout recouvrement ouvert {Gα} de E possède un sous-recouvrement fini d’au plus 3 éléments. Il suffit de prendre pour chaquex∈E unGα qui le contient.

(iii) De la partie (ii), X est compact et l’on a d´emontr´e que tout compact est complet.

Question 8. (Bonus) Soit kxk_Rⁿ la norme euclidienne sur Rⁿ pour n≥1 un entier. On dénote pardn(y, x) =ky−xk_Rⁿ la métrique correspondante. Soit le pointp= (0,1)∈R² et le cercle de rayon un centré en (0,0) :

S^{(1) d´}=^ef

x= (x1, x2) :kxk_R² ^d´=^ef q

x²₁+x²₂= 1

⊂R².

(i) (10 points) Montrer que l’application x= (x1, x2)7→ϕ(x)^d´=^ef x1

1−x2

:S⁽¹⁾\{p} →R (1)

est une bijection et donner l’expression de l’application inverseϕ⁻¹. (ii) (5 points) En utilisant le fait que ϕ⁻¹ est inversible, montrer que la

fonction

(x, y)7→ρ(x, y)^d´=^efd2(ϕ⁻¹(x), ϕ⁻¹(y)) :R×R→R₊ (2)

est une m´etrique surR.

Solution. On remarque que la fonction est bien d´efinie car si x2 = 1 annulait le d´enominateur, alors, comme x²₁+x²₂ = 1, on aurait x1 = 0. Mais le point p= (0,1) est exclus. On a donc toujoursx2<1.

(i) (ϕest injective). Soientx, z∈S⁽¹⁾\{p}tel que ϕ(x) =ϕ(z) : x1

1−x2

= z1

1−z2

, x²₁+x²₂= 1 =z²₁+z₂², x2<1 etz2<1.

On prend le carr´e x²₁

(1−x2)² = z₁²

(1−z2)² ⇒ 1−x²₂

(1−x2)² = 1−z₂²

(1−z2)² ⇒ 1 +x2

1−x2

= 1 +z2

1−z2

etx2=z2. Enfin x1

1−x2

= z1

1−z2

= z1

1−x2

⇒ y1=z1.

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(ϕest surjective). Pour touty∈R, on cherche (x1, x2) tel que x1

1−x2

=y, x²₁+x²₂= 1, x2<1.

On prend les carr´es x²₁

(1−x2)² =y² ⇒ 1−x²₂

(1−x2)² =y² ⇒ 1 +x2

1−x2

=y² ⇒ x2= y²−1 y²+ 1

⇒ 1−x2= y²+ 1

y²+ 1−y²−1 y²+ 1 = 2

y²+ 1 x1=y(1−x2) = 2y

y²+ 1. Finalement,

ϕ⁻¹(y) = 2y

y²+ 1,y²−1 y²+ 1

et on a une bijection.

(ii) Par d´efinition, puisqued2est une m´etrique,

ρ(x, y) =d2(ϕ⁻¹(x), ϕ⁻¹(y))≥0 ⇒ ρ:X×X→R₊. Pour (M1)

0 =ρ(x, y) =d2(ϕ⁻¹(x), ϕ⁻¹(y)) ⇐⇒ ϕ⁻¹(x) =ϕ⁻¹(y) ⇐⇒ x=y.

Pour (M2)

ρ(x, y) =d2(ϕ⁻¹(x), ϕ⁻¹(y)) =d2(ϕ⁻¹(y), ϕ⁻¹(x)) =ρ(y, x).

Pour (M3) etx, y, z∈R

d2(ϕ⁻¹(x), ϕ⁻¹(z))≤d2(ϕ⁻¹(x), ϕ⁻¹(y)) +d2(ϕ⁻¹(y), ϕ⁻¹(z))

⇒ ρ(x, z)≤ρ(x, y) +ρ(y, z).

La fonctionρest donc bien une m´etrique surR.