1) LA DROITE DANS L’ESPACE.

GEOMETRIE ANALYTIQUE

Dans tout ce chapitre, E désigne un espace affine de dimension 3 associé au R espace vectoriel Euclidien orienté E et rapporté au repère orthonormé direct R=(O ; ir

, rj, ).

kr

1) LA DROITE DANS L’ESPACE.

A) Représentation paramétrique.

La droite D=d(A, u^r) passant par A(x0, y0, z0) et dirigée par le vecteur ur=αi +β +γ est par définition l’ensemble des points M de l’espace E tels que

r rj kr AM est multiple de u.

On en déduit une expression simple des coordonnées d’un point variable M de cette droite en fonction du coefficient multiplicatif réel arbitraire t tel que

r

u t AM = .r. En traduisant cette égalité vectorielle dans la base B =(ir

, rj , kr

) de E, on en déduit la représentation bijective naturelle de R vers D définie par :

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

γ +

= β +

= α +

=

t z z

t y y

t x x M t

0 0 0

a

B) Système d’équations cartésiennes.

A chaque point M de la droite D correspond une et une seule valeur du paramètre t tel que u

t

AM = .r. On peut expliciter facilement celle ci en résolvant une des trois équations apparaissant dans le système ci dessus sous réserve que le coefficient de t n’y soit pas nul.

(Il en existera toujours une puisque est supposé non nul).

Par exemple si α ≠0, on obtient ur

α

= x−x⁰

t .

Ainsi M(x, y, z) sera élément de la droite D si et seulement si :

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

α −

= γ

−

α −

= β

−

) (

) (

0 0

0 0

x x z

z

x x y

y

(Remarquons que ceci est obtenu sans recours au caractère Euclidien de l’espace, donc est valable même si le repère en question n’est pas supposé orthonormé).

Par intervention des outils de la géométrie Euclidienne, on peut retrouver plus directement ce résultat en écrivant : AM multiple du vecteur ur non nul ⇔ ur AM =0r

Ceci nous donne le système classique :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− β

−

− α

=

− α

−

− γ

=

− γ

−

− β

0 ) ( ) (

0 ) ( ) (

0 ) (

) (

0 0

0 0

0 0

x x y

y

z z x

x

y y z

z

Ce système de rang 2 (le noyau de ^xr a^{ur xr} est la droite engendrée par u), est directement équivalent lorsque α est non nul au système de 2 équations obtenu précédemment.

En effet la première ligne est dans ce cas reliée aux suivantes par :

r

3 0

2

1 =

α + γ α

+ βL L L

Une droite de l’espace peut donc être défini analytiquement comme l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient un système linéaire de rang 2.

Réciproquement, tout système de ce type représente une droite effective de E.

En effet, considérons un tel système de rang 2, soit (S) :

On sait que l’ensemble des solutions du système homogène associé (avec seconds membres nuls), est une droite vectorielle engendrée par un vecteur u

⎩⎨

⎧

= + +

= + +

v z c y b x a

u cz by ax

' ' '

r=αir+βrj +γkr

, que les solutions générales de (S) existent toujours et sont les triplets du type : (x, y, z)=(x₀, y₀, z₀)+t(α, β, γ) avec (x0, y0, z0) solution particulière et t réel quelconque.

On obtient bien là une représentation paramétrique d’une droite affine.

Remarquons que les formules de Cramer conduisent rapidement à une telle représentation.

Par exemple, si le déterminant ∆=

' ' b a

b

a est non nul, on pourra exprimer le couple d’inconnues principales (x, y) en fonction de l’inconnue secondaire arbitraire z=t choisie

comme paramètre. Ce qui nous donne :

[ ]

[ ]

[ ]

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎧

∆ −

=

=

− +

∆ −

=

− +

∆ −

=

t b a ab t

z

t ac ca u a av y

t cb bc vb ub x

) ' ' 1 (

) ' ' ( 1 '

) ' ' ( 1 '

⎪⎨

La droite définie par ce système est dirigée par le vecteur ur de composantes :

(bc’-cb’, ca’-ac’, ab’-a’b) . On reconnaît si le repère est effectivement orthonormé direct les composantes du produit vectoriel de air

+b jr +ckr

par a’ir +b’rj

+c’kr . C) Distance d’un point à une droite.

Soit D=d(A, ) une droite affine passant par A et dirigée par le vecteur nr nr de norme 1.

Pour tout point M de E notons H le projeté orthogonal de M sur D, défini vectoriellement par l’égalité : AH = p(AM)=(AM.nr)nr.

De Pythagore on déduit alors AM²=AH²+HM², ce qui prouve que H est le point de D le plus proche du point donné M. (C’est la forme affine du minimun de distance réalisé par la projection vectorielle orthogonale p).

Cette distance minimale HM de M à D s’obtient en utilisant le produit vectoriel.

Plus précisément on part de nr AM =nr HM (puisque nr et AH sont colinéaires)

Les vecteurs n^r et HM étant orthogonaux, il vient : nr∧HM = nr ×HM Le vecteur étant de norme 1, on conclut : nr d(A,D)= HM = nr∧AM

Remarquons que la relation de Pythagore dans le triangle rectangle (A, H, M) se traduit alors : AM² =(nr.AM)² +(nr∧AM)²

D) Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires.

On considère ici deux droites notées D1=d(A, ur) et D2=d(B, vr) supposées non incluses dans un même plan de E.

Ceci équivaut à dire que le système (ur,vr) est libre (non parallélisme), ainsi que ( , , ur vr AB).

(La condition d’intersection vide entre D₁ et D₂ s’écrivant en effet AB∉VecR( )+Vecur

R(vr)).

On se propose de montrer qu’il existe une et une seule droite ∆ s’appuyant sur D1 et D2 et orthogonale à chacune d’elles.

Cela revient à déterminer un couple de points (M, N) de D1×D2 tel que le vecteur MN soit orthogonal à u et . En paramétrant de façon classique ces deux points par les égalités vectorielles :

r vr

v y BN u

x

AM = r et = ret grâce à la décomposition MN =−xur+AB+yvr, on est conduit au système linéaire (S) d’inconnues x, y suivant :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

−

AB v y v x v u

AB u y v u x u

. )² ( ) . (

. ) . ( )² (

r r

r r

r r r r

Le déterminant de (S) est : δ=(ur.vr)²−(ur)²(vr)² =−(ur)²(vr)²sin²(ur,vr).

Le système (u,v) étant libre, ce déterminant est strictement négatif. Le système (S) est donc de Cramer et admet un couple solution unique donné par les formules classiques.

Il existe donc bien une et une seule droite (MN) perpendiculaire respectivement en M et N aux deux droites D

r r

1 et D2. On l’appelle la perpendiculaire commune aux deux droites en question.

Notons que sa direction est engendrée par le produit vectoriel ur vr.

Il est facile d’établir grâce à Pythagore que le couple précédent (M, N) réalise la plus courte distance possible entre les deux droites. En effet, si (M’, N’) désigne un couple arbitraire de points de D₁×D2, on peut écrire, vu l’orthogonalité de MN avec M'M et NN':

2 2

2 2

2 ( ' ') ( ) ( ' ) 2 ' . ' ( ')

) ' '

(M N = M M +MN+NN = MN + M M + M M NN + NN

Ou encore : (M'N')² =(MN)²+(M'M +NN')² ≥(MN)²

On peut obtenir une expression simple de cette distance minimale d=MN à partir des données A, B, u^r, . vr

Partons de l’égalité ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∧

= ∧

v u

v d u

MN r r

r r

.

Décomposons ensuite comme plus haut :MN = −xur+ AB+ yvr puis effectuons le produit scalaire de ce vecteur avec v.

Il vient naturellement :

ur r

] , , [ ).

(u v AB u v AB v

u

d r∧r = r∧r = r r

D’où la formule donnant la distance des droites D₁ et D₂ :

v u

AB v d ur r

r r

=[ , ∧, ]

2) LE PLAN DANS L’ESPACE.

A) Représentation paramétrique.

Le plan affine P(A ; u^{r r},v) passant par A(x0, y0, z0) et de direction vectorielle engendrée par le système libre (u^r, ) avec vr ur=α

ir+βrj+γkr

; vr=α’ir+β’rj+γ’kr

est par définition l’ensemble des points M de E tels que le vecteur AM soit combinaison linéaire de ( , ).

Partant de l’égalité

ur vr v

s u t

AM = .r+ .r, on obtient alors une expression simple des coordonnées du point variable M en fonction du couple de coefficients (t, s).

Plus précisément il vient une correspondance bijective entre R×R et le plan affine en question

définie par la formule :

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

γ + γ +

=

β + β +

=

α + α +

=

s t z z

s t y y

s t x x M s t

' '

' )

, (

0 0 0

a

B) Equation cartésienne.

Le couple (u, ) étant libre, la matrice sera de rang 2. On pourra donc trouver deux de ses colonnes en situation de système libre. Autrement dit un des trois déterminants suivant sera non nul :

r vr

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

γ β α

γ β α

' ' '

'

; ' '

; ' '

' ^{2 3}

1 α γ

γ

= α γ ∆

β γ

= β β ∆

α β

= α

∆

Supposons par exemple ∆1 non nul. Les deux premières équations de la représentation paramétrique forment alors un système de Cramer dont on déduit immédiatement par les formules du même nom le couple de coefficients (t, s).

1

0 0

1

0

0 ( ) ( )

et ) (

' ) ( '

∆

− β

−

−

= α

∆

− α

−

−

=β y y x x

y s y x

t x

On en déduit que le point M(x, y, z) est élément du plan étudié si et seulement si l’équation secondaire résiduelle de la représentation paramétrique est vérifiée, ce qui donne après simplifications : ∆₂(x−x₀)−∆₃(y− y₀)+∆₁(z−z₀)=0

On obtient encore cette équation si l’on raisonne avec ∆₂ ou ∆₃ non nul.

Remarquons que comme dans le cas de la droite, cette représentation cartésienne du plan a été obtenue sans utiliser les propriétés Euclidiennes, uniquement à partir de la théorie des

systèmes linéaires.

On peut aussi l’obtenir plus directement par intervention de la théorie des déterminants.

Il suffit de remarquer que puisque ( ,ur vr) est libre, la condition AM est combinaison linéaire de (ur r,v) équivaut à dire que le système (ur

,vr

, AM ) est lié, ou encore puisque E est de dimension 3, que le déterminant correspondant est nul.

Ainsi on obtient immédiatement une équation du plan étudié en développant le déterminant suivant la troisième colonne :

0 ) ( ) (

) ( 0

' ' '

0 1 0 3 0 2 0

0 0

=

−

∆ +

−

∆

−

−

∆

⇔

=

− γ γ

− β β

− α α

x x y

y x

x z

z y y

x x

Si on fait jouer les propriétés liées au produit scalaire, cette étude se simplifie par les remarques suivantes :

_ On reconnaît dans les expressions ∆2, -∆3, ∆1 , les composantes respectives du produit vectoriel v, sous réserve que le repère utilisé soit bien orthonormé direct.

L’équation précédente : u(x-x ur r

0)+v(y-y0)+w(z-z0)=0 ⇔ ∆₂(x−x₀)−∆₃(y−y₀)+∆₁(x−x₀)=0 ne fait alors que traduire l’orthogonalité des vecteurs AM et ur

vr .

En effet, affirmer que AM appartient au plan vectoriel de base (ur,vr) équivaut à dire que AM appartient à l’orthogonal de l’orthogonal de ce plan, donc est orthogonal à la droite vectorielle dirigée par ur

.

_ Une autre façon de retrouver cette orthogonalité est de se rappeler que le déterminant d’un système de trois vecteurs dans une base orthonormée directe est leur produit mixte.

Ainsi

vr

0 ).

( 0 ] , , [ 0 ) , , (

det⁺ ur vr AM = ⇔ ur vr AM = ⇔ ur∧vr AM =

On retiendra surtout que de l’équation du plan affine ux+vy+wz=λ on tire l’équation de la direction vectorielle : ux+vy+wz=0 (noyau de la forme l) et un vecteur dirigeant l’orthogonal de cette direction, soit nr

(u, v, w), que l’on appellera souvent vecteur normal au plan.

Réciproquement, toute équation du type : ux+vy+wz=λ , avec (u, v, w) triplet non identiquement nul caractérise bien un plan affine.

En effet la forme linéaire l définie sur R³ par (x, y, z) aux+vy+wz est non nulle, donc surjective et admettant pour noyau un plan vectoriel de R×R.

Si on désigne par (x0, y0, z0) un antécédent pour l de λ et par (α, β, γ) ; (α’, β’, γ’) un couple de triplets engendrant le noyau de l, les solutions de l’équation étudiée seront les triplets du type (x, y, z)=(x0, y0, z0)+t(α, β, γ)+s(α’, β’, γ’) avec (t, s) couple arbitraire de réels.

On reconnaît la représentation paramétrique du plan passant par A(x0, y0, z0) et de direction vectorielle engendrée par le couple de vecteurs : ur=αir+βrj +γkr

, vr=α’ir+β’rj +γ’ . Remarquons pour conclure ce paragraphe que définir analytiquement une droite de l’espace par un système linéaire de rang 2 revient en fait à représenter cette droite comme intersection des deux plans correspondants aux équations de ce système.

kr

C) Distance d’un point à un plan.

Soit M un point quelconque de E et H sa projection orthogonale sur le plan P= P(A ; ur r, v ), défini par l’égalité vectorielle :

v u

v n u

n AM n AM

AH r r

r r r

r r

∧

= ∧

−

= ( . ) avec .

Le point H est le point du plan en question le plus proche de M puisque d’après le théorème de la projection orthogonale, le vecteur AH = AM −(nr.AM)nr , projection orthogonale de

AM sur la direction F de P est le vecteur de F le plus proche de AM . La distance d de M à P s’obtient donc par : d = HM = nr.AM

D’après les remarques du paragraphe précédent, si P est défini par l’équation cartésienne ux+vy+wz=λ, on peut prendre pour vecteur nr celui défini par

²

²

² v w

j v + u

k w i

n u

+ +

= +

r r

r r

Pour tout point M(x, y, z) de E on a :

²

²

²

) ( ) ( )

. ( ^{0 0 0}

w v u

z z x y y v x x AM u

n + +

− +

− +

= − r

Remarquons alors que par appartenance de A(x0, y0, z0) à P, ux0+vy0+wz0=λ . Ceci conduit à l’expression analytique de la distance de M à P :

²

²

² v w

u

wz vy d ux

+ +

λ

− +

= +

3) SPHERES, CONES, CYLINDRES.

A) Sphères.

1) Equation cartésienne.

Par définition, la sphère de centre A(x0, y0, z0) et de rayon r >0 est l’ensemble noté S(A, r) des points de E situés à la distance r de A. On obtient donc immédiatement une équation

cartésienne par évaluation de cette distance dans le repère orthonormé choisi.

Ainsi M(x, y, z) ∈ S(A, r) ⇔ AM=r ⇔ AM²=r² ⇔ (x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)²=r² .

En développant on obtient une équation du type : x²+y²+z²-2ux-2vy-2wz=λ

La réciproque s’étudie facilement en écrivant les binômes ayant rapport à chacune des trois coordonnées sous la forme canonique classique.

Ainsi l’équation ci dessus sera équivalente à : (x-u)²+(y-v)²+(z-w)²=λ+u²+v²+w² Elle représentera une sphère de centre A(u, v, w) et de rayon r= λ+u²+v²+w² si et seulement si le réel λ est supérieur ou égal à –(u²+v²+w²).

2) Cas particulier : Sphère définie par un diamètre.

Si on désigne par I le milieu d’un diamètre [A, B] d’une sphère de rayon r, on peut écrire pour tout point M de l’espace : MA.MB =(MI+IA).(MI−IA)=(MI)²−(IA)² =(MI)² −r²

On en déduit l’équivalence : (MI)²=r² ⇔ MA.MB =0

On obtient alors l’équation suivante : (x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)+(z-zA)(z-zB)=0.

3) Représentation paramétrique.

Gardons les notations précédentes et considérons P le plan P(A ; ir , rj

) passant par le centre de la sphère S(A, r) , d’équation z=z_A.

Pour tout M de S(A, r) notons H le projeté orthogonal de M sur ce plan P, et K la projection orthogonale de M sur la droite d(A, kr

).

_ Désignons par θ l’écart angulaire entre kr

et AM. θ est défini par θ∈[0, π] et

r AM k AM AM k 1

. ) .

cos(

r r

× =

= θ

On en déduit d’une part AK r kr cos(θ)

= , d’après le théorème de projection orthogonale, d’autre part AH=rsin(θ) en vertu de Pythagore (r²=AM²=AH²+AK² ) et puisque sin(θ) ≥0.

_ Si on note ϕ l’angle (ir

, AH) dans le plan de base (ir , rj

) orienté par le choix du vecteur normé orthogonal kr, on peut alors écrire :

) ) sin(

)

(cos( i j

AH

AH = ϕ r+ ϕ r

De la relation de Chasles : AM = AH+HM = AH +AK on déduit enfin l’expression des coordonnées du point quelconque M de la sphère étudiée en fonction du couple (θ, ϕ) Plus précisément on obtient une bijection de [0, π]×[0, 2π[ sur S(A, r) définie par la

correspondance :

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

θ +

=

ϕ θ +

=

ϕ θ +

= ϕ

θ

) cos(

) sin(

) sin(

) cos(

) sin(

) , (

0 0 0

r z z

r y y

r x x a M

4) Intersection d’un plan avec une sphère.

Notons H la projection orthogonale du centre A de la sphère S(A, r) sur un plan P de l’espace et d la distance d=AH de ce centre au plan en question.

D’après le théorème de Pythagore on sait que tout point M de P satisfait à la relation AM²=AH²+HM²=d²+HM².

Un tel point appartiendra donc à la sphère étudiée si et seulement si HM²=r²-d².

La discussion est donc simple :

_ Si r < d. L’égalité ci dessus est impossible. Le plan P et la sphère S(A, r) n’ont aucun point en commun.

_ Si r=d. L’égalité se résume à HM²=0 et n’est vérifiée que pour le point H.

Le point H est alors le seul point de contact entre la sphère et le plan P.

On dira que P est tangent à S(A, r) en H.

_ Enfin, si r >d, l’égalité équivaut à HM = r²−d². La section de la sphère par P est dans ce cas le cercle de ce plan de centre H et de rayon r²−d².

5) Intersection de deux sphères.

Considérons deux sphères S et S’ de E définies par les équations cartésiennes respectives :

Les points communs à S et S’ sont ceux dont les coordonnées sont solutions du système formé par les deux équations précédentes. Or on obtient un système équivalent en gardant la

première et en soustrayant celle ci à la deuxième. La transformation : .est en effet régulière, même si le système étudié n’est pas linéaire.

S ∩S’ est donc définie analytiquement par : La discussion est également très simple.

_ Si les sphères données ne sont pas concentriques.

Le triplet (u’-u, v’-v, w’-w) est alors non identiquement nul.

La deuxième équation s’interprète alors comme celle d’un plan P et on est ramené au cas précédent de l’étude de la section de S par P.

_ Si les sphères sont concentriques. La deuxième équation ne sera jamais vérifiée si λ ≠λ’.

Il s’agît du cas où les rayons diffèrent et on aura bien sûr alors S ∩S’= ∅ Par contre si les rayons sont identiques, le système se résume à l’équation de S.

Ainsi S=S’ et S’∩S=S.

⎩⎨

⎧

λ

=

−

−

− + +

λ

=

−

−

− + +

' ' 2 ' 2 ' 2

²

²

² : ) ' (

2 2 2

²

²

² : ) (

z w y v x u z y x S

wz vy ux z y x S

1 2

2 L L

L ← −

⎩⎨

⎧

λ

− λ

=

− +

− +

−

λ

=

−

−

− + +

' ) ' ( 2 ) ' ( 2 ) ' ( 2

2 2 2

²

²

²

z w w y v v x u u

wz vy ux z y x

B) Surfaces cylindriques et coniques.

1) Définitions générales.

Soit C une courbe gauche de l’espace E , c’est à dire un ensemble de points paramétrés à l’aide d’une variable réelle t décrivant un intervalle I de R suivant : , avec des fonctions composantes a, b, c supposées de classe C

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

=

=

) (

) (

) (

t c z

t b y

t a x A t a _t

1 sur I.

Si désigne un vecteur non nul de E et S un point de E n’appartenant pas à C on appellera : ur

Surface cylindrique de directrice C et de direction ur≠0r

, l’ensemble formé par la réunion des droites d(At ; u^r) (appelées génératrices de cette surface), lorsque t décrit I.

Surface conique de directrice C et de sommet S, l’ensemble formé par la réunion des droites d(S, SA_t) (appelées génératrices de cette surface ), lorsque t décrit I.

Dans le premier cas il s’agît donc de la figure obtenue en déplaçant une droite de direction fixe s’appuyant sur la directrice C. Dans le deuxième les génératrices sont astreintes à passer par un point fixe (le sommet S ) et s’appuient également sur C.

2) Représentation paramétrique.

La position d’un point M d’une de ces surfaces sur une des génératrices correspondant à la valeur t du paramètre sera précisée par une égalité du type A_tM =sur dans le cas cylindrique et du type SM =s.SA_t dans le cas conique.

Si =αur ir+βrj+γkr et S(x

0, y0, z0) , les égalités vectorielles précédentes conduisent aux représentations respectives :

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

γ +

=

β +

=

α +

=

s t c z

s t b y

s t a x M s t

. ) (

. ) (

. ) ( )

,

( a pour le ‘cylindre’

et

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

− +

=

− +

=

− +

=

) ) ( (

) ) ( (

) ) ( ( )

, (

0 0

0 0

0 0

z t c s z z

y t b s y y

x t a s x x M s

t a pour le cas du ‘cône’.

3) Cylindres et cônes de révolution.

Ce sont des cas particuliers de l’étude précédente.

_ Un cylindre de révolution sera obtenu en prenant pour directrice un cercle C d’un plan quelconque P de l’espace et pour direction un vecteur nr orthogonal à la direction de P.

On supposera normé.

Notons A le centre de C , r son rayon et appelons axe du cylindre la droite ∆=d(A, n).

Nous travaillerons ici dans un repère particulier orthonormé direct (A ; nr

r ir

, rj

, ) avec le couple (

nr ir

, rj

) base de la direction du plan P.

La directrice C se paramètre alors facilement par : , avec t ∈ [0, 2π[.

On en déduit la représentation des coordonnées d’un point général du cylindre, conformément

au schéma général, soit :

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

=

=

0 ) (

) sin(

) (

) cos(

) (

t c

t r t b

t r t a A t a _t

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

=

=

s z

t r y

t r x M s

t sin( )

) cos(

) ,

( a

On en déduit que M est situé à la distance r de l’axe ∆=d(A, nr). En effet le projeté orthogonal de M sur cette droite est défini par : AH =(nr.AM)nr et aura donc pour coordonnées dans le repère précédent : . On obtient bien HM²=r².

Réciproquement, tout point M(x, y, z) de E dont la distance à ∆ égale r appartient bien à une génératrice du cylindre étudié.

En effet, de x²+y²=r² on déduit qu’il existe un et un seul réel t de [0, 2π[ tel que x=rcos(t) et y=rsin(t) . Le point M appartient donc à la génératrice d(A

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

s H 0 0

t, nr) et est positionné sur celle ci par AM = snr avec s=z.

On peut donc définir simplement un cylindre de révolution par son axe ∆ et la distance r commune de ses points à l’axe, distance que l’on appellera rayon du cylindre. (C’est le rayon commun à toutes les sections de ce cylindre par des plans orthogonaux à l’axe).

L’équation générale d’un tel cylindre dans un repère orthonormé quelconque de E s’obtiendra alors directement en écrivant la constance de la distance de M à ∆=d(A, nr).

Sous réserve que n^r est de norme 1, ceci se traduit par l’égalité : (nr AM )²=r² .

_ Un cône de révolution sera obtenu à partir d’une directrice identique, cercle C d’un plan P , désigné par les notations précédentes et d’un sommet S situé sur l’axe ∆=d(A, n) mais hors de P.

On obtient donc conformément à la définition d’une surface conique, en se plaçant ici dans le repère orthonormé (S ; i

r

r, rj

, n^r) avec toujours (ir , rj

) base de la direction de P,

le paramétrage suivant :

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

λ

=

=

=

. ) sin(

) cos(

) , (t

s z

t sr y

t sr x M

s a , ( λ désignant la côte de A dans ce repère).

Notons que la distance de M à l’axe ∆ du cône est ici variable égale à MH= s ×r et que la distance de M au sommet S vaut : SM = s × r²+λ².

Dans cette configuration, c’est le quotient des distances

²

²+λ

= r r SM

HM qui apparaît comme

constant.

Réciproquement, si un point M(x, y, z) de E satisfait à la condition précédente, on en déduit

immédiatement ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +λ

×

= ²

²

² ²

² r

HM r

SM , soit : )

² 1 ² (

²)

² (

²

²

² y z x y r

x + + = + × +λ .

On poursuit avec ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ λ

= ²

²) ²

² (

² x y r

z ou encore :

2

²

² ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= λ

+ rz

y x

Il existe donc un réel t de [0, 2π[ tel que

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= λ

= λ

) sin(

) cos(

rz t y

rz t x

. Il reste à poser

= λz

s pour vérifier que M est bien le point du cône de révolution étudié, correspondant au couple (t, s).

Le cylindre de révolution d’axe ∆=d(A, nr

), de directrice C de rayon r et de sommet S tel que n

SA=λr peut donc être défini comme l’ensemble des points M de E tel que le quotient de la distance de M à ∆ par la distance de M au sommet S égale

²

²+λ r

r .

Pour simplifier la constante précédente, introduisons le réel θ de ]0, 2

π[ défini par

= λ

θ r

)

tan( . On l’appelle demi- angle au sommet du cône.

Il correspond à l’angle aigu en S dans le triangle rectangle (S, A, At ), quelle que soit la position de At sur la directrice C. En effet dans ce triangle rectangle :

= λ

= r

AS Sˆ) AA^t tan(

Il vient alors :

²

²+λ r

r = sin( )

))

²(

tan 1

²(

)

tan( = θ

θ + λ

θ λ

L’équation du cône de révolution de sommet S , d’axe ∆=d(S, nr

) et de demi- angle au sommet θ se simplifie donc en : HM=SM × sin(θ).

Comme la distance HM de M à l’axe du cône s’évalue si nr normé par HM= nr∧SM , nous retiendrons cette équation sous la forme plus commode : (nr∧SM)² =sin²(θ)(SM)²

En utilisant l’égalité de Lagrange : (nr∧SM)²+(nr.SM)² = SM², on obtient une version équivalente de cette équation sous la forme : (nr.SM)² =cos²(θ)(SM)²

Elle montre que l’écart angulaire entre nr et SM est égal à θ ou π-θ suivant le signe du produit scalaire n.rSM .

Une génératrice quelconque du cône étudié s’écarte donc d’un angle aigu θ par rapport à l’axe de ce cône.

Notons pour terminer que la section de ce cône avec un plan orthogonal à l’axe et situé à une distance d du sommet est un cercle de ce plan centré sur l’axe et de rayon d.tan(θ).

4) CONIQUES DANS LE PLAN.

A) Définition monofocale.

Le cadre de ce paragraphe est celui d’un plan affine Euclidien orienté P.

Soit D une droite de ce plan, F un point n’appartenant pas à D et e un nombre réel strictement positif, nous nous proposons d’étudier l’ensemble C des points M du plan tels que le quotient de la distance MF de M au point F par la distance MH de M à D par est égale à e.

C = {M ∈ P tel que e MH

MF = }.

Cette courbe sera appelée conique de directrice D, de foyer associé F et d’excentricité e.

Nous appellerons axe focal la droite ∆ de P passant par le foyer F et orthogonale à la directrice D.

Vu la définition de C et les propriétés des réflexions par rapport à une droite, il est clair que ∆ sera axe de symétrie pour la figure étudiée. En effet, si M’ désigne le symétrique orthogonal de M par rapport à ∆, le projeté orthogonal de M’ sur D sera également le symétrique H’ de H par rapport à ce même axe ∆. Les réflexions conservant les distances et F situé sur ∆ étant son propre symétrique, on en déduit l’équivalence : e

H M

F e M

MH

MF = ⇔ =

' '

' Ainsi M ∈C ⇔ M’=S(M) ∈C.

Une étude approfondie de la relation de définition va nous révéler dans le cas où l’excentricité est distincte de 1 un deuxième axe de symétrie orthogonal à l’axe focal, mais non évident à priori. Voyons cela en détail.

_ Ecrivons d’abord

2 2

²MH e MF MH e

MF = ⇔ = .

_ Introduisons la projection orthogonale P de M sur l’axe focal ∆. (P est variable sur ∆) et le point d’intersection K entre D et ∆, projection orthogonale du foyer F sur la directrice, appelé aussi pied de cette directrice.

D’après le théorème de Pythagore, il vient :

2 2 2

FP MP

MF = + . L’équation de définition prend donc la forme équivalente

2 2 2

²MH FP

e

MP = − ou encore :

2 2 2

²PK PF

e

MP = −

_ Par factorisation scalaire on en déduit : M ∈C ⇔ ( ).( )

2

PF PK e PF PK e

MP = − +

Examinons d’abord le cas général où e est différent de 1.

Sous cette condition on peut faire intervenir les deux points : A , barycentre du système : (K, e) ; (F, 1)

B , barycentre du système (K, e) ; (F, -1)

Ils permettent respectivement de réduire ePK −PF en (e-1)PB et ePK+PF en (e+1)PA L’équation en attente se met ainsi sous la forme : MP (e² 1)PA.PB

2 = −

Remarquons que A et B sont deux points particuliers de l’ensemble C cherché, les seuls en fait se trouvant sur l’axe focal. On les appellera ‘sommets’ de la courbe C.

Notons O le milieu de (A, B) et D’ la droite passant par O et parallèle à la directrice D.

Dans la réflexion S ’ par rapport à cet axe D’, A et B sont échangés , ainsi que M et son symétrique orthogonal M’. Les projetés orthogonaux respectifs P et P’ de M et M’ sur l’axe focal ∆ sont également échangés par cette même symétrie.

On peut donc écrire PA=−P'B et PB =−P'A. On en déduit : PA.PB =P'B.P'A De ceci on tire l’équivalence : MP (e² 1)PA.PB

2 = − ⇔M'P'²=(e²−1)P'A.P'B

Ainsi M ∈C ⇔ M’ ∈C. La droite D’ est tout comme l’axe focal un élément de symétrie fondamental pour C.

Ces deux droites étant orthogonales, leur point d’intersection O sera centre de symétrie pour la conique étudiée.

Un repère privilégié naturel s’impose alors pour l’étude analytique de C.

Nous choisirons (O ; ir , rj

) avec

OB i = OB

r et rj

normé directement orthogonal à ir .

Dans ce repère, si on note par a la distance commune a=OA=OB, les coordonnées des points essentiels s’écriront : M(x, y) ; P(x, 0) ; A(-a, 0) ; B(a, 0)

L’équation de la courbe C prend alors la forme simplifiée : y²=(e²-1)(x²-a²).

On peut aussi utiliser la forme équivalente : 1

²) 1

²(

²

²

² =

+ −

e a

y a

x , dite équation réduite.

La forme de C est alors directement conditionnée par le signe de e²-1.

Premier cas : 0 < e < 1.

La zone permise pour l’abscisse de M est limitée à l’intervalle [-a, a].

Si on pose b=a 1−e², l’équation réduite se simplifie en : 1

²

²

²

² + =

b y a x

(Notons que b apparaît comme strictement inférieur à a. !). Malgré la symétrie apparente de l’équation , les deux axes ne sont pas interchangeables. L’axe focal principal est celui des abscisses. Celui des ordonnées est appelé axe secondaire.

La conique décrite par cette équation s’obtiendra donc à partir de la courbe représentative de la fonction f définie sur [0, a] par x a f(x)= a² x²

a

b − en faisant agir la réflexion par rapport à l’axe des ordonnées puis par rapport à l’axe des abscisses. Etudions donc cette fonction.

Elle est continue sur [0, a], dérivable sur [0, a[ en vertu du théorème de composition suivant la formule :

² ) ²

( a a x

x bx

f −

= −

′ .

Elle sera donc strictement décroissante sur [0, a], avec une tangente horizontale à l’origine.

L’étude du taux d’accroissement en a permet de déceler une tangente verticale.

En effet : =−∞

− +

= −

−

= −

−

−

→

→

→ a x

x a a

b a

x a

x a b a

x a f x f

a x a

x a

x lim

) (

² lim ²

) ( ) lim (

Le tracé complété par les symétries mentionnées fait apparaître une courbe fermée de forme caractéristique ovale, à laquelle on donne le nom d’ellipse. Cette ovale est 'allongée' dans la direction de son axe focal , toujours vu la condition a >b.

Une construction simple point par point de cette courbe consiste à considérer deux cercles C1

et C2 centrés à l’origine et de rayons respectifs b et a.

Toute demi droite menée de l’origine va rencontrer successivement C1 en P et C2 en Q . Si θ désigne l’angle polaire (ir

, ur) avec ur dirigeant la demi droite en question, les coordonnées de ces points d’intersection sont respectivement :

P(bcos(θ), bsin(θ)) et Q(acos(θ), asin(θ)).

Le point d’intersection M de la parallèle à l’axe des abscisses passant par P avec la parallèle à l’axe des ordonnées passant par Q sera donc repéré par : M(x=acos(θ),y= bsin(θ)).

Ce point M va bien décrire toute l’ellipse d’équation 1

²

²

²

²+ =

b y a

x lorsque θ décrit [0, 2π[.

En plus d’un mode de tracé élémentaire, ce procédé nous donne une représentation

paramétrique commode de l’ellipse et nous montre que celle ci est en fait l’image de C2 par l’application affine de forme analytique (x, y) a (x, y

a

b ), appelée affinité d’axe d(O, ir ) , de direction rj

et de rapport a

b , et l’image de C1 par une affinité d’axe d(O, rj

), de direction ir et de rapport

b a. Deuxième cas : e >1.

La condition y² ≥ 0 équivaut ici à x²-a² ≥ 0, décomposable en x ≥ a ou x ≤ -a.

La courbe sera donc ici constitué de deux branches disjointes symétriques par rapport à l’axe des ordonnées et ne sera pas limitée dans le plan comme dans le cas précédent.

En posant b=a e²−1 on obtient l’équation simplifiée : 1

²

²

²

² − =

b y a

x .

Le tracé de la courbe s’effectuera à partir de la représentation de la fonction f définie sur [a, +∞[ par : x a f(x)= x² a²

a

b −

Comme dans le cas précédent f est encore continue sur son intervalle de définition et dérivable sur l’ouvert ]a, +∞[. On obtient ici

²

² )

(

a x a x bx

f′ = − , strictement positive.

Tangente verticale en a également, comme le montre le calcul suivant : +∞

− =

= +

−

−

→

→ a x a

a x b a

x a f x f

a x a

x ( ) ( ) lim

lim .

Pour une étude plus précise du comportement au voisinage de l’infini, mettons d’abord f sous la forme

² 1 ² )

( x

x a a x b

f = − .

Utilisons ensuite le développement élémentaire à l’origine : ( ) 1 2

1 X o X

X = + +

+ , combiné

avec le changement de variable

²

² x X =−a .

On en déduit au voisinage de +∞ , l’écriture suivante : 1)

2 (

²)]

(1

² 2 1 ² [ )

( o x

x x ab a b o x

x x a a x b

f = − + = − + .

La droite d’équation x a

y = b apparaît comme asymptote évidente au voisinage de + ∞ et est située entièrement au dessus de la courbe étudiée.

En utilisant les symétries constatées, il est clair que cette droite sera aussi asymptote à la courbe complète C au voisinage de - ∞, de même que la droite d’équation x

a y=−b .

Remarquons que la réunion de ces deux droites est définie par l’équation cartésienne facilement mémorisable : 0

²

²

²

² − =

b y a

x .

Le type de conique que nous venons d’étudier ici prend le nom d’hyperbole.

On la dira équilatère dans le cas particulier ou a=b , c’est à dire si l’excentricité égale 2. Dans ce cas les deux asymptotes sont orthogonales et on vérifie très facilement que dans le nouveau repère

2

; 2

avec ) ,

;

( i j

j J I i

J I O

r r r

r r r

r

r −

+ =

= , l’équation de cette hyperbole se simplifie sous la forme

X Y a

2

= ²

Terminons par un paramétrage classique d’une hyperbole générale.

La branche C ⁺ formée des points d’abscisse strictement positive peut être considérée comme l’ensemble des points obtenus par ⎜⎜⎝

⎛

=

= ) (

) (

t bsh y

t ach M x

t a _t lorsque t décrit R.

(Rappelons en effet la relation fondamentale ch²(t)-sh²(t)=1).

La fonction sh reliant bijectivement R à lui même, on obtiendra bien ainsi tous les points de la branche considérée.

Pour les points d’abscisse négative on considérera le paramétrage

Les coniques étudiées ci dessus (ellipses et hyperboles) sont appelées coniques à centre.

Il nous reste à résoudre le cas particulier écarté en début d’étude, lorsque l' excentricité est égale à 1.

⎜⎜⎝

⎛

=

−

= ) (

) ( t bsh y

t ach M x

t a _t

Troisième cas : e=1.

On se retrouve alors devant l’équation : MP (PK PF).(PK PF) 2PI.FK

2 = + − = , en faisant

intervenir le point I milieu de (F, K).

Prenons alors pour repère (I ; ir , rj

) avec IF ir = IF

et rj

normé directement orthogonal à ir . Si on note p la distance FK du foyer à la directrice D, les coordonnées des points intervenant dans cette égalité seront : M(x, y) ; P(x, 0) ; F(

2

p , 0) ; K(- 2 p , 0).

L’équation de cette conique particulière dans le repère choisi se réduit alors à : y²= 2px . La courbe obtenue est appelée parabole d’axe ∆=d(I, ir

) et de sommet I.

Le coefficient p est appelé paramètre de cette parabole.

B) Définition bifocale des coniques à centre.

Une ellipse ou une hyperbole est définie à partir d’un couple : (foyer, directrice )=(F, D) et d’une excentricité e ≠1.

On a vu apparaître dans l’étude précédente un repère orthonormé privilégié dont les axes sont éléments de symétrie pour la conique et dans lequel l’équation prend la forme simplifiée

² 1

²

²

² + =

b y a

x avec a >b pour l’ellipse, ou 1

²

²

²

²− =

b y a

x pour l’hyperbole.

Rappelons que l’axe des abscisses est l’axe focal, et les points A(-a, 0) et B(a, 0) les sommets.

Du fait de la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, il est clair que la conique en question pourrait être aussi définie par le couple (F’, D’) avec F’ et D’ symétriques respectifs du point F et de la droite D par rapport à cet axe, en gardant la même excentricité e.

En effet, les réflexions conservant la distance et l’orthogonalité, on obtient facilement

l’équivalence : MF=eMH ⇔ M’F=e M’H ⇔MF’=eMH’ en notant M’ et H’ les symétriques orthogonaux respectifs de M et H par rapport à l’axe des ordonnées.

On parlera donc pour les coniques à centre, non pas d’un mais de deux foyers F et F’,

symétriques par rapport au centre O de la conique et des directrices associées respectives D et D’ homologues dans cette même symétrie.

Il importe de savoir retrouver la position de ces éléments géométriques fondamentaux à partir de l’équation réduite. Cela revient à positionner F et K à partir des sommets A, B.

Pour cela écrivons vu la définition barycentrique des sommets : OA

e OF OK

e. + =( +1) et e.OK −OF =(e−1)OB

On en déduit aussitôt par addition et soustraction respectives : OA OF eOA OK 1e et .

=

=

Notons alors c la distance commune des deux foyers au centre : c=OF=OF’.

La connaissance de ce nombre permettra grâce aux égalités ci dessus : _ D’obtenir l’excentricité par :

a

e= c (conséquence de OF =e.OA).

_ De préciser la position des directrices associées à chacun des foyers.

Ainsi la directrice D associée à F d’abscisse –a aura pour équation x=-

c a e

a ²

−

= . Reste à expliquer comment obtenir c à partir de l’équation réduite.

a) Dans le cas de l’ellipse on a posé

² 1 ²

²

1 a

a c e a

b= − = − , d’où : c² = a²-b² .

b) Dans le cas de l’hyperbole on a 1

² 1 ²

²− = −

= a

a c e

a

b , d’où : c² = a²+b² .

L’importance de la dualité des foyers va se renforcer dans la caractérisation suivante que nous donneront d’abord dans le cas de l’ellipse.

Théorème :

L’ellipse d’équation réduite 1

²

²

²

²+ =

b y a

x (avec a >b) est l’ensemble des points M du plan tels que la somme des distances aux deux foyers est égale à 2a. (MF+MF’=2a).

Démonstration.

1) Montrons d’abord que lorsqu’un point M se déplace sur cette ellipse C, la somme MF+MF’

reste constante.

D’après la définition monofocale appliquée pour chacun des 2 couples (foyer, directrice) on peut écrire en respectant les notations usuelles : MF=eMH et MF’=eMH’.

Il vient alors par addition : MF+MF’=e(MH+MH’)

Les points M, H, H’ sont situés sur une parallèle à l’axe des abscisses. Précisons leurs positions relatives en examinant les abscisses respectives.

_ L’abscisse x de M appartient à l’intervalle [-a, a].

_ Les abscisses des projetés H et H’ sont celles des pieds respectifs K et K’ des directrices, donc sont égales à

e

±a. L’excentricité étant inférieure à 1, la valeur absolue de celles ci est strictement plus grande que a.

Tout ceci montre que le point M appartient toujours au segment d’extrémités H et H’.

Par suite on aura MH+MH’=HH’=KK’=

e a

2 et donc MF+MF’=2a.

2) Etudions la réciproque par voie analytique.

Notons F(-c, 0) et F’(c, 0). Pour M(x, y) la condition MF+MF’=2a se traduit alors : a

y c x y

c

x )² ² ( )² ² 2

( + + + − + = . On en déduit successivement :

² )² ( 4

² )² (

² 4

² )² (

² )² ( 2

² )²

(x−c +y = a− x+c + y ⇒ x−c + y = a + x+c +y − a x+c + y Après simplifications : a (x+c)²+y² =cx+a² ⇒a²[x²+2cx+c²+y²]=c²x²+a⁴ +2a²cx Rappelons que dans le cas de l’ellipse c²=a²-b². Il vient par conséquence :

(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²) ⇒ b²x²+a²y²=a²b² ⇒ 1

²

²

²

² + =

b y a

x .

Le point M(x, y) est donc bien élément de l’ellipse C.

Pour l’hyperbole nous avons un résultat similaire : Théorème :

L’hyperbole d’équation réduite 1

²

²

²

² − =

b y a

x est l’ensemble des points M du plan tels que la valeur absolue de la différence des distances aux deux foyers égale 2a. ( MF'−MF =2a).

Suivant les notations précédentes F’ sera le foyer d’abscisse positive c.

L’axe des ordonnées, médiatrice de (F , F’) partage le reste du plan en deux zones.

_ Les points d’abscisse strictement positive, tels que MF ’ < MF.

_ Les points d’abscisse strictement négative, tels que MF ’ > MF.

Notons C ⁺ la branche d’hyperbole formé des points d’abscisse strictement positive.

Nous allons d’abord montrer : M ∈C ⁺ ⇔ MF-MF ’=2a.

1) Supposons M ∈ C ⁺. On a toujours comme pour l’ellipse : MF’=eMH’ et MF=eMH.

Ce qui change ici est la position relative des points M, H, H’.

En effet l’abscisse x de M est supérieure ou égale à a, celle de H’ est négative, et celle de H, soit

e

a , est inférieure à a à cause de e >1.

Le point H appartient donc au segment [H’, M]. On en déduit MH’-MH=HH’=

e 2a Par suite : MF ’-MF=2a.

2) Réciproquement, soit M(x, y) tel que MF ’-MF=2a.

La traduction analytique de cette relation se déroule de manière analogue à l’étude faite précédemment pour l’ellipse.

a y c x y

c x a

y c x y

c

x )² ² ( )² ² 2 ( )² ² ( )² ² 2

( + + − − + = ⇒ + + = − + +

²

² )² (

² )² ( 4

² )² (

² 4

² )²

(x+c +y = a + x−c + y + a x−c +y ⇒a x−c +y =cx−a

Comme pour l’hyperbole c²=a²+b², on en déduit

²)

²

²(

²

²

²

²)

² (

² 2

²

²

²]

2

²

²

²[x c cx y c x a⁴ a cx c a x a y a c a

a + − + = + − ⇒ − − = −

² 1

²

²

² − =

b y a x

Le point M appartient donc à la conique C, et son abscisse est strictement positive puisque MF’-MF=2a >0. M est donc bien sur la branche C ⁺.

On établit sans problème de manière analogue : M ∈C ^- ⇔ MF-MF’=-2a, C ^– désignant la branche d’hyperbole formée des points de C d’abscisse négatives.

C) Propriétés particulières des tangentes aux coniques.

Théorème 1.

La normale en un point M quelconque d’une ellipse de foyers F et F’ est bissectrice intérieure de l’angle en M dans le triangle (F’, M, F).

Démonstration.

Utilisons le paramétrage classique de l’ellipse : La fonction à valeur vectorielle t a

⎜⎜⎝

⎛

=

=

) sin(

) cos(

t b y

t a M x

t a _t

OMt est de classe C ^∞ sur [0, 2π].

Vu la définition bifocale, la fonction f définie sur [0, 2π] par f(t)=MtF+M_tF’ est constante sur son intervalle d’étude, donc de dérivée nulle en tout point.

)2

( _t

t

tF FM FM

M = =

Or d’après la règle de dérivation d’un produit scalaire :

( )

( )

. 2

2

OF dt OM

FM d dt FM

FM d dt FM

d

t t

t t

t ⎟⎠= =

⎜ ⎞

⎝

⎛

Par application du théorème de composition et vu la dérivabilité de la racine en tout réel strictement positif, on en déduit :

( )

t t

t OM

dt d FM F FM dt M

d ( ) = .

On montre de même :

( )

t t

t OM

dt d M F

M F F

dt M

d .

' ) ' '

( =

Ainsi l’annulation de la dérivée de f se traduit par l’égalité :

∀ t ∈[0, 2π] : . ( ) 0 '

' =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ + _t

t t t

t OM

dt d M F

M F FM FM

Interprétons géométriquement cette relation.

_ La somme vectorielle entre crochets est une addition de deux vecteurs de même norme, donc homologues dans la symétrie orthogonale par rapport à cette somme, sous réserve que celle ci soit non nulle. (Cette condition est vérifiée pour tout Mt de l'ellipse).

Il s’agît donc dans ce cas d’un vecteur dirigeant la bissectrice intérieure de l’angle en M dans le triangle (F, M, F’) . Il suffit de ce rappeler la construction classique de cette bissectrice à partir d’un losange élémentaire de sommet M.

_ Le vecteur (OM_t) dt

d , de composantes (-asin(t), bcos(t)), n’est jamais nul et dirige donc la tangente à l’ellipse en Mt.

L’orthogonalité de ces deux vecteurs directeurs assure donc bien que la normale en Mt à l’ellipse est bissectrice intérieure de l’angle FMˆ_tF’.

Théorème 2.

La normale en tout point M d’une hyperbole de foyers F et F’ est bissectrice extérieure de l’angle de sommet M dans le triangle (F’, M, F).

La démonstration est similaire à la précédente et repose aussi sur la définition bifocale.

On divise seulement l’étude en deux cas, suivant la branche sur lequel est situé le point.

Ainsi si on prend comme point de départ le paramétrage usuel de C ⁺ La fonction f définie sur R par t a f(t)=M

⎜⎜⎝

⎛

=

= ) (

) (

t bsh y

t ach M x

ta _t

tF’-M_tF est constante de valeur 2a.

En écrivant la nullité de la dérivée sur R, on arrive ici en utilisant les calculs précédents à la

relation : ∀ t ∈R : . ( ) 0

'

' =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ − _t

t t t

t OM

dt d M F

M F FM FM

Dans cette configuration, la différence des vecteurs de même norme entre crochets dirige la bissectrice extérieure en M_t dans le triangle (F’, M_t, F),( droite orthogonale à la bissectrice intérieure).

Théorème 3.

La normale en tout point M d’une parabole de foyer F et de sommet O est bissectrice intérieure de l’angle au sommet M dans le triangle (F, M, I) tel que MI =OF.

Nous utiliserons l’équation réduite y²=2px. (avec p > 0). Elle nous donne un paramétrage élémentaire de cette parabole, soit :

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

= t y

p x t M

t _t 2

²

a , avec t décrivant R.

On en déduit :

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ 1 )

( p

t dt OM

d

t

Rappelons que dans le repère d’origine O, relatif à l’équation réduite, le foyer F est repéré par : F( ,

2 p 0).

Si ir

est le vecteur unitaire de l’axe des abscisses, la bissectrice intérieure de l’angle en Mt

dans le triangle (F, Mt, I) sera dirigée par ur

=ir

+M F F M

t

t .

Pour un calcul simple des composantes de ce vecteur, rappelons que par définition de la parabole, M_tF=M_tH , avec H projection orthogonale de M_t sur la directrice D définie par l’équation : x=-

2

p. On en déduit M_tF=

p p t p p t

2

²

² 2 2

² +

=

+ .

Ainsi est défini par : ur

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+

= −

× +

− +

= +

× +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

²

² 2

²

² ) 2 ( 0

²

²

² 2

²

² 2 2

² 1 ²

p t

tp p

t t p

p t

p p

t p p

t p ur

L’orthogonalité de u^r avec

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ 1 )

( p

t dt OM

d

t se vérifie alors immédiatement .

Exercices sur la géométrie analytique.

Dans toute cette série E désigne un espace affine de dimension 3 associé à un R espace vectoriel Euclidien orienté E et rapporté à un repère orthonormé direct R=(O ; ir

, rj , kr)

1. Soit D la droite passant par A(2, 2, -1) et dirigée par ur

=-ir +rj

+kr a) Déterminer l’intersection de D avec le plan P(O ; ir

, rj )

b) Ecrire une équation cartésienne du plan Q contenant O et la droite D.

c) Déterminer l’intersection ∆ de Q avec le plan R d’équation x-y+3z=5.

d) Etudier l’intersection de D et ∆.

2. On considère les points A(1, 1, -1) ; B(0, 2, 3) et le plan P d’équation 2x+2y+3z-6=0.

On note Q le plan contenant l’origine O ainsi que les points A et B . Déterminer avec précision :

a) L’intersection de P avec la droite ∆=(AB) b) L’intersection des plans P et Q.

3. On considère la droite D définie par le système d’équations et la droite ∆ passant par les points A(1, 0, 2) et B(1, 2, 3).

Déterminer avec précision leur perpendiculaire commune ainsi que leur distance.

⎩⎨

⎧

= +

−

=

− +

4 3 2 z y x

z y x

4. Soit D la droite définie par le système d’équations : Trouver une équation :

a) Du plan P contenant D et le point A(1, 1, -1).

b) Du plan Q contenant D et parallèle à la droite d(A ;

⎩⎨

⎧

= + + +

=

− +

−

0 1

0 1 z y x

z y x

ir -rj

+kr ) c) Du plan R contenant la droite D et perpendiculaire à P.

5. Déterminer la droite D passant par A(1, 1, 1) , parallèle au plan P d’équation x+y+z=0 et sécante à la droite d(O, ir

)

6. Soit ∆ la droite définie par le système d’équations : . Ecrire une équation cartésienne :

a) Du plan contenant ∆ et le point A(1, 2, 3).

b) Du cylindre de révolution d’axe ∆ et de rayon 2.

c) Du cône de révolution d’axe ∆, de sommet S(1, 2, 0) et passant par A.

⎩⎨

⎧

= + +

=

− +

4 2

7 3

z y x

z y x