EXERCICE 4 1) a) Graphique.

EXERCICE 4 1) a) Graphique.

1 2

−1

−2

1 2

−1

−2

A B

C

A1

B1

C1

A^!

B^!

C^!

Ω

D D₁

C

b)•zA! = 1

zA+1 = 1

−1 2+1

= 1 1/2 =2.

•zB! = 1

−1

2 +i+1

= 1 1 2 +i

= 2

1+2i = 2(1−2i)

(1+2i)(1−2i) = 2−4i 1²+2² = 2

5 −4 5i.

•zC! = 1

−1 2− 1

2i+1

= 1

1 2− 1

2i

= 2

1−i = 2(1+i)

(1−i)(1+i)= 2(1+i)

1²+1² =1+i.

c) Les points A^!, B^! et C^! ont pour coordonnées respectives (2, 0),

!2 5,−4

5

"

et (1, 1). Donc le vecteur −−−→

A^!B^! a pour coordonnées

!

−8 5,−4

5

"

et le vecteur−−−→

A^!C^! a pour coordonnées(−1, 1).

S’il existe un réelk tel que−−−→

A^!B^!=k−−−→

A^!C^!, alors−k= −8

5 et aussik= −4

5 ce qui est impossible. Donc les vecteurs−−−→ A^!B^! et−−−→

A^!C^! ne sont pas colinéaires ou encore

les pointsA^!, B^! etC^! ne sont pas alignés.

2) a)On sait queg est la translation de vecteur−→w(1, 0).

b)Les pointsA,BetCsont trois points deux à deux distincts de la droiteD et doncD= (AB)par exemple. On sait que l’image d’une droite par une translation est une droite. Par suite,D₁ est la droite passant parA1=g(A)et B1=g(B) ou encoreD₁= (A1B1). Voir graphique.

c)D₁ est la droite d’équationx= 1

2. D’autre part, l’ensemble des pointsMd’affixeztelle que|z−1|=|z|est l’ensemble des pointsMà égale distance des pointsO(0, 0) etΩ(1, 0). Cet ensemble est la médiatrice du segment[O, Ω] ou encore la droite d’équationx= 1

2 ou enfin la droite D₁.

3) a)A1,B1et C1sont distincts deO. Donch(A1),h(B1)et h(C1)existent.

zh(A1)= 1 zA1

= 1

zA+1 =zA^! et donch(A1) =A^!. De même,h(B1) =B^! et h(C1) =C^!.

http ://www.maths-france.fr 7 !c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés.

b)Soitzun nombre complexe non nul.

#

#

#

# 1 z −1

#

#

#

#

=1⇔

#

#

#

# 1−z

z

#

#

#

#

=1⇔ |1−z|

|z| =1⇔|1−z|=|z|⇔|− (z−1)|=|z|⇔|z−1|=|z|.

c)SoitM1un point deD₁dont l’affixe est notéez1. M1 est distinct deOet donc h(M1)existe. De plus,|z1−1|=|z1| d’après la question 2)c) et donc

#

#

#

# 1 z1

−1

#

#

#

#

=1 d’après la question 3)b). 1 z1

est l’affixe deh(M1)et doncΩh(M1) =1 (où Ω(1, 0)). Ainsi, le pointh(M1)est appartient au cercle C de centreΩ(1, 0)et de rayon1.

4)f(D) =h(g(D)) =h(D₁) =C \ {O}.

f(D) =C \ {O}.

http ://www.maths-france.fr 8 !c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés.