Construction interactive de BRDFs par simulation 2D de micro-géométries en couches multiples

Universit´e de Montr´eal

Construction interactive de BRDFs par simulation

2D de micro-g´

eom´

etries en couches multiples

par

Marc-Antoine Desjardins

D´epartement d’informatique et de recherche op´erationnelle Facult´e des arts et des sciences

M´emoire pr´esent´e `a la Facult´e des arts et des sciences en vue de l’obtention du grade de

Maˆıtre `es sciences (M.Sc.) en informatique

d´ecembre, 2012

c

`

SOMMAIRE

Les mod`eles de r´eflexion complexes, avec leurs nombreux param`etres dont certains restent non intuitifs, sont difficiles `a contrˆoler pour obtenir une apparence d´esir´ee. De plus, mˆeme si un artiste peut plus ais´ement comprendre la forme de la micro-g´eom´etrie d’une surface, sa mod´elisation en 3D et sa simulation en 4D demeurent extrˆemement fastidieuses et coˆuteuses en m´emoire. Nous proposons une solution interm´ediaire, o`u l’artiste repr´esente en 2D une coupe dans un mat´eriau, en dessinant une micro-g´eom´etrie de surface en multi-couches. Une simulation efficace par lancer de rayons en seulement 2D capture les distributions de lumi`ere affect´ees par les micro-g´eom´etries. La d´eviation hors-plan est calcul´ee automatiquement de fa¸con probabiliste en fonction de la normale au point d’intersection et de la direction du rayon incident. Il en r´esulte des BRDFs isotropes compl`etes et complexes, simul´ees `a des vitesses interactives, et permettant ainsi une ´edition interactive de l’apparence de r´eflectances riches et vari´ees.

Mots-cl´es : ´Edition de mat´eriaux, BRDF, r´eflexion, semi-transparence, lancer de rayons, simulation de Monte-Carlo, micro-g´eom´etrie, micro-structures, multi-couches.

ABSTRACT

Complex reflection models, with their many parameters, some of which are not intuitive at all, are difficult to control when trying to achieve a desired appearance. Moreover, even if an artist can more easily understand the shape of the surface micro-geometry, its 3D modeling and 4D simulation remain extremely tedious and expensive in memory. We propose an intermediate solution, where the artist repre-sents a 2D cross section of a material, by drawing a multi-layered surface micro-geometry. An efficient 2D ray tracing simulation captures the light distribution spe-cific to those micro-geometries. Off plane deflection is automatically calculated in a probabilistic way, based on the surface normal at the intersection point and the incident ray direction. This results in complete and complex isotropic BRDFs, simu-lated at interactive rates, and allowing interactive editing of rich and varied materials.

Keywords : Material editing, BRDF, reflection, semi-transparency, raytracing, Monte Carlo simulation, micro-geometry, micro-structures, multi-layers.

TABLE DES MATI`

ERES

Liste des figures iii

Liste des tableaux vi

Liste des algorithmes vii

Notation viii

Chapitre 1 : Introduction 1

Chapitre 2 : Travaux ant´erieurs 4

2.1 Radiom´etrie . . . 4

2.2 BRDF . . . 5

2.3 Mesures de BRDF . . . 6

2.3.1 Mesures r´eelles . . . 7

2.3.2 Mesures virtuelles . . . 11

2.4 Mod`eles analytiques . . . 13

2.5 Conception et ´edition de mat´eriaux . . . 17

Chapitre 3 : Conception de mat´eriaux 21 3.1 Interface . . . 21 3.1.1 Le dessin . . . 21 3.1.2 Sous-mat´eriaux . . . 24 3.1.3 Simulation . . . 28 3.1.4 Visualisation de la BRDF . . . 30 3.1.5 Exportation/importation de BRDFs . . . 31

3.3 Repr´esentation de la micro-g´eom´etrie . . . 35

3.3.1 Mode anisotrope . . . 35

3.3.2 Mode isotrope . . . 39

3.4 Lancer de rayons . . . 44

3.4.1 Conditions d’arrˆet d’un rayon . . . 44

3.4.2 Structure acc´el´eratrice . . . 45

Chapitre 4 : R´esultats 49 4.1 R´esolution de la BRDF . . . 49

4.2 Quantit´e de rayons lanc´es . . . 50

4.3 Filtrage . . . 52

4.4 R´esolution de la micro-g´eom´etrie . . . 55

4.5 Evaluation en temps interactif . . . .´ 56

4.6 Profondeur et type de rayons . . . 58

4.7 Rendus de BRDFs simul´ees . . . 58

Chapitre 5 : Conclusion 66

LISTE DES FIGURES

2.1 Le gonior´eflectom`etre de Murray-Coleman et Smith. . . 7

2.2 Le gonior´eflectom`etre du Lawrence Berkeley Laboratory. . . 8

2.3 Le gonior´eflectom`etre de Matusik et al. . . 9

2.4 L’´evolution du light stage de Debevec et al. . . 10

2.5 Hi´erarchie d’´echelles de Westin et al. . . 11

2.6 Le terme de visibilit´e, de masquage et d’ombrage. . . 14

2.7 Forme du reflet sp´eculaire du mod`ele Ashikhmin et Shirley. . . 15

2.8 Types de surfaces possibles avec le mod`ele de Weidlich et Wilkie. . . 17

2.9 BRDF-Shop. . . 18

2.10 BRDFLab. . . 19

2.11 Impact des modifications `a petite ´echelle sur l’apparence `a grande ´echelle. 20 3.1 Interface du logiciel. . . 22

3.2 Diff´erence entre sous-mat´eriau normal et sous-mat´eriau oppos´e. . . . 23

3.3 L’effet de Fresnel sur le terme de r´eflexion. . . 27

3.4 L’effet d’absorption dans un m´edium r´efractif. . . 29

3.5 Les diff´erentes visualisations possibles de BRDFs. . . 30

3.6 Diff´erents formats d’exportations. . . 32

3.7 Structure de donn´ees pour la BRDF. . . 33

3.8 Repr´esentation de la micro-g´eom´etrie en mode anisotrope. . . 35

3.9 Repr´esentation d’une micro-g´eom´etrie en utilisant une hi´erarchisation des rugosit´es hors plan et dans le plan. . . 37

3.10 D´eviation des normales dans le plan perpendiculaire `a la normale d’une micro-facette. . . 38

3.12 D´eviation de la normale en mode isotrope rotation-Φ. . . 41

3.13 Un exemple de kd-tree. . . 46

3.14 Un exemple de liens voisins dans un kd-tree. . . 48

4.1 Reflets sp´eculaires `a basse r´esolution. . . 49

4.2 Variance `a basse r´esolution. . . 51

4.3 Erreur moyenne par pixel en fonction du nombre de rayons lanc´es. . . 52

4.4 R´esultats de rendus en fonction du nombre de rayons lanc´es. . . 53

4.5 Courbes caract´eristiques de la structure de donn´ees. . . 53

4.6 Variance avec filtrage. . . 54

4.7 R´esultats pour diff´erentes r´esolutions de la micro-g´eom´etrie. . . 55

4.8 R´esultat pour une micro-g´eom´etrie de basse r´esolution, mais subdiviser plusieurs fois. . . 56

4.9 Comparaison des r´esultats simul´ees en moins d’une seconde et ceux en une minute. . . 57

4.10 D´ecomposition d’une BRDF en fonction de la profondeur et du type des rayons. . . 58

4.11 Gabarit de r´esultat et cartes d’environnements utilis´ees. . . 59

4.12 BRDF simul´ee #1. . . 59 4.13 BRDF simul´ee #2. . . 60 4.14 BRDF simul´ee #3. . . 60 4.15 BRDF simul´ee #4. . . 60 4.16 BRDF simul´ee #5. . . 60 4.17 BRDF simul´ee #6. . . 60 4.18 BRDF simul´ee #7. . . 61 4.19 BRDF simul´ee #8. . . 61 4.20 BRDF simul´ee #9. . . 61 4.21 BRDF simul´ee #10. . . 61

4.22 BRDF simul´ee #11. . . 61 4.23 BRDF simul´ee #12. . . 62 4.24 BRDF simul´ee #13. . . 62 4.25 BRDF simul´ee #14. . . 62 4.26 BRDF simul´ee #15. . . 62 4.27 BRDF simul´ee #16. . . 63 4.28 BRDF simul´ee #17. . . 63 4.29 BRDF simul´ee #18. . . 63 4.30 BRDF simul´ee #19. . . 63 4.31 BRDF simul´ee #20. . . 64 4.32 BRDF simul´ee #21. . . 64 4.33 BRDF simul´ee #22. . . 64 4.34 BRDF simul´ee #23. . . 64 4.35 BRDF simul´ee #24. . . 65

LISTE DES TABLEAUX

4.1 Tableau comparatif des diff´erents temps de calcul pour des r´esolutions diff´erentes. . . 50 4.2 Tableau des temps de calcul et de l’erreur en fonction du nombre de

rayons lanc´es. . . 52 4.3 Tableau comparatif des diff´erents temps de calcul avec filtrage pour

LISTE DES ALGORITHMES

1 Calcul du type de rebond d’un rayon. . . 24 2 L’algorithme de la roulette russe. . . 45

NOTATION

i Indice signifiant incident. o Indice signifiant sortant.

θ Coordonn´ee sph´erique : angle entre une direction et le z´enith local Y .

φ Coordonn´ee sph´erique : angle entre une direction projet´ee sur le plan XZ et l’azimuth X local.

η Partie r´eelle de l’indice de r´efraction.

k Partie imaginaire de l’indice de r´efraction (coefficient d’extinction). Sdif Echelle de diffusion.´

Srf l Echelle de r´´ eflexion.

REMERCIEMENTS

Je voudrais tout d’abord remercier mon directeur Pierre Poulin, non seulement pour m’avoir accept´e comme ´etudiant malgr´e mon ˆame artistique qui pr´edomine sur ma logique informatique, mais aussi pour avoir ´et´e mon premier professeur d’univer-sit´e ayant r´eussi `a me transmettre son enthousiasme. Sa patience, ses connaissances, ses nombreux conseils et son attitude amicale ont fait de ces deux ann´ees de recherche une exp´erience enrichissante et inoubliable.

Un gros merci ´egalement `a mes coll`egues de travail du LIGUM, autant qu´eb´ecois que fran¸cais, pour avoir r´epondu `a toutes ces questions que j’adore poser avant de demander `a Google.

Mille mercis `a ma copine qui m’a support´e dans les moments difficiles et qui a fait preuve d’une grande compr´ehension.

Et finalement, un remerciement tout sp´ecial `a ma m`ere et mon p`ere, sans qui tout cela ne se serait jamais produit.

Chapitre 1

INTRODUCTION

Les artistes ont toujours eu une relation et une connexion sp´eciale avec la mati`ere. Plusieurs artistes et artisans passent leur vie enti`ere `a ne travailler qu’un seul mat´eriau afin de le maˆıtriser. Il n’y a pas n´ecessairement de raisons logiques pour lesquelles un artiste pr´ef´erera le bois au marbre, ou le fusin au pastel ; comme bien des choix dans sa vie, l’artiste est davantage aliment´e par ses ´emotions. Le choix du mat´eriau est ´egalement important puisqu’il peut, `a lui seul, porter la signification de l’oeuvre ; on peut penser `a une peinture faite avec le sang de personnes atteintes du VIH, par exemple. Il existe une infinit´e de mat´eriaux dans l’univers, mais quand il s’agit de recr´eer cette r´ealit´e par l’entremise de logiciels d’animation par ordinateur, l’artiste devient vite restreint. Heureusement, il y a souvent des d´eveloppeurs au sein des com-pagnies d’effets visuels, qui impl´ementent de nouveaux mod`eles sp´ecialement con¸cus pour certains types de surfaces plus exotiques.

La branche de l’infographie qui s’int´eresse `a reproduire le plus fid`element pos-sible la r´ealit´e s’appelle le photor´ealisme et c’est le rˆole du shading artist de faire en sorte qu’une bˆuche virtuelle, par exemple, a bel et bien l’apparence d’une vraie bˆuche, au-del`a de sa texture, qui elle, a probablement ´et´e reproduite par un autre artiste. Beaucoup de recherches ont ´et´e faites pour d´evelopper non seulement des mod`eles de r´eflectance qui permettent de reproduire l’aspect de la mati`ere, mais qui poss`edent ´egalement une param´etrisation intuitive. Il est contre-productif, pour un artiste, d’avoir `a ajuster des dizaines de param`etres avec peu de corr´elations visuelles simples `a chaque fois qu’il veut modifier l´eg`erement l’aspect d’une surface. Les lo-giciels commerciaux de rendu comme Mental Ray [52] ou Arnold [66], utilis´es en industrie par des milliers d’artistes, offrent des solutions de base limit´ees en terme de

mod`eles de r´eflectance. D`es que l’on veut cr´eer ou reproduire des mat´eriaux hors du commun comme le velours, par exemple, on devra chercher une extension externe si aucun programmeur sp´ecialis´e n’est `a notre disposition.

La BRDF, Bidirectional Reflectance Distribution Function, peut ˆetre d´efinie de fa¸con na¨ıve comme une fonction qui donne la proportion de lumi`ere r´efl´echie dans une direction ´etant donn´ee une direction de lumi`ere incidente. Elle d´etermine l’ap-parence des surfaces au niveau microscopique. Notez que nous d´efinirons de fa¸con plus rigoureuse la BRDF au chapitre 2. Diff´erentes techniques peuvent ˆetre utilis´ees afin de cr´eer ou g´en´erer des BRDFs. Pour obtenir une version tr`es fid`ele, il est pos-sible de mesurer physiquement les propri´et´es de r´eflectance d’une surface avec un go-nior´eflectom`etre ou une cam´era [43, 44, 73]. `A l’aide de sources de lumi`ere calibr´ees, on enregistre, pour un certain nombre de directions de lumi`ere, la quantit´e de lumi`ere r´efl´echie dans un certain nombre de directions de capteurs, qui sont eux aussi calibr´es. La construction d’un syst`eme de gonior´eflectom´etrie pr´ecis est difficile et coˆuteuse. De plus, une fois acquise, la BRDF demeure fixe, voire non ´editable, et d´evore une quantit´e de m´emoire non n´egligeable. Il est possible d’utiliser directement la micro-g´eom´etrie d’une surface pour simuler ce processus de fa¸con virtuelle [10], incluant par m´ethode de Monte-Carlo [26, 77]. On peut ´egalement d´eduire une BRDF `a partir de dessins de caract´eristiques sp´eculaires pr´ecises [11, 55], mais il est tr`es difficile d’arri-ver `a des r´esultats r´ealistes. Finalement, on peut utiliser des mod`eles math´ematiques pour g´en´erer divers types de BRDFs. Ce sont les param`etres expos´es, avec lesquels l’utilisateur peut interagir, qui permettent la g´en´eration de BRDFs diff´erentes et ainsi de modifier l’apparence de la surface. C’est avec ce type de mod`eles que les artistes travaillent g´en´eralement. Mais diff´erents mod`eles de r´eflectance vont g´en´erer diff´erents types de surfaces avec diff´erents niveaux de r´ealisme et diff´erents niveaux de contrˆole. Ces mod`eles de r´eflectance peuvent avoir des origines empiriques [58] et par cons´equent moins r´ealistes, ou ˆetre bas´es sur des th´eories physiques complexes [35] avec un param´etrage moins intuitif. Certains mod`eles sont isotropes [9, 13], d’autres

anisotropes [60, 64], certains tiennent compte de la diffraction de la lumi`ere [67], certains permettent la repr´esentation de surfaces multi-couches [38, 75], etc.

Il est donc difficile de trouver une solution universelle et les artistes doivent jongler entre diff´erents mod`eles pour repr´esenter diff´erentes surfaces de fa¸con r´ealiste. Le but du pr´esent travail est de cr´eer un outil unique qui permettra `a tout artiste de cr´eer une multitude de mat´eriaux isotropes, exotiques ou non, de fa¸con intuitive, rapide et dont les r´esultats sont physiquement plausibles.

Par le dessin, un artiste repr´esente une coupe transversale du mat´eriau d´esir´e pour en obtenir la BRDF. La micro-g´eom´etrie 2D dessin´ee repr´esente l’aspect de la surface `a une dimension microscopique. Cette micro-g´eom´etrie, ainsi que les sous-mat´eriaux affect´es `a chacun des segments de la surface 2D, d´efinissent l’aspect global du mat´eriau. Nous simulons par m´ethode de Monte-Carlo, avec de l’´echantillonnage par importance, le chemin qu’emprunte la lumi`ere `a travers le mat´eriau en utilisant des principes d’optique g´eom´etrique. Les r´esultats sont d’abord stock´es dans un ta-bleau `a trois dimensions, θi, θo, φdif f, puis la BRDF peut ˆetre export´ee dans diff´erents

formats pour permettre le rendu avec d’autres logiciels ou ˆetre r´eutilis´ee comme sous-mat´eriau dans le logiciel prototype cr´e´e dans le cadre de cette maˆıtrise. Ce projet s’inspire particuli`erement des travaux de Cabral et al. [10], de Westin et al. [77], de For´es et al. [23] et de Wu et al. [83].

Un retour sur les travaux ant´erieurs et les notions importantes est fait au chapi-tre 2. Le fonctionnement du logiciel, les techniques utilis´ees et les d´etails d’impl´ emen-tation sont expliqu´es au chapitre 3. Les r´esultats sont pr´esent´es au chapitre 4, suivis de la conclusion et d’une discussion sur les am´eliorations possibles au chapitre 5.

Chapitre 2

TRAVAUX ANT´

ERIEURS

Dans ce chapitre, nous dressons une liste des contributions importantes en ce qui a trait `a l’acquisition de donn´ees de r´eflectance d’une surface et aux mod`eles de r´eflectance. Nous d´efinissons dans un premier temps les concepts importants de radiom´etrie qui permettent de calculer de telles informations.

2.1 Radiom´etrie

La radiom´etrie est la discipline qui ´etudie la mesure des rayonnements ´ electroma-gn´etiques [81]. On parle ´egalement de photom´etrie visuelle [46] lorsque l’on s’int´eresse uniquement au spectre visible. Les quantit´es importantes pour le rendu sont le flux rayonnant ou puissance Φ, l’´eclairement ´energ´etique E, l’intensit´e rayonnante I et la rayonnance ou radiance L [57].

La puissance Φ est l’´energie totale par unit´e de temps qui transite dans une r´egion de l’espace et elle est calcul´ee en watts (W). L’´eclairement ´energ´etique E, aussi appel´e irradiance, repr´esente la densit´e de puissance arrivant sur une surface, c’est-`a-dire la puissance par unit´e de surface A (W/m2) :

E = dΦ

dA. (2.1)

L’intensit´e rayonnante I correspond `a la densit´e de puissance par angle solide dω (W/sr) :

I = dΦ

dω. (2.2)

par unit´e de surface projet´ee (W/(sr m2_{)) :}

L = dΦ

dωdA cos θ. (2.3)

2.2 BRDF

La BRDF, Bidirectional Reflectance Distribution Function, dicte comment la lu-mi`ere est r´efl´echie sur une surface. Dans un syst`eme de rendu, elle est responsable de l’apparence de la surface, si l’on ne tient pas compte de la texture. Chaque mat´eriau produit une BRDF diff´erente et c’est ce qui distingue par exemple un tissu d’une feuille d’arbre. On la note fr(ωi, ωo), ou fr(θi, φi; θo, φo) [51] en coordonn´ees

sph´eriques. Elle permet de calculer la radiance sortante Lo(θo, φo) dans la direction

ωo ´etant donn´ee l’irradiance provenant de la direction ωi :

fr(θi, φi; θo, φo) =

dLo(θo, φo)

dE(θi, φi)

. (2.4)

Pour connaˆıtre la radiance sortante Lo(θo, φo) ´etant donn´e l’ensemble de la radiance

incidente, soit N la normale `a la surface, il suffit d’int´egrer sur l’h´emisph`ere positif H2_{(N ) de directions incidentes :}

Lo(θo, φo) =

Z

H2_{(N )}

fr(θi, φi; θo, φo)Li(θi, φi) cos θidωi. (2.5)

Une BRDF doit se soumettre `a deux principes pour ˆetre physiquement correcte [57]. Premi`erement, la r´eciprocit´e de Helmholtz stipule que pour toutes paires de directions ωi et ωo, la BRDF est ´egale lorsque l’on interchange ces directions :

Deuxi`emement, elle doit respecter la conservation de l’´energie, c’est-`a-dire que l’´energie totale de la lumi`ere r´efl´echie dans une direction doit ˆetre plus petite ou ´egale `a l’´energie totale de la lumi`ere incidente, pour toute direction sortante ωo :

Z

H2_{(N )}

fr(θo, φo; θ0, φ0) cos θ0dω0 ≤ 1. (2.7)

La BRDF n’est valide que pour les mat´eriaux dont la lumi`ere ne se diffuse pas sous sa surface, ou n’interr´efl´echit pas sur une grande distance. En d’autres termes, on peut dire que la lumi`ere ´emerge de la surface exactement au point d’intersection. Pour les mat´eriaux dont la lumi`ere p´en`etre la surface et se diffuse, comme la peau, nous de-vons utiliser la BSSRDF, la Bidirectional Scattering Surface Reflectance Distribution Function. La diff´erence est que l’on doit tenir compte du point incident de la lumi`ere pi et du point sortant po pour calculer la radiance sortante et l’´equation 2.7 devient

alors : Lo(po, θo, φo) = Z A Z H2_{(N )} S(pi, θi, φi; po, θo, φo)Li(pi, θi, φi) cos θidωidA. (2.8)

Bien qu’il serait possible d’ajouter la cr´eation de BSSRDFs `a notre syst`eme, la si-mulation deviendrait beaucoup plus fastidieuse et le caract`ere interactif, qui est un aspect tr`es important de ce projet, serait fort probablement perdu.

2.3 Mesures de BRDF

La cr´eation d’une BRDF peut se faire de multiples fa¸cons. Dans cette section, nous dressons une liste de plusieurs m´ethodes pour obtenir des BRDFs ainsi que des travaux reli´es `a celles-ci.

Figure 2.1. Le gonior´eflectom`etre de Murray-Coleman et Smith [48].

2.3.1 Mesures r´eelles

Lorsque l’on tente de recr´eer virtuellement l’apparence d’un objet bien r´eel, une des premi`eres id´ees qui vient en tˆete, est de num´eriser les donn´ees r´eelles de l’ob-jet. Le gonior´eflectom`etre est un appareil qui permet de mesurer physiquement les propri´et´es de r´eflectance d’une surface. Un tel instrument doit avoir suffisamment de degr´es de libert´e, quatre pour une BRDF anisotrope, pour bien la repr´esenter. La figure 2.1 montre le mod`ele de Murray-Coleman et Smith [48]. Il est compos´e, en plus des pi`eces m´ecaniques, d’une source lumineuse, un senseur et un plateau rotatif pour l’´echantillon `a mesurer. Le temps d’acquisition est tr`es grand et l’ap-pareil ne semble pas capable de bien repr´esenter les BRDFs complexes [61] dont celles avec de la r´etror´eflexion importante. Afin d’am´eliorer le processus de mesure, Ward [73] pr´esente un appareil qui utilise une cam´era num´erique avec objectif fisheye, un h´emisph`ere `a demi-argent´e qui r´efl´echit la moiti´e de la lumi`ere et qui laisse pas-ser l’autre moiti´e, une source lumineuse mobile et une plaque fixe pour l’´echantillon au point focal (figure 2.2). En prenant une image de l’int´erieur du dˆome qui r´efl`ete

Figure 2.2. Le gonior´eflectom`etre du Lawrence Berkeley Laboratory [73].

la lumi`ere elle-mˆeme r´efl´echie par l’´echantillon ´eclair´e selon diff´erents angles d’inci-dence de lumi`ere, il est possible d’acqu´erir une BRDF anisotrope de l’´echantillon en quelques minutes. Bien que la position de la source lumineuse soit contrˆol´ee par ordinateur, la rotation de l’´echantillon, qui permet d’obtenir les caract´eristiques aniso-tropes de ce dernier, se fait manuellement. Un biais est introduit par le r´e´eclairage de l’´echantillon par la lumi`ere r´efl´echie sur le dˆome, mais il s’agit d’un pas important vers une acquisition beaucoup plus efficace. Une premi`ere base de donn´ees publique [12] de BRDFs, nomm´ee CUReT (Columbia-Utrecht Reflectance and Texture Database), est mise en ligne par Dana et al. [14]. Cette derni`ere contient ´egalement des BTFs (Bidirectional Texture Functions), soient des textures dont chaque texel contient les informations de radiance pour diff´erentes paires de directions lumi`ere-cam´era, c’est-` a-dire une ABRDF (Apparent BRDF ) pour chaque texel. Contrairement `a une BRDF, une ABRDF ne respecte pas n´ecessairement la loi de conservation d’´energie puis-que les texels voisins peuvent lui injecter de l’´energie et vice-versa. Au total, la base de donn´ees CUReT contient les donn´ees de r´eflectances de 61 surfaces mesur´ees. Le syst`eme d’acquisition se sert d’une source lumineuse halog`ene, d’une cam´era vid´eo `a

Figure 2.3. Le gonior´eflectom`etre de Matusik et al. [44].

trois CCDs et d’un bras robotis´e pour orienter l’´echantillon. Il est possible d’acqu´erir, avec ce syst`eme, des donn´ees de surfaces anisotropes. En 2003, Matusik et al. [44] construisent un syst`eme de capture de surfaces isotropes bas´e sur celui de Marschner et al. [43]. Ce syst`eme est rapide et robuste puisqu’il se sert de la r´eciprocit´e, de la sym´etrie et enregistre plusieurs ´echantillons `a la fois. En effet, en photographiant une sph`ere recouverte du mat´eriau convoit´e, on obtient instantan´ement un ´echantillon de la BRDF par pixel (figure 2.3). Plutˆot que de stocker simplement l’information dans une structure de donn´ees pour des BRDFs isotropes aux coordonn´ees (θi, θo, φdif f),

Matusik et al. optent pour le syst`eme de coordonn´ees de Rusinkiewicz [63] (θh, θd, φd).

Ce syst`eme r´eoriente la direction de r´eflexion miroir au pˆole, l`a o`u la param´etrisation non uniforme est le plus dense, afin d’avoir une meilleure r´esolution d’´echantillonnage au niveau de la zone sp´eculaire. Plus de 100 mat´eriaux sont disponibles en ligne dans la base de donn´ees MERL [47].

Afin de r´e´eclairer un visage de fa¸con r´ealiste avec un ´eclairage arbitraire, De-bevec et al. [16] proposent de mesurer les propri´et´es de r´eflectance d’un visage `a l’aide du light stage (figure 2.4). En ´eclairant ce visage `a partir de diff´erentes

posi-Figure 2.4. `A gauche, le premier light stage de Debevec et al. [16] ne poss´edait qu’une source lumineuse mobile pour faire l’acquisition des donn´ees, alors que les light stage 5 [76] (`a droite en haut) et light stage 6 [21] (`a droite en bas) poss`edent respectivement 156 LEDs et 840 LEDs. Ces derni`eres versions poss`edent ´egalement une cam´era pouvant enregistrer jusqu’`a 4800 images 800x600 par seconde avec un capteur CMOS `a 12 bits par canal, alors que seulement 30 images par seconde `a 8 bits par canal ´etaient enregistr´ees dans la premi`ere version.

tions, on obtient les paires de directions n´ecessaires `a la cr´eation d’une fonction de r´eflectance pour chaque pixel. L’utilisation de filtres polarisants permet de s´eparer les r´eflexions diffuses des r´eflexions sp´eculaires. Cette premi`ere version du light stage ne poss´edait qu’une lumi`ere directionelle en mouvement et l’acquisition ´etait faite par deux cam´eras. Le temps de cette acquisition ´etait d’une minute, dur´ee pendant laquelle le sujet devait rester immobile. D’autres versions plus performantes du light stage ont ensuite vu le jour [17, 21, 34, 76]. Mentionnons ´egalement d’autres go-nior´eflectom`etres comme celui de Han et Perlin [30], qui utilise un kal´e¨ıdoscope pour

faire l’acquisition de plusieurs points de vue `a partir d’un seul, celui de Dana et Wang [15] qui utilise un miroir parabolique et enfin celui de Ben-Ezra et al. [8], qui se sert de LEDs `a la fois pour ´emettre de la lumi`ere et pour faire l’acquisition des donn´ees.

2.3.2 Mesures virtuelles

Figure 2.5. Hi´erarchie d’´echelles de Westin et al. [77].

Cabral et al. [10] reprennent l’id´ee des micro-facettes, en utilisant une carte de hau-teurs appliqu´ee `a un maillage triangulaire pour d´eterminer l’orientation des facettes. Ils se servent de la carte d’horizon [45] pour d´eterminer le facteur d’ombrage et de masquage. Pour chacun de ces triangles, ils calculent la quantit´e de lumi`ere r´efl´echie multipli´ee par le facteur d’ombrage et de masquage dans 24 directions pr´ecalcul´ees. Ils utilisent les harmoniques sph´eriques afin de repr´esenter les BRDFs r´esultantes.

Westin et al. [77] proposent d’utiliser la simulation de Monte-Carlo pour lancer des rayons afin d’acqu´erir l’interaction de la lumi`ere avec la micro-g´eom´etrie d’une surface. En tra¸cant des rayons `a partir de multiples angles d’incidence et en utili-sant l’angle de sortie du rayon, ils d´eterminent la BRDF et l’enregistrent aussi sous

forme d’harmoniques sph´eriques. Cette m´ethode permet de repr´esenter des types de micro-g´eom´etries compl`etement arbitraires, contrairement aux mod`eles analytiques qui sont restreints `a certains types et `a la m´ethode de Cabral et al. [10] qui ne si-mule que des champs de hauteurs. Les surfaces isotropes et anisotropes peuvent ˆetre repr´esent´ees et ils s’assurent ´egalement que les BRDFs produites soient r´eciproques et conservent l’´energie. Les rayons peuvent intersecter de multiples fois la surface avant d’en ´emerger, r´esolvant ainsi une illumination globale au niveau de la micro-g´eom´etrie. De plus, les BRDFs produites peuvent ˆetre r´eutilis´ees comme mat´eriaux sur la micro-g´eom´etrie.

Gondek et al. [26] utilisent ´egalement le lancer de rayons et le Monte-Carlo pour construire un goniospectrophotom`etre virtuel capable d’acqu´erir les effets d’in-terf´erence pr´esents sur les objets recouverts d’un film mince ou d’un revˆetement op-tique. C’est en conservant les informations relatives `a la phase de chaque longueur d’onde que ces effets sont possibles. Les effets de diffraction et de dispersion ne sont cependant pas mod´elis´es. Contrairement `a Cabral et al. [10] et Westin et al. [77], Gon-dek et al. [26] n’utilisent pas les harmoniques sph´eriques, mais plutˆot une structure de donn´ees adaptative bas´ee sur les diff´erents niveaux de subdivisions de la sph`ere g´eod´esique.

Zhao et al. [84] se servent de la tomodensitom´etrie (CT-scan) pour recr´eer un mod`ele volum´etrique de la micro-g´eom´etrie d’un mat´eriau, particuli`erement les tissus fibreux, et ainsi permettre un rendu volum´etrique qui poss`ede les caract´eristiques de r´eflectance du mat´eriau autant `a petite qu’`a grande ´echelle. Bien qu’il s’agisse d’une acquisition r´eelle, aucune donn´ee de r´eflectance n’est enregistr´ee pour cr´eer la BRDF. Une fonction de phase anisotrope aux param`etres jug´es visuellement ad´equats est utilis´ee lors du rendu et l’apparence r´ealiste t´emoigne de l’importance de la micro-g´eom´etrie pour l’apparence d’une surface. Mentionnons ´egalement l’appareil d’acqui-sition avec capteur ´elastom`ere de Johnson et al. [40] pour mesurer la micro-g´eom´etrie d’un objet r´eel. Une technique de mesure virtuelle peut ensuite ˆetre utilis´ee pour

r´ecup´erer la BRDF.

2.4 Mod`eles analytiques

Plusieurs mod`eles de BRDFs analytiques ont vu le jour depuis les ann´ees 1970. Phong [58] s’inspire des travaux de Warnock [74] ainsi que de Newell et al. [50], et propose un mod`ele empirique de reflets sp´eculaires. L’ajustement du param`etre de rugosit´e, qui correspond `a l’exposant du cosinus de l’angle entre la direction de la vue et la direction de r´eflexion miroir de la lumi`ere, se fait empiriquement et ne poss`ede aucune justification physique. Blinn [9] utilise les travaux de Torrance et Sparrow [70] pour am´eliorer le mod`ele de Phong et le rendre plus physiquement plausible. Ce mod`ele suppose que la surface est form´ee d’une distribution al´eatoire en azimuth de micro-facettes miroir en V de tailles identiques et orient´ees selon une certaine distribution. La distribution que Blinn utilise est celle de Trowbridge et Reitz [71] qui poss`ede un param`etre d’excentricit´e afin de contrˆoler la rugosit´e de la surface. Essentiellement, on veut savoir la proportion de micro-facettes dont les normales sont orient´ees selon la bissectrice de l’angle entre la direction vers la lumi`ere et la direction vers l’oeil. Ces micro-facettes r´efl´echiraient id´ealement en miroir la lumi`ere entre ces deux directions. `A cela s’ajoute un terme de Fresnel pour calculer la proportion de lumi`ere r´efl´echie selon l’angle d’incidence ainsi qu’un terme d’ombrage et de masquage pour compenser respectivement la proportion de lumi`ere incidente bloqu´ee par la micro-facette voisine de la paire et la proportion de lumi`ere r´efl´echie masqu´ee par la micro-facette oppos´ee. La figure 2.6 pr´esente les trois cas possibles de r´eflexion de la lumi`ere. Ce mod`ele est am´elior´e de nouveau par Cook et Torrance [13] de sorte `a repr´esenter plus fid`element les reflets sp´eculaires en fonction du mat´eriau, notamment par le changement de couleur induit par l’effet de Fresnel. Ils utilisent une autre distribution, celle de Beckmann [6], pour l’orientation des micro-facettes. L’´equation utilis´ee pour calculer la quantit´e de lumi`ere r´efl´echie Rs pour le terme

Figure 2.6. Le terme de visibilit´e, de masquage et d’ombrage. En (a), ni les rayons entrants, ni les rayons sortants ne sont bloqu´es. En (b), le ph´enom`ene de masquage : une micro-facette oppos´ee empˆeche les rayons r´efl´echis d’atteindre l’oeil. En (c), le ph´enom`ene d’ombrage : une micro-facette voisine de la paire empˆeche la lumi`ere d’atteindre la micro-facette ´evalu´ee. Image tir´ee de [9].

sp´eculaire des mod`eles bas´es sur les micro-facettes est essentiellement toujours la mˆeme :

Rs =

F DG

π(N · V )(N · L) (2.9)

o`u F est le terme de Fresnel, D est la proportion de micro-facettes dont les normales sont orient´ees selon la bissectrice de l’angle entre la direction vers la lumi`ere et la direction vers l’oeil, G est le facteur d’att´enuation g´eom´etrique (ombrage et mas-quage), N est la normale `a la surface, V la direction vers l’oeil et L la direction vers la lumi`ere. Oren et Nayar [54] utilisent le concept de micro-facettes lambertiennes, au lieu de miroir parfait, et ajoutent un coefficient de rugosit´e au terme diffus afin de simuler les interr´eflexions diffuses. Bien que ces mod`eles soient plutˆot limit´es en terme de repr´esentation de surfaces, ils sont parmi les plus utilis´es encore aujourd’hui. Cependant ils ne peuvent pas, par exemple, repr´esenter des surfaces r´etro-r´eflectives. Les mod`eles analytiques discut´es ci-haut sont tous bas´es sur des principes d’op-tique g´eom´etrique, c’est-`a-dire qu’on consid`ere la lumi`ere comme une particule et que les micro-facettes sont beaucoup plus grandes que la longueur d’onde de la lumi`ere. Cette simplification ne permet pas de reproduire les effets de la physique optique telles la diffraction et l’interf´erence de la lumi`ere, qui eux sont propres au mod`ele ondulatoire de la lumi`ere. He et al. [35] reprennent les travaux de Bass et Fuks [5]

Figure2.7. La forme du reflet sp´eculaire du mod`ele Ashikhmin et Shirley [3], en fonction des param`etres nu et nv, deux exposants de style Phong. Image

tir´ee de [3].

ainsi que de Beckmann et Spizzichino [6] pour cr´eer un mod`ele de r´eflectance bas´e sur l’optique physique avec trois termes : sp´eculaire, diffus directionnel et diffus uni-forme. Ce nouveau mod`ele, qui s’inspire aussi de celui de Cook et Torrance [13], tient ´egalement compte de la polarisation de la lumi`ere incidente. Deux param`etres de ru-gosit´e, l’un pour la moyenne quadratique de la hauteur des sommets et l’autre pour la distance entre les sommets, ainsi qu’un indice de r´efraction, permettent de contrˆoler l’aspect de la surface. Ce mod`ele est ´etendu par Stam [67] pour y inclure la diffrac-tion et la repr´esentation de surfaces anisotropes. Ces derni`eres sont caract´eris´ees par un changement d’apparence en fonction de leur orientation dˆu `a une forte orienta-tion commune de la micro-g´eom´etrie. Un mat´eriau isotrope ´eclair´e dans une direction fixe et regard´e d’une direction fixe ne changera pas d’apparence s’il pivote autour de l’axe de sa normale au point observ´e ; ce qui est faux pour les mat´eriaux anisotropes. Les m´etaux bross´es et les mat´eriaux structur´es comme les tissus, la fourrure et les cheveux en sont de bons exemples. Le mod`ele anisotrope de Poulin et Fournier [60] consid`ere la surface comme un plan auquel on ajoute des cylindres tous orient´es dans la mˆeme direction pour former des bosses ou des crevasses. Le mod`ele de r´eflectance

qui gouverne le plan et les cylindres est celui de Blinn [9], au lieu d’ˆetre simplement des miroirs parfaits. De la mˆeme fa¸con que les mod`eles de micro-facettes en V, ils calculent la quantit´e de lumi`ere r´efl´echie en tenant compte des facteurs d’ombrage et de masquage. Une solution analytique est pr´esent´ee, mais ils proposent ´egalement de les calculer par une m´ethode d’´echantillonnage pour simuler les interr´eflexions. Deux param`etres contrˆolent l’anisotropie : la distance entre les centres de deux cy-lindres voisins et la portion des cycy-lindres qui ´emerge du plan. Ward [73] propose un mod`ele qui, sans ˆetre uniquement bas´e sur des principes physiques, peut repr´esenter les ph´enom`enes de r´eflexion les plus importants [44]. Pour valider son mod`ele, il uti-lise le gonior´eflectom`etre du Lawrence Berkeley Laboratory avec certains mat´eriaux et approxime les donn´ees en ajustant les param`etres de son mod`ele. La forme du reflet sp´eculaire est contrˆol´ee par deux param`etres non corr´el´es qui repr´esentent l’´ecart-type des distributions gaussiennes de l’inclinaison des pentes dans les directions perpendi-culaires. Le mod`ele anisotrope de Ward est par la suite am´elior´e `a deux reprises par D¨ur [20] et par Geisler-Moroder et D¨ur [24]. Notons ´egalement les travaux de Ashikh-min et Shirley [3], qui proposent un mod`ele anisotrope aux param`etres intuitifs, qui ob´eit aux lois de conservation d’´energie et de r´eciprocit´e, qui tient compte de l’effet de Fresnel, avec un terme diffus non lambertien, et qu’il est possible d’´echantillonner par importance pour les rendus Monte-Carlo.

Tous les mod`eles de r´eflexion pr´ec´edent supposent une micro-g´eom´etrie opaque. Pour repr´esenter les mat´eriaux multi-couches, d’autres mod`eles sont n´ecessaires. No-tons d’abord les travaux de Kubelka et Munk [42] ainsi que de Hanrahan et Krue-ger [31]. Ces derniers, ne proposant pas de mod`eles analytiques pour calculer la BRDF, ne sont que tr`es peu utilis´es en imagerie de synth`ese. Neumann et Neumann [49], quant `

a eux, proposent deux des premiers mod`eles multi-couches qui tiennent compte de l’absorption entre les couches, mais n´egligent les r´eflexions totales internes. Au lieu de simplement additionner ind´ependamment deux BRDFs, comme un Blinn et un Lambert par exemple, Kelemen et Szirmay–Kalos [41] utilisent le coefficient de

Fres-Figure 2.8. Types de surfaces possibles avec le mod`ele de Weidlich et Wil-kie [75]. Image modifi´ee de [75].

nel comme poids sur le terme diffus, de sorte qu’uniquement la lumi`ere qui n’est pas r´efl´echie par la BRDF sp´eculaire (un Cook-Torrance simplifi´e) affecte la couche diffuse. Ainsi, `a angle rasant, le terme diffus est moins important.

Weidlich et Wilkie [75] se basent sur les travaux de Dorsey et Hanrahan [19] pour combiner un nombre arbitraire de couches. Le temps de calcul du mod`ele de BRDFs combin´ees prend `a peine un peu plus de temps que la somme des temps de calcul de chaque BRDF. Une bonne vari´et´e de surfaces peuvent ˆetre ainsi repr´esent´ees (figure 2.8). Le mod`ele est physiquement plausible, tient compte de l’absorption dans chaque m´edium, simule les interr´eflexions entre les couches, permet l’´echantillonnage par importance et est assez simple. D’autres mod`eles plus complexes comme ceux de Icart et Arqu`es [38], Hirayama et al. [37] ou Granier et Heidrich [27], tiennent ´egalement compte de ph´enom`enes de la physique optique comme la dispersion et l’interf´erence, cette derni`ere causant l’iridescence.

2.5 Conception et ´edition de mat´eriaux

Depuis les ann´ees 2000, de nombreux travaux ont ´et´e faits sur la conception et l’´edition interactive de mat´eriaux. Certains ne modifient que l’apparence de BRDFs

Figure2.9. La cr´eation et le rendu fait dansBRDF-Shop[11] d’un ´el´ephant poss´edant une BRDF dont les reflets sp´eculaires forment un sourire sur une sph`ere lorsqu’elle est ´eclair´ee par une lumi`ere ponctuelle. Image tir´ee de [11].

existantes, analytiques ou acquises, comme ceux de Ben-Artzi et al. [7] et Pellacini et Lawrence [56]. BRDF-Shop, par Colbert et al. [11], est un logiciel qui permet de dessiner artistiquement les reflets sp´eculaires d’une BRDF sur une sph`ere et d’ob-server, en temps r´eel, le r´esultat sur un objet plus complexe dans diff´erents environ-nements d’´eclairage, tel qu’illustr´e `a la figure 2.9. L’interface est simple, diff´erentes brosses sont disponibles pour dessiner les reflets sp´eculaires et une int´egration est possible directement dans le logiciel d’animation 3D Maya d’Autodesk [4]. Inspir´es par les travaux de Colbert et al. [11], Weyrich et al. [78] d´eveloppent une technique pour cr´eer physiquement un objet dont la micro-g´eom´etrie lui donne les propri´et´es de r´eflectance d´esir´ees. BRDFLab, cr´e´e par For´es et al. [23], est un logiciel capable de combiner interactivement plusieurs BRDFs ou de simuler, `a l’aide de la librairie SCATMECH [25], la BRDF associ´ee `a une micro-g´eom´etrie 3D, puis de param´etriser un mod`ele analytique pour repr´esenter la BRDF r´esultante en utilisant un algorithme d’optimisation non lin´eaire de Levenberg-Marquardt. Une telle BRDF est repr´esent´ee `

a la figure 2.10. Il est ensuite possible d’observer le rendu sous diff´erentes conditions d’´eclairage. Une version t´el´echargeable est disponible en ligne [22], mais la simula-tion n’est pas possible dans cette version. On peut voir sur ce mˆeme site web que les options pour la simulation semblent limit´ees `a des cartes de hauteurs et d’autres param`etres g´eom´etriques pr´ed´efinis et limit´es.

Figure2.10. `A gauche, la combinaison lin´eaire d’un lobe Lambertien, un lobe anisotrope de Lafortune et un lobe de Blinn-Phong dans BRDFLab [23]. `A droite, le r´esultat d’une simulation `a l’aide de la librairie SCATMECH [25] dans le mˆeme logiciel. Image tir´ee de [23].

Inspir´es par les travaux de Heidrich et al. [36], Wu et al. [83] proposent un ou-til interactif de conception de mat´eriaux `a petite et `a grande ´echelles, qui permet ´egalement de cr´eer ais´ement une surface r´eelle poss´edant les mˆemes caract´eristiques de r´eflectance. Ils utilisent les termes petite et grande ´echelles au lieu de micro ou milli pour ne pas contraindre `a une mesure physique, le ratio ´etant ce qui est impor-tant. En modifiant la g´eom´etrie `a petite ´echelle et le mod`ele de r´eflectance associ´e `

a ses faces, l’apparence de l’objet `a grande ´echelle change. Pour d´eterminer l’appa-rence `a grande ´echelle, ils utilisent un nouvel algorithme de filtrage de r´eflectance qui se sert de la BVNDF (Bidirectional Visible Normal Distribution Function). Celle-ci repr´esente la distribution des normales incluant un terme de visibilit´e en fonction de la direction de la lumi`ere et de la direction de vue, contrairement aux algorithmes de Tan et al. [69] ou Han et al. [29] qui ne tiennent pas compte des effets d’om-brage et de masquage. Pour calculer cette visibilit´e, ils ´echantillonnent la g´eom´etrie `

a petite ´echelle et calculent la visibilit´e en fonction de la direction de la lumi`ere et de la direction de la vue. La g´eom´etrie `a petite ´echelle peut ˆetre modifi´ee avec des param`etres pr´ed´efinis, comme la profondeur des extrusions, ou en dessinant une carte de hauteurs `a mˆeme l’interface. Diff´erents mod`eles de r´eflectance peuvent ˆetre

ap-Figure2.11. Modification de la g´eom´etrie et de ses propri´et´es de r´eflectance `a petite ´echelle et son impact sur l’apparence `a grande ´echelle. Image tir´ee de [83].

pos´es sur la g´eom´etrie `a petite ´echelle, incluant sur diff´erentes faces. Puisqu’il s’agit d’une m´ethode de filtrage, il est ´egalement possible de voir apparaˆıtre graduellement la g´eom´etrie `a petite ´echelle lorsque l’on s’approche de la surface. L’interface semble ´egalement tr`es conviviale, mais il est impossible de cr´eer des mat´eriaux multi-couches. La figure 2.11 montre un exemple de l’interface et de r´esultats.

Chapitre 3

CONCEPTION DE MAT´

ERIAUX

Un logiciel prototype a ´et´e cr´e´e dans le cadre de ce m´emoire afin de pr´esenter une application tangible de notre projet. L’interface se veut conviviale pour les artistes et est vaguement inspir´ee du logiciel de dessin Adobe Photoshop [1] et du logiciel d’animation 3D Autodesk Softimage [4], deux logiciels tr`es utilis´es dans l’industrie, notamment `a Montr´eal. Le fonctionnement de notre prototype est ´egalement tr`es intuitif : on choisit d’abord un outil avec lequel dessiner une fronti`ere, on assigne les mat´eriaux de part et d’autre de cette derni`ere, on dessine, on simule, on observe le r´esultat et on exporte la BRDF si celle-ci convient.

3.1 Interface

Nous ferons d’abord la description des fonctionnalit´es du logiciel avant d’expliquer les structures de donn´ees et les algorithmes utilis´es, afin de donner au lecteur une id´ee g´en´erale de son fonctionnement. La figure 3.1 montre l’interface et un exemple de mat´eriau.

3.1.1 Le dessin

Lorsque nous dessinons un segment dans le canvas de l’interface, nous dessinons une fronti`ere qui s´epare deux sous-mat´eriaux, c’est-`a-dire deux m´edia `a mˆeme le mat´eriau principal dont nous voulons obtenir la BRDF. Une fronti`ere peut s´eparer deux m´edia superpos´es, comme une couche de peinture sur une surface m´etallique, ou un m´edium `a l’int´erieur d’un autre, comme une goutte de peinture prise dans le verre. Ces deux sous-mat´eriaux sont qualifi´es de normal et d’oppos´e, respectivement

Figure 3.1. L’interface du logiciel est divis´ee en plusieurs zones : en haut `a gauche, les outils de dessin ; en bas `a gauche, les caract´eristiques des sous-mat´eriaux ; au centre, le canvas dans lequel on dessine les fronti`eres ; en bas au centre, les outils de visualisation quantitative de la BRDF ; en haut `a droite, les options de simulation ; en bas `a droite, les outils de visualisation qualitative dont la fenˆetre de rendu. Ici, de petits bourgeons d’or, en orange, ´emergent d’une base diffuse verte, en vert. Notez que les zones entre les deux fronti`eres sont inacessibles dans cet exemple et qu’aucun traitement particulier n’est requis. La fenˆetre de rendu montre un objet couvert de cette BRDF et ´eclair´e par une lumi`ere directionnelle.

le sous-mat´eriau du cˆot´e positif de la normale au segment et celui du cˆot´e oppos´e `a la normale (voir la figure 3.2). Soit −D→s la direction du segment, alors la normale du

segment est−N→s = (−

−→ Ds.y,

−→

Ds.x). La direction du segment dessin´e est d´etermin´ee par

l’ordre des sommets et en r`egle g´en´erale, on dessine de gauche `a droite. Ces sous-mat´eriaux doivent toujours ˆetre sp´ecifi´es. Notez qu’il serait possible de d´eterminer automatiquement le sous-mat´eriau normal dans lequel une nouvelle fronti`ere est des-sin´ee et de le mettre `a jour lorsqu’un changement est effectu´e, mais il n’existe pas de

Figure3.2. Les sous-mat´eriaux normal et oppos´e sont dict´es par la direction du segment dessin´e, selon l’ordre des sommets.

solution triviale pour des micro-g´eom´etries multi-couches complexes poss´edant des r´egions ambigu¨es. Pour des raisons de simplicit´e, l’artiste a donc la responsabilit´e de les d´efinir correctement et il est possible pour une mˆeme fronti`ere d’avoir des segments ne poss´edant pas tous les mˆemes sous-mat´eriaux normaux et oppos´es.

Quelques outils ont ´et´e cr´e´es pour faciliter le dessin. Avec l’outil segments, on des-sine des segments de droite entre deux ou plusieurs points. Il est possible de fermer automatiquement les segments en demandant de dessiner un segment entre le dernier et le premier sommet. Notez que la structure est r´ep´etitive entre gauche et droite, i.e., un sommet cr´e´e sur la fronti`ere droite du canvas est dupliqu´e et ce nouveau sommet est positionn´e `a la mˆeme hauteur sur la fronti`ere gauche pour obtenir une surface connect´ee qui boucle, et vice versa. Avec l’outil V, il est possible de composer une fronti`ere `a l’aide de micro-facettes en forme de V. Lorsque l’outil est s´electionn´e, deux param`etres sont disponibles : ´ecart-type et largeur (en pixels). Une distribution gaussienne est utilis´ee pour d´eterminer l’inclinaison des micro-facettes, selon la valeur de ces param`etres. On peut ´egalement choisir une fronti`ere et la rendre plus lisse en utilisant un algorithme de subdivision de courbes, soit l’algorithme Odd [68] avec d = 3 dans notre cas. On pourrait ´egalement penser `a des outils qui permettraient de dessiner `a main lev´ee, de faire des formes g´eom´etriques sp´ecifiques, de g´en´erer des distributions g´en´erales de ces formes ou selon un algorithme de synth`ese de

distri-butions qui pourrait, par exemple, remplir une zone avec certaines formes selon une distribution particuli`ere [39] ou bas´e sur un exemple [2]. On pourrait aussi penser `a transformer un segment de droite en micro-facettes.

3.1.2 Sous-mat´eriaux

Les param`etres des sous-mat´eriaux sont inspir´es du mat´eriau Architectural de Mental Ray [52]. Chacun des trois composants, diffus, r´eflexion et r´efraction, poss`ede un param`etre d’´echelle S ∈ [0, 1] qui repr´esente la probabilit´e qu’un rayon soit diffus´e, r´efl´echi ou r´efract´e. L’ordre de priorit´e d´ecroissant est ´etabli de la fa¸con suivante : r´eflexion > r´efraction > diffusion, c’est-`a-dire qu’un rayon qui est diffus´e est un rayon qui n’a ni ´et´e r´efl´echi, ni r´efract´e d’abord. Si ce dernier n’est pas non plus diffus´e, il est tout simplement absorb´e. Notez que pour rester fid`ele au mat´eriau Architectural,

Algorithme 1 : L’algorithme utilis´e pour d´eterminer le type de rebond qu’ef-fectue un rayon `a l’intersection d’une fronti`ere. SRF L, SRF R et SDIF, ∈ [0, 1]

chacun, sont respectivement les ´echelles de r´eflexion, r´efraction et diffusion. begin

typeRebond ← T ypeN ul; ξ ← [0, 1); S ← SRF L; if ξ < S then typeRebond ← T ypeRf l; else S ← S + SRF R; if ξ < S then typeRebond ← T ypeRf r; else S ← S + SDIF; if ξ < S then typeRebond ← T ypeDif ; else typeRebond ← T ypeAbs; end

la somme de ces valeurs d’´echelles n’est pas normalis´ee, c’est-`a-dire que si tous les param`etres d’´echelle sont `a un, le rayon sera forc´ement r´efl´echi lorsqu’aucun effet de Fresnel n’est pris en compte. En somme, nous utilisons l’algorithme 1 pour d´eterminer le sort d’un rayon lorsqu’il y a intersection. Ainsi, la loi de la conservation d’´energie (´equation 2.7 de la page 6) est respect´ee mˆeme si la somme de ces param`etres est sup´erieure `a un. Cette m´ethode de d´ecision par ordre de priorit´e se marie bien `a notre syst`eme puisque nous utilisons l’´echantillonnage par importance (importance sampling) pour notre simulation Monte-Carlo. Pour la r´eflexion et la r´efraction, un param`etre de rugosit´e permet de d´evier le rayon al´eatoirement autour de la direction de r´eflexion/r´efraction id´eale selon une distribution en forme d’un lobe de cosinus usuel [9, 58]. Soient ξ1 et ξ2 des variables al´eatoires ∈ [0, 1) et n un exposant

inverse-ment proportionnel `a la rugosit´e, la d´eviation Ψd(θ, φ) est donn´ee par [57] :

Ψd(θ, φ) =  cos−1n+1p ξ1  , 2πξ2  . (3.1)

Le terme diffus est lambertien et la direction du rebond est choisie al´eatoirement selon l’´equation 3.1 avec n = 0. Cependant, il faut noter que la d´eviation d’un terme diffus est faite par rapport `a la normale `a la surface et non au rayon r´efl´echi. Un maximum de 15 sous-mat´eriaux a ´et´e instaur´e afin de pouvoir les distinguer ais´ement dans le canvas, mais il ne s’agit pas d’une contrainte importante puisqu’il est possible de r´eutiliser une BRDF, cr´e´ee pr´ec´edemment, comme sous-mat´eriau. Notez que pour des raisons de simplicit´e, un ´echantillonnage uniforme de la BRDF r´eutilis´ee est fait, mais il serait pr´ef´erable d’utiliser un ´echantillonnage par importance.

Fresnel

Un ph´enom`ene physique tr`es important est d´ecrit par les ´equations de Fresnel. Ces ´equations permettent de calculer la proportion de lumi`ere r´efl´echie lorsqu’un rayon traverse la fronti`ere de deux m´edia dont les indices de r´efraction sont diff´erents.

La fraction de lumi`ere r´efl´echie est proportionnelle `a l’angle d’incidence. Donc, plus l’angle entre le rayon entrant et la normale `a la surface est grand, plus la fraction de lumi`ere r´efl´echie est importante par rapport `a la fraction de lumi`ere r´efract´ee. Cet effet peut facilement ˆetre observ´e `a partir d’un quai sur l’eau. Lorsque nous regardons droit dans l’eau, nous voyons peu de r´eflexion du ciel alors qu’au loin, une eau calme apparaˆıtra comme un miroir. Deux approximations de ce ph´enom`ene sont g´en´eralement utilis´ees dans les logiciels de rendu : les ´equations pour les mat´eriaux di´electriques, c’est-`a-dire les isolants ´electriques comme l’eau, le verre ou le plastique, et les ´equations pour les mat´eriaux qui conduisent l’´electricit´e comme les m´etaux et les semi-conducteurs. Il n’y a pas de r´efraction dans ces derniers, la lumi`ere est soit r´efl´echie, soit absorb´ee et transform´ee en chaleur. Ils poss`edent des indices de r´efraction complexes dont la partie imaginaire est grande, et demandent d’autres ´equations.

Ces ´equations poss`edent diff´erentes formes selon la polarisation de la lumi`ere. La polarisation peut ˆetre parall`ele (k) ou perpendiculaire (⊥) au plan d’incidence. Puis-que la majorit´e des logiciels de rendu n’en tiennent pas compte, nous consid´erons que la lumi`ere incidente n’est pas polaris´ee davantage dans une orientation. Les ´equations utilis´ees sont tir´ees du livre de Pharr et Humphreys [57]. Les ´equations 3.2 et 3.3 sont sp´ecifiques aux di´electriques, alors que les ´equations 3.4 et 3.5 sont sp´ecifiques aux conducteurs. rk = ηtcos θi− ηicos θt ηtcos θi+ ηicos θt (3.2) r⊥= ηicos θi− ηtcos θt ηicos θi+ ηtcos θt (3.3) r_k2 = (η 2_{+ k}2_{) cos θ} i2− 2η cos θi+ 1 (η2 _{+ k}2_{) cos θ} i2+ 2η cos θi+ 1 (3.4) r2_⊥= (η 2_{+ k}2_{) − 2η cos θ} i+ cos θi2 (η2_{+ k}2_{) + 2η cos θ} i+ cos θi2 (3.5)

Figure3.3. De gauche `a droite, la fraction de lumi`ere r´efl´echie par des sph`eres d’indices de r´efraction croissants (1.3, 1.5, 1.8, 2.4) dans l’air (1.0). Voir le fichier PDF de ce m´emoire pour une repr´esentation plus fid`ele.

Pour les ´equations 3.2 et 3.3, ηi et ηt sont respectivement l’indice de r´efraction du

m´edium incident et l’indice de r´efraction du m´edium dans lequel le rayon sera trans-mis, alors que pour les ´equations 3.4 et 3.5, η et k sont respectivement l’indice de r´efraction et le coefficient d’extinction du m´etal, le m´edium incident n’ayant pas d’im-pact. L’´equation 3.6 s’applique aux deux types de mat´eriaux et donne la fraction de lumi`ere r´efl´echie lorsqu’elle n’est pas polaris´ee :

Fr =

1 2 r

2

k + r⊥2
. (3.6)

La figure 3.3 montre la fraction de lumi`ere r´efl´echie par des sph`eres aux indices de r´efraction diff´erents.

Dans l’onglet de l’indice de r´efraction d’un sous-mat´eriau, il est possible de charger des valeurs tabul´ees d’indices de r´efraction de mat´eriaux mesur´es pour les diff´erentes longueurs d’onde. Ceci est particuli`erement utile lorsque l’on veut recr´eer le plus fid`element possible un mat´eriau compos´e de m´etaux.

En plus de ces ´equations, nous avons aussi impl´ement´e l’approximation de Schlick [65], qui contrˆole le coefficient de Fresnel `a l’aide d’un seul param`etre plutˆot que par les indices de r´efraction. Soit θ la moiti´e de l’angle entre le rayon incident et le rayon r´efl´echi, et R0 la fraction de lumi`ere r´efl´echie lorsque θ = 0, l’approximation

du terme de Fresnel est donn´ee par :

R (θ) = R0+ (1 − R0) (1 − cos θ) 5

. (3.7)

Absorption

Un autre ph´enom`ene physique important est l’absorption de la lumi`ere. Lorsqu’un rayon voyage dans un m´edium, une partie de la lumi`ere est absorb´ee par celui-ci. La figure 3.4 montre l’effet qu’a l’´epaisseur d’une couche r´efractive sur le r´esultat lorsqu’il y a absorption. Soient α le coefficient d’absorption du m´edium et d la distance que parcourt le rayon dans ce m´edium, la loi de Beer–Lambert [79] d´etermine l’intensit´e du rayon I `a la fin de son trajet ´etant donn´ee une intensit´e de d´epart I0 :

I = I0e−αd. (3.8)

3.1.3 Simulation

En ce qui concerne la simulation, mis `a part la micro-g´eom´etrie et les sous-mat´eriaux, trois param`etres sont critiques : la r´esolution de la BRDF, le nombre de rayons lanc´es et le filtrage utilis´e. Les r´esolutions de BRDF possibles, r = 15, 20, 30, 45, 60 et 90, correspondent respectivement `a des r´esolutions (θi, θo, φdif f) de

(r + 1, r + 1, 2r + 1) pour une r´eflexion isotrope. Par r´esolution, nous entendons le nombre de valeurs diff´erentes qu’une coordonn´ee peut prendre dans la BRDF. `A titre d’exemple, une r´esolution de BRDF r = 30 donne des valeurs de θi `a tous les trois

degr´es entre 0◦ et 90◦, soit r+1 = 31 valeurs diff´erentes. Nous avons fix´e les r´esolutions afin d’effectuer un pr´ecalcul des distances angulaires entre chaque paire d’angles ainsi que le classement en ordre croissant de ces derni`eres afin seulement d’acc´el´erer le fil-trage. Le nombre de rayons lanc´es correspond `a celui pour chaque valeur de θi, donc

Figure 3.4. De gauche `a droite en bas, une couche uniquement r´efractive brunˆatre, en brun, au-dessus d’une couche diffuse blanche de plus en plus pro-fonde, en gris. L’absorption dans le m´edium r´efractif fait en sorte que de moins en moins de lumi`ere p´en`etre jusqu’`a la couche diffuse et remonte `a la surface. Un autre effet visible de l’absorption est l’augmentation de la saturation avec l’augmentation de la profondeur. En haut, dragon rendu avec les mat´eriaux correspondants.

deux millions de rayons avec une r´esolution de 90 ´equivaut `a 182 millions de rayons lanc´es au total. La simulation donne des r´esultats en temps interactif pour toute r´esolution, car le nombre de rayons lanc´es entre chaque it´eration est ajust´e pour qu’il y ait environ trois rafraˆıchissements de l’image par seconde. Comme la simulation tend `

a converger rapidement vers une approximation assez fid`ele, des premiers r´esultats tr`es rapides, en l’espace d’une ou deux secondes, sont souvent suffisants pour savoir si nous devons ajuster les param`etres des sous-mat´eriaux ou de la micro-g´eom´etrie pour obtenir la BRDF d´esir´ee. Il est possible d’arrˆeter `a tout moment la simulation. Pour les BRDFs que l’on d´esire exporter, il est pr´ef´erable de laisser rouler la simulation un peu plus longtemps, afin d’obtenir de meilleurs r´esultats. Pour obtenir des BRDFs plus lisses en moins de temps, diff´erents filtres sont disponibles, tels les filtres boˆıte ou gaussien. Le rayon du filtre se calcule en degr´es pour faciliter la visualisation de l’´etendue de ce dernier. En plus du lissage des donn´ees, on s’assure de la r´eciprocit´e

de la BRDF telle que vue `a l’´equation 2.6 de la page 5 en moyennant toute paire de directions avec sa paire interchang´ee.

3.1.4 Visualisation de la BRDF

Figure 3.5. De gauche `a droite : les coupes transversales rouge-vert-bleu de la BRDF pour une direction incidente, un mod`ele 3D color´e de la BRDF bas´e sur la luminance pour la mˆeme direction incidente, un rendu d’un objet avec la BRDF et une lumi`ere directionnelle et un rendu d’un objet avec la BRDF ´eclair´e par une carte d’environnement HDR. La micro-g´eom´etrie diffuse rugueuse est faite de micro-facettes en V et ressemble beaucoup `a la forme de la BRDF de Oren-Nayar [54].

Diff´erentes fenˆetres pour visualiser la BRDF sont disponibles (figure 3.5). Tout d’abord, une coupe transversale centrale de la BRDF en 2D (ici r´etro-r´efl´echissante) est affich´ee pour chacun des trois canaux, rouge, vert et bleu, incluant la direction incidente. Chacun des sommets des segments de la coupe correspond `a un intervalle de r´esolution angulaire. Similairement, un mod`ele 3D de la BRDF est ´egalement affich´e. La position de chaque sommet de l’h´emisph`ere est bas´ee sur la luminance de la BRDF et le sommet est color´e. Contrairement `a l’affichage de la coupe transversale, le mod`ele 3D est en fait une sph`ere g´eod´esique, `a niveau de r´esolution variable, d´eform´ee. Nous avons choisi cette structure pour avoir une subdivision uniforme de l’h´emisph`ere et voir le plein effet de l’interpolation trilin´eaire lors de l’acc`es aux donn´ees de la BRDF (section 3.2). Ce type de visualisation de la BRDF est utile non seulement pour faire des liens entre la forme de la BRDF et son aspect une fois rendue, mais

´egalement pour observer la convergence de la simulation. Une fenˆetre de rendu est ´egalement disponible. Il est possible de rendre diff´erents objets ayant comme mat´eriau la BRDF, soit avec une lumi`ere directionnelle, soit avec une carte d’environnement HDR (High Dynamic Range). Le rendu se fait instantan´ement dans le premier cas, alors qu’il est progressif dans le second. Le rendu avec carte d’environnement se fait par ´echantillonnage uniforme de la BRDF. Lors du rendu, l’image de l’environnement est affich´ee, puis disparaˆıt lorsqu’on l’arrˆete. Le rendu avec lumi`ere directionnelle se fait simultan´ement avec la simulation pour montrer le r´esultat en cours de route. Il est ´egalement possible, dans les deux cas, d’ajouter de l’occultation ambiante (ambient occlusion) pr´e-calcul´ee ou de changer l’intensit´e de la lumi`ere ou de l’environnement sans avoir `a recommencer le rendu.

Pour des raisons de simplicit´e et de rapidit´e, les rendus ne se font pas sur des mod`eles 3D, mais plutˆot sur des cartes de normales et de rayons incidents pr´ecalcul´ees. Plusieurs cartes de quelques objets, `a la mani`ere d’une table tournante, ont ´et´e ren-dues dans le logiciel Softimage afin d’obtenir les normales, les directions de rayons incidents et l’occultation ambiante sous diff´erents points de vue.

3.1.5 Exportation/importation de BRDFs

Il est possible d’exporter et d’importer une BRDF sous deux formats binaires : le mod`ele utilis´e par Matusik et al. [44] pour la base de donn´ees MERL [47] dans l’espace de Rusinkiewicz [63] (θh, θd, φd) et celui utilis´e `a l’interne dans notre logiciel

(θi, θo, φdif f). Lorsque l’on importe une BRDF au format de Matusik, il faut d’abord

choisir la r´esolution avec laquelle elle sera interpr´et´ee et transform´ee dans le mod`ele interne. Seul le format interne peut ˆetre utilis´e pour les sous-mat´eriaux, il faut donc d’abord importer une BRDF au format de Matusik, puis l’exporter dans le format interne avant de pouvoir l’utiliser.

Le format de Matusik est utilis´e dans d’autres logiciels de visualisation, comme BRDF Explorer [18] de Disney Animation Studios, qui offre une gamme compl`ete

Figure 3.6. En haut `a gauche, le rendu de la BRDF de la base de donn´ees MERL gold-metallic-paint dans notre logiciel et `a droite, dans le logiciel PBRT. En bas, le rendu d’une BRDF simul´ee d’un mat´eriau dor´e un peu rugueux dans notre logiciel et `a droite, dans le logiciel PBRT.

d’outils de visualisation de BRDFs, ainsi que le logiciel de rendu PBRT de Pharr et Humphreys [57]. Un menu, `a mˆeme notre logiciel, a ´et´e cr´e´e pour lancer automati-quement dans PBRT le rendu d’une sc`ene, parmi un choix de sc`enes, dont les objets ont pour mat´eriau la BRDF simul´ee et dont la carte d’environnement est la mˆeme. La figure 3.6 montre des rendus faits avec notre prototype et avec PBRT.

3.2 Structure de donn´ees

La structure de donn´ees principale utilis´ee pour stocker notre BRDF est pa-ram´etris´ee en fonction des coordonn´ees (θi, θo, φdif f) (voir la figure 3.7). Notez que la

valeur de θi = π₂ est en fait π₂−_8(dim(θπ_i)−1), o`u dim (θi) donne la r´esolution de θi, pour

Figure3.7. La repr´esentation(θi, θo, φdif f)utilis´ee pour stocker la BRDF. La

zone grise est la zone miroir telle que(θi, θo, φdif f) = (θi, θo, 2π − φdif f). La

zone bleue correspond `a la zone dans laquelle les rayons sortants sont stock´es `a ce mˆeme indice. La zone verte correspond `a l’´equivalent pour les rayons entrants pourφi = 0. Visuellement, pour chaque intervalle des valeurs deθi discr´etis´ees,

il y a une structure(θo, φdif f)associ´ee.

certains d´esavantages lorsqu’on la compare avec d’autres, elle poss`ede ´egalement d’im-portants avantages n´ecessaires `a ce projet.

Tout d’abord, bien que la param´etrisation ne soit pas uniforme, comme celle en forme d’h´emisph`ere g´eod´esique utilis´ee par Gondek et al. [26], elle ne requiert aucune structure acc´el´eratrice pour acc´eder `a ses donn´ees. `A partir des deux directions ωi et

ωo, on obtient directement θi, θo et φdif f, et il ne suffit que de multiplier et diviser

pour obtenir les indices dans la structure. Soient dim (θi), dim (θo) et dim (φdif f) les

r´esolutions de θi, θo et φdif f respectivement :

θii, θoj, φdif fk
=  θi(dim (θi) − 1) π 2 ,θo(dim (θ_π o) − 1) 2

,φdif f(dim (φdif f) − 1) π

 . (3.9) Le temps est un facteur crucial dans ce projet et nous nous devons d’aller cher-cher le maximum de strat´egies afin d’acc´el´erer le processus de simulation. Notre

pa-ram´etrisation ne repr´esente pas non plus aussi bien la BRDF qu’une param´etrisation non uniforme (θh, θd, φd) de Rusinkiewicz [63], dont la r´esolution est plus grande

autour de la direction de la r´eflexion miroir ainsi que celle de la r´etro-r´eflexion. Par contre, sa simplicit´e permet de calculer les angles solides de chaque intervalle ais´ement, avec la formule de Girard [82] et facilite le processus de filtrage. Tel qu’expliqu´e `a la section 3.1.3, nous pr´e-calculons les distances entre chaque paire de valeurs (θo, φdif f)

et elles sont les mˆemes, peu importe les valeurs de θi. La boucle de filtrage peut donc

s’effectuer de fa¸con tr`es efficace imm´ediatement apr`es la simulation, chose qui est plus compliqu´ee avec la param´etrisation de Rusinkiewicz. Les valeurs d’angles solides et du facteur cosinus sont stock´ees pour chaque paire (θo, φdif f) et ne sont appliqu´ees

qu’au moment de la lecture et non au moment de l’enregistrement d’une contribu-tion. Il est ´egalement possible de parall´eliser la simulation sans section critique lors de l’´ecriture des donn´ees en utilisant cette param´etrisation. En effet, si l’on lance les rayons dans des indices de valeurs de θi diff´erents pour chaque processus qui roule

en parall`ele, nous sommes assur´es que deux processus n’iront jamais modifier une mˆeme valeur dans le tableau `a trois dimensions. En plus de ces trois param`etres, on ajoute ´egalement le type de rayons. Il en existe trois types pour la BRDF : sp´eculaire, r´eflexion et diffusion. Les rayons sp´eculaires sont ceux qui n’ont ´et´e r´efl´echis qu’une seule fois avant de sortir de la surface, tandis que les rayons de type r´eflexion l’ont ´et´e plus d’une fois. Les rayons de type diffusion ont quant `a eux ´et´e r´efl´echis de fa¸con diffuse par le mat´eriau de base de type Lambert ou par une BRDF simul´ee r´eutilis´ee. Les rayons r´efract´es, ne sortant jamais de la surface par le haut, n’ont pas `a ˆetre pris en compte, `a moins qu’il y ait r´eflexion totale interne, mais ils sont consid´er´es comme sp´eculaires dans ce cas. Notez ´egalement qu’un rayon r´efract´e conserve le dernier type port´e, c’est-`a-dire q’un rayon de type T ypeRf r r´efract´e, reste de type T ypeRf r. Bien qu’il soit possible d’observer seulement un type de rayon `a la fois, l’exportation de la BRDF se fait avec tous les types de rayons.

3.3 Repr´esentation de la micro-g´eom´etrie

Puisque nous dessinons la micro-g´eom´etrie 2D d’une coupe transversale d’un mat´eriau et non la micro-g´eom´etrie 3D, il est important de comprendre ce que ces micro-g´eom´etries repr´esentent afin de g´erer la r´eflexion des rayons ad´equatement. En effet, ce qui n’apparaˆıt peut-ˆetre pas comme un probl`eme au premier regard, s’av`ere particuli`erement important quand on consid`ere la quantit´e d’information qu’il manque, c’est-`a-dire une dimension. Sans davantage de d´etails, aucune information n’est disponible pour expliquer comment se comporte la micro-g´eom´etrie dans le plan Y Z ou ailleurs sur la surface. Comment peut-on alors simuler de fa¸con physiquement plausible un mat´eriau se voulant bien r´eel, sans information dans la troisi`eme dimen-sion ?

3.3.1 Mode anisotrope

Figure 3.8. En pointill´es, la repr´esentation 3D de la micro-g´eom´etrie 2D extrapol´ee en mode anisotrope. Il s’agit simplement de faire une extrusion dans l’axe perpendiculaireZ au plan de coupeXY.

Bien que nous d´esirons repr´esenter des mat´eriaux isotropes dans ce projet, la repr´esentation 3D d’une surface anisotrope est beaucoup plus simple `a concevoir. Notez cependant que ce mode n’est pas disponible dans notre prototype et qu’il est d´ecrit ici afin de mieux exposer les probl`emes auxquels le mode isotrope se confronte.

Imaginons une surface anisotrope comme celles repr´esent´ees par le mod`ele de Poulin et Fournier [60]. La surface peut ˆetre repr´esent´ee comme une s´erie de demi-cylindres parall`eles orient´es. Si nous regardons une coupe transversale de la surface dans un plan perpendiculaire `a l’orientation des cylindres, celle-ci sera repr´esent´ee par une s´erie de demi-cercles. Or, si nous regardons cette coupe avec une cam´era orthographique et que les cylindres se poursuivent derri`ere le plan de coupe, nous voyons exactement la mˆeme chose : une s´erie de demi-cercles. La repr´esentation 3D d’une telle surface est simplement l’extrusion, dans la direction perpendiculaire, de la repr´esentation 2D de la coupe transversale. La figure 3.8 montre la repr´esentation 3D d’une micro-g´eom´etrie 2D quelconque en mode anisotrope. Le lancer de rayons peut donc s’ef-fectuer simplement en intersectant la projection du rayon sur le plan de coupe et la micro-g´eom´etrie 2D, ce qui repr´esente un gain important du temps de calcul en comparaison de l’intersection avec une micro-g´eom´etrie distribu´ee sur le plan. Une fois le point d’intersection trouv´e en 2D, nous utilisons le rayon 3D pour calculer la r´eflexion du rayon en fonction du sous-mat´eriau et de la micro-facette. Pour l’effet d’absorption, on peut facilement trouver la distance entre deux points d’intersection (X0, Y0, 0) et (X1, Y1, Z1) puisque l’on connaˆıt les coordonn´ees 2D et la direction du

rayon 3D. Pour repr´esenter la BRDF anisotrope compl`ete, fr(θi, φi; θo, φo), on doit

lancer des rayons avec des directions incidentes hors du plan de coupe, c’est-`a-dire avec diff´erentes valeurs de φi. Ceci n’est pas un probl`eme puisque nous conservons les

coordonn´ees 3D du rayon et que la repr´esentation 2D de la surface le permet.

Ceci ´etant dit, cette repr´esentation n’est exacte que lorsqu’on consid`ere la sur-face dans la direction hors plan comme ´etant planaire. En effet, si la surface est ´egalement d´eform´ee dans la dimension hors plan, la coupe transversale ne repr´esente plus fid`element la surface en 3D, puisque l’on ne distingue aucun cylindre orient´e pa-rall`element au plan de coupe. Deux solutions s’imposent : apposer un sous-mat´eriau qui tient ´egalement compte de cette d´eformation hors plan ou perturber la normale au point d’intersection selon une certaine distribution.