4. Intersections de droites et plans avec coordonnées a) Intersection de deux droites
Vu au 2)
b) Intersection d’une droite et d’un plan
Cette intersection peut être un point (la droite et le plan sont sécants), la droite elle-même (la droite est incluse dans le plan) ou l’ensemble vide (la droite est parallèle au plan)
La méthode la plus simple est d’avoir une équation cartésienne du plan et un système d’équations paramétriques de la droite. On remplace dans l’équation du plan, , , par leurs expressions paramétriques, on trouve la valeur du paramètre, que l’on remet dans la droite pour trouver les coordonnées du point d’intersection.
Exemple : intersection de la droite donnée par les équations paramétriques
= 2 + 4
= −1 − 2
= 3 + 5
( ∈ ) et des plans 2 + − − 10 = 0, 3 + − 2 − 8 = 0 Avec le premier plan : on substitue 2(2 + 4 ) + (−1 − 2 ) − (3 + 5 ) − 10 = 0, ce qui s’écrit − 10 = 0 donc = 10 et = 2 + 4 = 42, = −21, = 53. La droite et le plan sont donc sécants au point (42, −21, 53)
Avec le second plan : 3(2 + 4 ) + (−1 − 2 ) − 2(3 + 5 ) − 8 = 0, ce qui s’écrit 0 − 9 = 0, équation qui n’a pas de solution. La droite est parallèle extérieure au plan. Si au lieu de −8, on avait donné comme équation 3 + − 2 + 1 = 0, on aurait obtenu 0 + 0 = 0, ce qui correspond à la droite incluse dans le plan.
c) Intersection de deux plans
Deux plans sont parallèles ou sécants suivant une droite. Le plus simple est d’avoir une équation cartésienne des deux plans. Si ces équations sont proportionnelles (termes en , , ), les plans sont parallèles. Si cette proportionnalité est maintenue dans les termes constants, les plans sont confondus. S’il n’y a pas de proportionnalité, les plans sont sécants. Quelques exemples :
+ 2 − 4 + 3 = 0 et 4 + 8 − 16 + 15 = 0 : plans parallèles disjoints. Si on remplace +15 par +12 dans le second plan, ils sont confondus.
+ 2 − 4 + 3 = 0 et 3 − − 2 + 1 = 0 : plan sécants. Leur intersection est alors une droite. Pour trouver des points d’intersection, la méthode la plus simple est de fixer une valeur à (celle qu’on veut), puis de résoudre le système pour obtenir et . On peut aussi chercher à obtenir et en fonction de en éliminant On élimine en multipliant la deuxième équation par 2, puis en ajoutant : on trouve 7 − 8 + 5 = 0 soit = − .
On élimine en multipliant la première équation par 3 et en retranchant, on obtient 7 − 10 + 8 = 0 soit = − .
Le système
= −
= −
= 1 + 0
correspond à une droite, passant par le point
− , − , 0 , dirigée par le vecteur , , 1
