Chapitre 14 – Pour reprendre contact – Réponse question 5 exercice 1
a.On sait d’après les résultats précédents que : P(X ≤ 49) < 0,025 < P(X ≤ 50), c'est-à-dire :
P(F ≤ 49
100) < 0,025 < 𝑃(𝐹 ≤ 50
100).
Le plus grand entier 𝑎 tel que P(F < 𝑎
𝑛) < 0,025 est donc 𝑎 = 50.
De même P(X ≥ 70) < 0,025 < P(X ≥ 69), c'est-à-dire :
P(F ≥ 70
100) < 0,025 < P(F ≥ 69
100) . Le plus petit entier 𝑏 tel que P(F > 𝑏
𝑛) < 0,025 est donc 𝑏 = 69.
On a donc pour intervalle [𝑎
𝑛;𝑏
𝑛] = [0,50 ; 0,69].
b.On en déduit que 𝑃 (𝑎
𝑛≤ 𝐹 ≤𝑏
𝑛) ≥ 0,95.
En effet 𝑃 (𝑎
𝑛 ≤ 𝐹 ≤𝑏
𝑛) = 1 − 𝑃 (𝐹 <𝑎
𝑛) − 𝑃(𝐹 >𝑏
𝑛).
Comme 𝑃 (𝐹 <𝑎
𝑛) < 0,025 et 𝑃(𝐹 >𝑏
𝑛) < 0,025, on a : 𝑃 (𝐹 <𝑎
𝑛) + 𝑃 (𝐹 >𝑏
𝑛) < 0,05 donc 1 − (𝑃 (𝐹 <𝑎
𝑛) + 𝑃 (𝐹 >𝑏
𝑛)) > 0,95.
On a donc ici P(0,50 ≤ F ≤ 0,69) ≥ 0,95.
Remarque
Au-delà de la manipulation des inégalités, il faut bien comprendre la démarche et
l’illustration graphique ci-dessous permet de mieux se représenter les choix précédents : On laisse de chaque côté du graphique une zone correspondant à une probabilité inférieure à 0,025, la plus grande possible ; donc au total on laisse une zone, en blanc sur le graphique, correspondant à une probabilité inférieure à 0,025 ×2 = 0,05.
L’autre partie du graphique, en bleu, correspond alors à une probabilité supérieure à 0,95.
Attention ! C’est F < 𝑎𝑛 et non F ≤ 𝑎
𝑛.
Attention ! C’est F > 𝑏
𝑛 et non F ≥ 𝑏
𝑛.
Math’x Terminale S © Éditions Didier 2016
Illustration graphique
Math’x Terminale S © Éditions Didier 2016
