D´epartement de math´ematiques et de statistique

D´epartement de math´ematiques et de statistique MAT 2100

Universit´e de Montr´eal Analyse 3

TP-5

mardi 7 mars 2017 de 10h30 `a 12h30 local Z-260, pavillon Claire-McNicoll

Exercice 1. Soit Ω un sous-ensemble ouvert non-vide de Rⁿ. Montrer qu’il existe une suite croissante de compacts non vides Kk tel que Ω =∪k≥1Kk et, pour tout compact K ⊂ Ω, il existe k ≥ 1 tel que K ⊂ Kk. (Indice. Lorsque

∂Ω6=∅, prendre∀k≥1, Kk d´ef

={x∈Rⁿ :kxk ≤k etd∁Ω(x)≥1/k}.)

Corrig´e de l’Exercice 1. (i) Si ∂Ω =∅, alors, comme Ω est ouvert,∁Ω =∁Ω et

∅= Ω∩∁Ω = Ω∩∁Ω ⇒ Ω⊂Ω⊂Ω ⇒ Ω = Ω.

Ω est donc un sous-ensemble non-vide `a la fois ferm´e et ouvert de l’espace connexeRⁿ. Ce n’est possible que si Ω =Rⁿ. Dans ce cas on prend la suite de compacts

∀k≥1, Kk d´ef

= {x∈Rⁿ:kxk ≤k}

qui satisfait toutes les conditions.

(ii) Si∂Ω6=∅, alors Ω∩∁Ω6=∅,∁Ω et Ω ne sont pas vides et∁Ω est ferm´e. La fonction distanced∁Ω(x) dex`a ∁Ω est bien d´efinie. On prend

∀k≥1, Kk d´ef

= {x∈Rⁿ:kxk ≤ket d∁Ω(x)≥1/k}.

Comme la norme et la fonction distance sont des fonctions continues, Kk est ferm´e. Par d´efinition,Kk est contenu dans la boule compacteBk(0) deRⁿ. Les ensemblesKk sont donc compacts comme sous-ensembles ferm´es de compacts.

Enfin, pour toutk≥1,

∀x∈Kk, d∁Ω(x)≥1/k >0 ⇒ x /∈∁Ω ⇒ x∈Ω ⇒ Kk ⊂Ω.

La suite est croissante. Soit k^′ ≥ k ≥ 1 et x ∈ Kk. Alors kxk ≤ k ≤ k^′, d∁Ω(x)≥1/k≥1/k^′ et Kk⊂Kk^′.

Enfin, soit K ⊂ Ω un compact. Comme la norme et la fonction distance sont des fonctions continues sur le compactK :

∃xM ∈K tel quekxMk= sup

x∈K

kx|| et ∃xm∈K tel qued∁Ω(xm) = inf

x∈Kd∁Ω(x) et, comme xm ∈ K ⊂ Ω, d∁Ω(xm) > 0. Il suffit enfin de prendre un entier k≥max{1,kxMk,1/d∁Ω(xm)} ce qui entraˆıneK⊂Kk.

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Exercice 2. SoitΩ un ouvert non-vide deRⁿ et

C(Ω)^d´=^ef{f : Ω→R|f continue surΩ}

l’espace des fonctions continues sur Ω, o`u Ω n’est pas n´ecessairement born´e.

Soit {Kk} la famille des sous-ensembles compacts construite dans l’Exercice 1 et pour toutf ∈C(Ω) etk≥1 on pose

qk(f)^d´= sup^ef

x∈Kk

|f(x)|.

Montrer que la fonction

d(f, g)^d´=^ef X∞

k=1

1 2^k

qk(f−g) 1 +qk(f−g) est une m´etrique surC(Ω).

Corrig´e de l’Exercice 2. On v´erifie les trois propri´et´es d’une m´etrique. Pour (M1), sif =g, alors pour toutk,qk(f−g) = 0 etd(f, g) = 0. Dans l’autre sens, d(f, g) = 0 entraˆıneqk(f) = sup_x∈Kk|f(x)|= 0 etf =gsur∪k≥1Kk = Ω. (M2) est v´erifi´ee par d´efinition. Pour (M3) il suffit de reprendre la d´emonstration de l’Exercice 10.3 (iv) du Chapitre 3. Par d´efinition,

qk(f −g) = sup

x∈Kk

|f(x)−g(x)|

qk(f−g)

1 +qk(f−g) = 1− 1 1 +qk(f−g). Maintenant, puisqueqk(f −g)≤qk(f−h) +qk(h−g), il vient

1 +qk(f−g)≤1 +qk(f −h)) +qk(h−g) 1

1 +qk(f −g) ≥ 1

1 +qk(f−h) +qk(h−g)

≥ 1

1 +qk(f−h) +qk(h−g) +qk(f −h)qk(h−g)

= 1

(1 +qk(f−h)) (1 +qk(h−g)). Donc

qk(f −g)

1 +qk(f−g) = 1− 1 1 +qk(f−g)

≤ 1− 1

(1 +qk(f −h)) (1 +qk(h−g))

= qk(f−h) +qk(h−g) +qk(f−h)qk(h−g) (1 +qk(f−h)) (1 +qk(h−g))

≤qk(f−h) +qk(h−g) + 2qk(f −h)qk(h−g) (1 +qk(f −h)) (1 +qk(h−g))

= qk(f−h)

1 +qk(f −h))+ qk(h−g) 1 +qk(h−g).

2

Finalement on somme des deux cˆot´es X∞

k=1

1 2^k

qk(f −g) 1 +qk(f −g) ≤

X∞

k=1

1 2^k

qk(f−h) 1 +qk(f−h))+

X∞

k=1

1 2^k

qk(h−g) 1 +qk(h−g) etd(f, g)≤d(f, h) +d(h, g).

Exercice 3(Arzel`a-Ascoli). Soit(X, d)un espace m´etrique compact. On d´enote parC⁰(X;R^k)^d´=^efn

f :X→R^k|f continue surXo

l’espace complet pourk≥1 et la norme

kfkC⁰ d´ef

= sup

x∈X

kf(x)k, kyk= Xk

i=1

|yi|²

!^1/2 . (1)

D´emontrer les ´enonc´es suivants.

(i) SiS est un sous-ensemble compact deC⁰(X;R^k), alors S est ferm´e, (a) S est uniform´ement ´equicontinu et

(b) S est uniform´ement born´e, c’est-`a-dire,

∃M >0, ∀f ∈S, ∀x∈X,kf(x)k ≤M.

(ii) R´eciproquement, siS est un sous-ensemble deC⁰(X;R^k)v´erifiant (a) et (b), alors l’adh´erenceS de S est compacte dansC⁰(X;R^k).

Corrig´e de l’Exercice 3. (i) Si S est compact, il est ferm´e.

(a) (S est ´equicontinue). Pourε >0, la famille de boules ouvertes{Bε(f) :f ∈ S}est un recouvrement ouvert du compactS. Il existe doncf1, . . . , fm∈S tel que

S⊂ ∪^m_i=1Bε(fi).

Donc, pour toutf ∈S, il existeitel que sup

x∈Xkf(x)−fi(x)k< ε/3.

(2)

Comme les ´el´ementsf deC⁰(X;R^k) sont uniform´ement continus,

∀i, ∃δi>0,∀x, y∈X, d(x, y)< δ, kfi(y)−fi(x)k< ε/3.

On prendδ= min{δ1, . . . , δm}>0 etx, y∈X tel que d(x, y)< δ kf(y)−f(x)k ≤ kf(y)−fi(y)k

| {z }

ε/3

+kfi(y)−fi(x)k

| {z }

ε/3

+kfi(x)−f(x)k

| {z }

ε/3

⇒ ∀x, y∈X, d(x, y)< δ,∀f ∈S, kf(y)−f(x)k< ε.

(b) CommeS est compact dansC⁰(X;R^k), il est ferm´e et born´e. Il existe donc

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M >0 tel que

∀f ∈S, sup

x∈X

kf(x)k=kfkC⁰ ≤M.

(ii)On montre maintenant la r´eciproque. ´Etant donn´e la familleSqui v´erifie (a) et (b), il faut montrer la compacit´e s´equentielle deS: pour toute suite{fn} ⊂S, il existef ∈S et une sous-suite{fnk} tel quefnk →f dansC⁰(X;R^k), c’est-

`

a-dire, uniform´ement dansX.

Par uniforme ´equicontinuit´e deS,

∀ε >0,∃δ >0,∀n,∀x, y∈X, d(y, x)< δ, kfn(x)−fn(y)k< ε/3.

Par compacit´e deX, il peut ˆetre couvert par un nombre fini de boulesBδ(xj), x1, . . . , xℓ ∈ X. Comme, pour chaque j et n, la suite {fn(xj)} est born´ee, il existe une sous-suite{fnk}de{fn}que l’on ´ecrira{fn}et il existeN tel que

∀j, 1≤j≤ℓ,∀n, m > N, kfn(xj)−fm(xj)k< ε/3.

Cette sous-suite est Cauchy dansC⁰(X;R^k). En effet, pour toutx∈X, il existe xj tel que d(x, xj)< δ et pour tous m, n > N

kfm(x)−fn(x)k ≤ kfm(x)−fm(xj)k+kfm(xj)−fn(xj)k+kfn(xj)−fn(x)k

< ε/3 +ε/3 +ε/3 =ε.

Comme les fonctions de la sous-suite{fn}sont uniform´ement continues, il existe f ∈ C⁰(X;R^k) tel quefn converge uniform´ement vers f et cef appartient `a l’adh´erenceS deS. Donc,S est compact dansC⁰(X;R^k).

R´ ef´ erences

[1] W. Rudin,Principes d’analyse math´ematique, ´Ediscience, Paris 1995 et Dunod, Paris 2006 [traduction de l’anglais, Principles of mathematical analysis, McGraw–Hill, New York, 1958, 1964, 1976.

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