G´eom´etries
C´edric Bonnaf´e
CNRS - Institut Montpelli´erain Alexander Grothendieck
Montpellier, Juin 2018
G´eom´etrie euclidienne
G´eom´etrie euclidienne
•Points
G´eom´etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q
G´eom´etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q
•Droites
G´eom´etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q D
•Droites
G´eom´etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q D
•Droites
•Par deux points il passe une et une seule droite
G´eom´etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q D
•Droites
•Par deux points il passe une et une seule droite
G´eom´etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q D
•Droites
•Par deux points il passe une et une seule droite
•Axiome d’Euclide : ´Etant donn´es une droite D et un point P, il existe une et une seule parall`ele `aD passant par P.
G´eom´etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q D
•Droites
•Par deux points il passe une et une seule droite
•Axiome d’Euclide : ´Etant donn´es une droite D et un point P, il existe une et une seule parall`ele `aD passant par P.
Triangles
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Transformations
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
60◦
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
60◦\\
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
60◦\\
\\
b
P’
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
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Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
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b b
Q R
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
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O
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b
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Q R
b b
Q’ R’
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
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Q R
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Q’ R’
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
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b b
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Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
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Q R
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Q’ R’
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
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Q R
b b
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Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
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b b
Q R
b b
Q’ R’
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
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Q’ R’
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
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Q’ R’
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
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Q R
b b
Q’ R’
×
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
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b b
Q R
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×
×
b
P”
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
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b b
Q’ R’
b
P”
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
b
P”
b b
Q”
R”
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
b
P”
b b
Q”
R”
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
b
P”
b b
Q”
R”
•Sym´etries orthogonales
Pavages euclidiens
Pavages euclidiens
Pavages euclidiens
Pavages euclidiens
Pavages euclidiens
Pavages euclidiens
Pavages euclidiens
Pavages euclidiens
α
Pavages euclidiens
α α
Pavages euclidiens
α α α
Pavages euclidiens
α α α α
Pavages euclidiens
α α α α
β γ
Pavages euclidiens
α α α α
β γ
α= 180◦
p , β= 180◦
q , γ= 180◦ r ,
Pavages euclidiens
α α α α
β γ
α= 180◦
p , β= 180◦
q , γ= 180◦
r , p,q,r ∈N>2
Pavages euclidiens
α α α α
β γ
α= 180◦
p , β= 180◦
q , γ= 180◦
r , p,q,r ∈N>2
α+β+γ=180◦
Pavages euclidiens
α α α α
β γ
α= 180◦
p , β= 180◦
q , γ= 180◦
r , p,q,r ∈N>2
α+β+γ=180◦ ⇒ 1 p + 1
q +1
r =1 (!)
Pavages euclidiens (suite)
Pavages euclidiens (suite)
1 p + 1
q +1 r =1
⇐⇒(p,q,r) =
Pavages euclidiens (suite)
1 p + 1
q +1 r =1
⇐⇒(p,q,r) = (3,3,3) ou(2,4,4)ou (2,3,6)
Pavages euclidiens (suite)
1 p + 1
q +1 r =1
⇐⇒(p,q,r) = (3,3,3) ou(2,4,4)ou (2,3,6) (`a permutation pr`es)
Pavages euclidiens (suite)
1 p + 1
q +1 r =1
⇐⇒(p,q,r) = (3,3,3) ou(2,4,4)ou (2,3,6) (`a permutation pr`es)
G´eom´etrie sph´erique
G´eom´etrie sph´erique
G´eom´etrie sph´erique
b
A
b
B
b
C
G´eom´etrie sph´erique
b
A
b
B
b
C
G´eom´etrie sph´erique
b
A
b
B
b
C
G´eom´etrie sph´erique
b
A
b
B
b
C
G´eom´etrie sph´erique
b
A
b
B
b
C
Toutes les droites sph´eriques
se coupent
G´eom´etrie sph´erique
b
A
b
B
b
C
Toutes les droites sph´eriques
se coupent
A^+ ^B+ ^C >180◦
G´eom´etrie sph´erique : un triangle
´equilat´eral rectangle (trirectangle) !
G´eom´etrie hyperbolique
G´eom´etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1) Droites ! Droites hyperboliques
G´eom´etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux au cercle de rayon 1
G´eom´etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux au cercle de rayon 1 (+ les diam`etres)
G´eom´etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux au cercle de rayon 1 (+ les diam`etres)
bO
G´eom´etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux au cercle de rayon 1 (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
G´eom´etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux au cercle de rayon 1 (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
bb P
G´eom´etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux au cercle de rayon 1 (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
bb P
G´eom´etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux au cercle de rayon 1 (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
bb P
G´eom´etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux au cercle de rayon 1 (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
bb P
G´eom´etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux au cercle de rayon 1 (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
G´eom´etrie hyperbolique
G´eom´etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
G´eom´etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
Il existe une distance pour laquelle les segments de droites hyperboliques sont les plus courts chemins d’un point `a un autre
G´eom´etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
Il existe une distance pour laquelle les segments de droites hyperboliques sont les plus courts chemins d’un point `a un autre Etant donn´es un point P (du disque de Poincar´e) et une droite´ D (hyperbolique) ne contenant pas P, il passe uneinfinit´e de parall`eles`a D passant par P.
G´eom´etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
Il existe une distance pour laquelle les segments de droites hyperboliques sont les plus courts chemins d’un point `a un autre Etant donn´es un point P (du disque de Poincar´e) et une droite´ D (hyperbolique) ne contenant pas P, il passe uneinfinit´e de parall`eles`a D passant par P.
La somme des angles d’un triangle est<180◦.
G´eom´etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
Il existe une distance pour laquelle les segments de droites hyperboliques sont les plus courts chemins d’un point `a un autre Etant donn´es un point P (du disque de Poincar´e) et une droite´ D (hyperbolique) ne contenant pas P, il passe uneinfinit´e de parall`eles`a D passant par P.
La somme des angles d’un triangle est<180◦.
Les cercles hyperboliques sont des cercles euclidiens (mais le centre a chang´e...)
G´eom´etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
Il existe une distance pour laquelle les segments de droites hyperboliques sont les plus courts chemins d’un point `a un autre Etant donn´es un point P (du disque de Poincar´e) et une droite´ D (hyperbolique) ne contenant pas P, il passe uneinfinit´e de parall`eles`a D passant par P.
La somme des angles d’un triangle est<180◦.
Les cercles hyperboliques sont des cercles euclidiens (mais le centre a chang´e...)
G´eom´etrie hyperbolique : droite passant par deux points
G´eom´etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
G´eom´etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
G´eom´etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
b
A′
OA′ = 1 OA
G´eom´etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
b
A′
OA′ = 1 OA
G´eom´etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
b
A′
OA′ = 1 OA
b
T1
b
T2
G´eom´etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
b
A′
OA′ = 1 OA
b
T1
b
T2
G´eom´etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
b
A′
OA′ = 1 OA
b
T1
b
T2
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavage hyperbolique de type (4,4,4)
Pavages hyperboliques
Pavages hyperboliques
Th´eor`eme (Poincar´e)
Soient p, q et r trois entiers >2 tels que 1 p + 1
q + 1
r <1. Alors le disque de Poincar´e admet un pavage de type (p,q,r).
Pavage hyperbolique de type (2,4,6)
Pavage hyperbolique de type (3,3,4)
Pavage hyperbolique de type (2,3,7)
Pavage hyperbolique heptagonal
Une g´eom´etrie discr`ete
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
7→ 7→7→ 7→ 7→ 7→7→
Une g´eom´etrie discr`ete
7 6
2 4
1
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
7→ 7→7→ 7→ 7→ 7→7→
Th´eor`eme. Il y a 168 permutations de {1,2,3,4,5,6,7} qui pr´eservent l’alignement.
Dobble
Dobble
Dobble (suite)
Dobble (suite)
Th´eor`eme
Si n−1 est une puissance d’un nombre premier, alors il existe un
“Dobble” v´erifiant :
chaque carte contient n figurines.
chaque figurine appartient `a n cartes.
au total, il y a n2−n+1figurines (“points”) et n2−n+1 cartes (“droites”).
Dobble (suite)
Th´eor`eme
Si n−1 est une puissance d’un nombre premier, alors il existe un
“Dobble” v´erifiant :
chaque carte contient n figurines.
chaque figurine appartient `a n cartes.
au total, il y a n2−n+1figurines (“points”) et n2−n+1 cartes (“droites”).
Exemples. (1) n=3=⇒ 7
6
2 4
1
3 5
Dobble (suite)
Th´eor`eme
Si n−1 est une puissance d’un nombre premier, alors il existe un
“Dobble” v´erifiant :
chaque carte contient n figurines.
chaque figurine appartient `a n cartes.
au total, il y a n2−n+1figurines (“points”) et n2−n+1 cartes (“droites”).
Exemples. (1) n=3=⇒ 7
6
2 4
1
3 5
(2) n=8=⇒ “vrai Dobble”
Dobble (suite)
Th´eor`eme
Si n−1 est une puissance d’un nombre premier, alors il existe un
“Dobble” v´erifiant :
chaque carte contient n figurines.
chaque figurine appartient `a n cartes.
au total, il y a n2−n+1figurines (“points”) et n2−n+1 cartes (“droites”).
Exemples. (1) n=3=⇒ 7
6
2 4
1
3 5
(2) n=8=⇒ “vrai Dobble”
(3) n=6=⇒ “Dobble junior”
Dobble (suite)
Th´eor`eme
Si n−1 est une puissance d’un nombre premier, alors il existe un
“Dobble” v´erifiant :
chaque carte contient n figurines.
chaque figurine appartient `a n cartes.
au total, il y a n2−n+1figurines (“points”) et n2−n+1 cartes (“droites”).
Exemples. (1) n=3=⇒ 7
6
2 4
1
3 5
(2) n=8=⇒ “vrai Dobble”
(3) n=6=⇒ “Dobble junior”
Remarque. Si q =n−1, alors il y a q3(q2−1)(q3−1) permutations qui pr´eservent les cartes
Dobble (suite)
Dobble (suite)
Th´eor`eme
Si n=7 ou 15, alors il n’existe pas de “Dobble” avec ces propri´et´es (Brook & Ryser, 1949)
Dobble (suite)
Th´eor`eme
Si n=7 ou 15, alors il n’existe pas de “Dobble” avec ces propri´et´es (Brook & Ryser, 1949)
Si n=11, alors il n’existe pas de “Dobble” avec ces propri´et´es (Lam, 1989)
Dobble (suite)
Th´eor`eme
Si n=7 ou 15, alors il n’existe pas de “Dobble” avec ces propri´et´es (Brook & Ryser, 1949)
Si n=11, alors il n’existe pas de “Dobble” avec ces propri´et´es (Lam, 1989)
Remarque : pour n =13, on ne sait toujours pas, mˆeme si on pense fortement que c’est impossible !
