Trigonométrie
Pour reprendre contact n°1 à 6 p 151
I. Enroulement de la droite numérique A. Cercle trigonométrique
Définition
Le cercle trigonométrique de centre o est celui qui a pour rayon 1 et qui est muni d’un sens direct : le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Activités 1 – 2 p 152
B. Cercle trigonométrique
Pour aller se promener, il est peu pratique d’emmener la droite des réels telle quelle (elle prend trop de place). C’est pourquoi on va l’enrouler autour d’un cercle : on considère le cercle de centre 0 de rayon 1, on
« colle » l’origine de la droite des réels sur le point de coordonnées (1; 0) et on enroule :
Remarques
Tout nombre réel de la droite vient s’appliquer sur un point M du cercle : on dit que M est le point image du nombre réel . On dit aussi que l’angle ̂ mesure radians.
Représentation graphique
Pour simplifier la lecture sur le cercle trigonométrique, on note le nombre réel au même endroit que son point image sur le cercle.
Exercices n°15 – 16 – 18 – 20 – 21 p 156 – 157
C. Point image et nombres réels associés Propriété
Si et désignent des nombres réels tels que où est un nombre relatif, alors et ont le même point image sur un cercle trigonométrique.
Démonstration
Un cercle trigonométrique a pour longueur . Donc les points images des nombres réels et tels que où est un nombre relatif, sont espacés de k tour(s) complet(s) et ils sont confondus.
Propriété
Si M est le point d’un cercle trigonométrique, image d’un nombre réel x, alors M est aussi le point image des nombres réels où est un nombre relatif.
Exercices n°17 – 19 – 22 – 23 p 156 – 157
II. Cosinus et sinus d’un nombre réel Définition
(O, I, J) est un repère orthonormé direct et est le cercle trigonométrique de centre O M est le point de image du nombre réel .
Le cosinus de , noté cos , est l’abscisse de M.
Le sinus de , noté sin , est l’ordonnée de M.
Exemple
Le nombre réel a pour image le point J de coodonnées (0 ; 1)
Donc cos = 0 et sin = 1 H
K
Propriétés
(1) (2) (3)
Démonstration
(1) et (2) : L’abscisse et l’ordonnée de tout point d’un cercle trigonométrique sont entre et (3) Avec les notations de la figure ci-dessus, OHM est un triangle rectangle en H.
D’après le théorème de Pythagore, OM² = OH² + HM² = OH²+OK²=
Or OM = 1 donc
Lien avec le cosinus d’un angle aigu vus au collège
Soit x un nombre réel compris entre 0 et , on peut écrire dans OHM rectangle en H que ̂
̂
Tableau des valeurs remarquables
