Chapitre 10 – Pour reprendre contact – Réponse exercice 3 1. a. MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AN⃗⃗⃗⃗⃗ = −

Chapitre 10 – Pour reprendre contact – Réponse exercice 3

1. a. MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AN⃗⃗⃗⃗⃗ = −³

4AC⃗⃗⃗⃗⃗ +³

4AB⃗⃗⃗⃗⃗ =³

4AB⃗⃗⃗⃗⃗ −³

4AC⃗⃗⃗⃗⃗ . NP⃗⃗⃗⃗⃗ = NA⃗⃗⃗⃗⃗ + AB⃗⃗⃗⃗⃗ + BP⃗⃗⃗⃗⃗ = −³

4AB⃗⃗⃗⃗⃗ + AB⃗⃗⃗⃗⃗ +¹

2BC⃗⃗⃗⃗⃗ =¹

4AB⃗⃗⃗⃗⃗ +¹

2(BA⃗⃗⃗⃗⃗ + AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −¹

4⃗⃗⃗⃗⃗ +AB

1 2AC⃗⃗⃗⃗⃗ .

b.MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −3NP⃗⃗⃗⃗⃗ donc les vecteurs MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et NP⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et les points M, N et P sont alignés.

2.a. Dans le repère (A ; AB⃗⃗⃗⃗⃗ , AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), A(0; 0) ; B(1; 0) et C(0; 1) AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ³₂AC⃗⃗⃗⃗⃗ donc M(0;³

2) et AN⃗⃗⃗⃗⃗ =³₄AB⃗⃗⃗⃗⃗ donc N(³

4; 0).

Coordonnées de P :

•1^ère méthode :

AP⃗⃗⃗⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ + BP⃗⃗⃗⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ +¹₂BC⃗⃗⃗⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ +¹₂(BA⃗⃗⃗⃗⃗ + AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =¹₂AB⃗⃗⃗⃗⃗ +¹₂AC⃗⃗⃗⃗⃗ donc P(¹

2;¹

2).

•2^e méthode :

Dans le repère (A ; AB⃗⃗⃗⃗⃗ , AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), soit (𝑥_P; 𝑦_P) les coordonnées de P.

BC⃗⃗⃗⃗⃗ (−1

1 ) donc ¹

2BC⃗⃗⃗⃗⃗ (

1 2

−¹

2

) et BP⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_P− 1 𝑦_P ).

Comme BP⃗⃗⃗⃗⃗ =¹

2BC⃗⃗⃗⃗⃗ , on a {𝑥_P− 1 = −¹

2

𝑦_P =¹

2

soit {𝑥_P =¹

2

𝑦_P =¹

2

et donc P(¹

2;¹

2).

• 3^e méthode : BP⃗⃗⃗⃗⃗ =¹

2BC⃗⃗⃗⃗⃗ donc B est le milieu de [BC] d’où {𝑥_P= ^𝑥B+𝑥C

2 = ¹⁺⁰

2 =¹

2

𝑦_P =^𝑦B+𝑦C

2 =⁰⁺¹

2 = ¹

2

et donc P(¹

2;¹

2).

b.MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (³

4; −³

2) et NP⃗⃗⃗⃗⃗ (−¹

4;¹

2).

c. ³

4×¹

2− (−³

2) × (−¹

4) = 0 donc les coordonnées de MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et NP⃗⃗⃗⃗⃗ sont proportionnelles donc les vecteurs MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et NP⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et les points M, N et P sont alignés

Math’x Terminale S © Éditions Didier 2016