Connaˆıtre les g´ eom´ etries non euclidiennes pour mieux comprendre la g´ eom´ etrie euclidienne.

(1)

Le postulat d’Euclide et ses conséquences Un peu d’histoire La quête d’un modèle euclidien Quelques propriétés du plan hyperbolique Ce que nous enseignent les géométries non euclidiennes BONUS

Les g´ eom´ etries non euclidiennes et ce qu’elles nous apprennent sur la g´ eom´ etrie euclidienne et

son enseignement

Daniel PERRIN

(2)

L’objectif

I

Connaˆıtre les g´ eom´ etries non euclidiennes pour mieux comprendre la g´ eom´ etrie euclidienne.

I

Pour plus de pr´ ecisions sur les g´ eom´ etries non euclidiennes, voir ma page web (rubrique Livre de g´ eom´ etrie projective Partie 4) :

http://www.math.u-psud.fr/

∼

perrin

/Livregeometrie/DPPartie4.pdf

(3)

L’objectif

I

Connaˆıtre les g´ eom´ etries non euclidiennes pour mieux comprendre la g´ eom´ etrie euclidienne.

I

Pour plus de pr´ ecisions sur les g´ eom´ etries non euclidiennes, voir ma page web (rubrique Livre de g´ eom´ etrie projective Partie 4) :

http://www.math.u-psud.fr/

∼

perrin

(4)

Le postulat d’Euclide et ses cons´ equences Un peu d’histoire

La quˆ ete d’un mod` ele euclidien

Quelques propri´ et´ es du plan hyperbolique

Ce que nous enseignent les g´ eom´ etries non euclidiennes BONUS

Compl´ ements sur Euclide Compl´ ements sur les mod` eles Compl´ ements sur les m´ ediatrices D’autres mod` eles

La g´ eom´ etrie elliptique

Les seules g´ eom´ etries

(5)

Premi`ere partie Le postulat d’Euclide

et ses cons´equences

(6)

Le postulat d’Euclide

I

Version originale (III

^e

si` ecle av. J.-C.)

Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles int´ erieurs du mˆ eme cˆ ot´ e plus petits que deux droits, ces droites, prolong´ ees ` a l’infini, se rencontreront du cˆ ot´ e o` u les angles sont plus petits que deux droits.

Figure

I

Version de Proclus (410-483)

Etant donn´ ´ es un point A et une droite D du plan, il existe une et une seule droite parall` ele ` a D passant par A. Figure

I

L’´ equivalence entre les deux n’est pas tout ` a fait ´ evidente.

(7)

Le postulat d’Euclide

I

Version originale (III

^e

si` ecle av. J.-C.)

Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles int´ erieurs du mˆ eme cˆ ot´ e plus petits que deux droits, ces droites, prolong´ ees ` a l’infini, se rencontreront du cˆ ot´ e o` u les angles sont plus petits que deux droits.

Figure

I

Version de Proclus (410-483)

Etant donn´ ´ es un point A et une droite D du plan, il existe

I

L’´ equivalence entre les deux n’est pas tout ` a fait ´ evidente.

(8)

Le postulat d’Euclide

I

Version originale (III

^e

si` ecle av. J.-C.)

Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles int´ erieurs du mˆ eme cˆ ot´ e plus petits que deux droits, ces droites, prolong´ ees ` a l’infini, se rencontreront du cˆ ot´ e o` u les angles sont plus petits que deux droits.

Figure

I

Version de Proclus (410-483)

Etant donn´ ´ es un point A et une droite D du plan, il existe une et une seule droite parall` ele ` a D passant par A.

Figure

I

L’´ equivalence entre les deux n’est pas tout ` a fait ´ evidente.

(9)

Quelques propri´ et´ es ind´ ependantes du postulat

I

Premier cas d’isom´ etrie des triangles

Soient ABC et A

⁰

B

⁰

C

⁰

deux triangles. On suppose qu’on a AB = A

⁰

B

⁰

, AC = A

⁰

C

⁰

et \ BAC = B \

⁰

A

⁰

C

⁰

. Alors, les triangles sont isom´ etriques : on a les ´ egalit´ es d’angles B b = c B

⁰

, C b = c C

⁰

et de cˆ ot´ es BC = B

⁰

C

⁰

. Figure

La preuve utilise implicitement l’homog´ en´ eit´ e du plan, c’est-` a-dire l’existence d’un groupe de mouvements suffisamment transitif.

I

La somme de deux angles d’un triangle est < π.

I

Perpendiculaires et parall` eles 1

Si deux droites D, D

⁰

sont perpendiculaires ` a une mˆ eme

troisi` eme, elle sont parall` eles. Figure

(10)

Quelques propri´ et´ es ind´ ependantes du postulat

I

Premier cas d’isom´ etrie des triangles

Soient ABC et A

⁰

B

⁰

C

⁰

deux triangles. On suppose qu’on a AB = A

⁰

B

⁰

, AC = A

⁰

C

⁰

et \ BAC = B \

⁰

A

⁰

C

⁰

. Alors, les triangles sont isom´ etriques : on a les ´ egalit´ es d’angles B b = c B

⁰

, C b = c C

⁰

et de cˆ ot´ es BC = B

⁰

C

⁰

. Figure

La preuve utilise implicitement l’homog´ en´ eit´ e du plan, c’est-` a-dire l’existence d’un groupe de mouvements suffisamment transitif.

I

La somme de deux angles d’un triangle est < π.

I

Perpendiculaires et parall` eles 1

Si deux droites D, D

⁰

sont perpendiculaires ` a une mˆ eme

troisi` eme, elle sont parall` eles. Figure

(11)

Quelques propri´ et´ es ind´ ependantes du postulat

I

Premier cas d’isom´ etrie des triangles

Soient ABC et A

⁰

B

⁰

C

⁰

deux triangles. On suppose qu’on a AB = A

⁰

B

⁰

, AC = A

⁰

C

⁰

et \ BAC = B \

⁰

A

⁰

C

⁰

. Alors, les triangles sont isom´ etriques : on a les ´ egalit´ es d’angles B b = c B

⁰

, C b = c C

⁰

et de cˆ ot´ es BC = B

⁰

C

⁰

. Figure

La preuve utilise implicitement l’homog´ en´ eit´ e du plan, c’est-` a-dire l’existence d’un groupe de mouvements suffisamment transitif.

I

La somme de deux angles d’un triangle est < π.

(12)

Cons´ equence du postulat 1 :

I

Transitivit´ e

Si D est parall` ele ` a D

⁰

et D

⁰⁰

parall` ele ` a D

⁰

, alors D

⁰⁰

est parall` ele ` a D.

I

Angles et parall` eles

Soient D, D

⁰

deux droites parall` eles. Une droite ∆ coupe D en A et D

⁰

en A

⁰

. Alors les angles alternes internes P A \

⁰

A et A \

⁰

AM sont ´ egaux ainsi que les angles correspondants RAQ [ et A \

⁰

AM .

Figure

(13)

Cons´ equence du postulat 1 :

I

Transitivit´ e

Si D est parall` ele ` a D

⁰

et D

⁰⁰

parall` ele ` a D

⁰

, alors D

⁰⁰

est parall` ele ` a D.

I

Angles et parall` eles

Soient D, D

⁰

deux droites parall` eles. Une droite ∆ coupe D

en A et D

⁰

en A

⁰

. Alors les angles alternes internes P A \

⁰

A et

A \

⁰

AM sont ´ egaux ainsi que les angles correspondants RAQ [

et A \

⁰

AM .

(14)

Cons´ equence du postulat 2 :

I

Perpendiculaires et parall` eles

Si deux droites D, D

⁰

sont parall` eles, toute perpendiculaire ` a l’une est perpendiculaire ` a l’autre.

Figure

I

Somme des angles d’un triangle

La somme des angles d’un triangle est ´ egale ` a π. Figure

I

Concours des m´ ediatrices

Les m´ ediatrices d’un triangle sont concourantes et le triangle admet un cercle circonscrit.

Figure

(15)

Cons´ equence du postulat 2 :

I

Perpendiculaires et parall` eles

Si deux droites D, D

⁰

sont parall` eles, toute perpendiculaire ` a l’une est perpendiculaire ` a l’autre.

Figure

I

Somme des angles d’un triangle

La somme des angles d’un triangle est ´ egale ` a π.

Figure

I

Concours des m´ ediatrices

Les m´ ediatrices d’un triangle sont concourantes et le triangle admet un cercle circonscrit.

Figure

(16)

Cons´ equence du postulat 2 :

I

Perpendiculaires et parall` eles

Si deux droites D, D

⁰

sont parall` eles, toute perpendiculaire ` a l’une est perpendiculaire ` a l’autre.

Figure

I

Somme des angles d’un triangle

La somme des angles d’un triangle est ´ egale ` a π.

Figure

I

Concours des m´ ediatrices

Les m´ ediatrices d’un triangle sont concourantes et le triangle admet un cercle circonscrit.

Figure

(17)

Deuxi`eme partie

Un peu d’histoire

(18)

Un peu d’histoire 1 : les tentatives de preuve

Proclus, Clavius, Clairaut, Wallis, Saccheri, Lambert, Legendre, etc. ont essay´ e de prouver le postulat d’Euclide. Toutes ces tentatives ont ´ et´ e infructueuses. Lorsqu’elles n’´ etaient pas

´ evidemment fausses, elles revenaient :

I

soit ` a donner une nouvelle d´ efinition de parall` ele (par exemple, l’ensemble des points ´ equidistants d’une droite donn´ ee situ´ es d’un mˆ eme cˆ ot´ e de cette droite, Clavius),

I

soit ` a remplacer l’axiome d’Euclide par un autre comme celui

de Proclus ou l’existence de triangles semblables (Wallis) ou le

fait que trois points sont cocycliques ou align´ es (Bolyai p` ere),

etc.

(19)

Un peu d’histoire 1 : les tentatives de preuve

Proclus, Clavius, Clairaut, Wallis, Saccheri, Lambert, Legendre, etc. ont essay´ e de prouver le postulat d’Euclide. Toutes ces tentatives ont ´ et´ e infructueuses. Lorsqu’elles n’´ etaient pas

´ evidemment fausses, elles revenaient :

I

soit ` a donner une nouvelle d´ efinition de parall` ele (par exemple, l’ensemble des points ´ equidistants d’une droite donn´ ee situ´ es d’un mˆ eme cˆ ot´ e de cette droite, Clavius),

I

soit ` a remplacer l’axiome d’Euclide par un autre comme celui

(20)

Un peu d’histoire 2 : Les g´ eom´ etries non euclidiennes, Gauss, Bolyai

Janos Bolyai (1802-1860) est hongrois, capitaine du g´ enie dans l’arm´ ee autrichienne, fils du math´ ematicien Farkas Bolyai. Il ´ ecrit vers 1830 La science absolue de l’espace o` u il d´ eveloppe toute une g´ eom´ etrie sans l’axiome des parall` eles. Comme il le dit : A partir de ` rien, j’ai cr´ e´ e un ´ etrange et nouvel univers.

Le p` ere envoie ce texte ` a Gauss, le plus grand math´ ematicien de

l’´ epoque dont voici la r´ eponse.

(21)

La lettre de Gauss ` a Bolyai p` ere

Parlons maintenant un peu du travail de ton fils. Si je commence en disant que je ne puis louer ce travail, tu pourras bien un instant reculer d’´ etonnement ; mais je ne puis dire autre chose ; le louer serait me louer moi-mˆ eme ; en effet, le contenu tout entier de l’Ouvrage, la voie qu’a fray´ ee ton fils, les r´ esultats auxquels il a ´ et´ e conduit, co¨ıncident presque enti` erement avec mes propres

m´ editations qui ont occup´ e en partie mon esprit depuis d´ ej` a trente

` a trente-cinq ans. Aussi ai-je ´ et´ e compl` etement stup´ efait. Quant ` a

mon travail personnel, dont d’ailleurs j’ai confi´ e peu de chose

(22)

(suite)

En effet, la plupart des hommes n’ont pas l’esprit juste sur les questions dont il s’agit, et j’ai trouv´ e seulement bien peu d’entre eux qui prissent un int´ erˆ et particulier ` a ce que je leur ai

communiqu´ e ` a ce sujet. Pour pouvoir prendre cet int´ erˆ et, il faut

d’abord avoir senti bien vivement ce qui fait essentiellement

d´ efaut, et sur ces mati` eres la plupart des hommes sont dans une

obscurit´ e compl` ete. C’´ etait, au contraire, mon id´ ee de mettre, avec

le temps, tout ceci par ´ ecrit afin qu’au moins cela ne p´ erisse pas

avec moi. Aussi est-ce pour moi une agr´ eable surprise de voir que

cette peine peut maintenant m’ˆ etre ´ epargn´ ee, et je suis rempli

d’une joie extrˆ eme que ce soit pr´ ecis´ ement le fils de mon vieil ami

qui m’ait devanc´ e d’une mani` ere si remarquable.

(23)

Un peu d’histoire 3 : Lobatchevsky

I

Nikolai Lobatchevsky (1792-1856) est russe, recteur de l’universit´ e de Kazan en 1826. Il publie en 1829 en russe, puis en 1837 en fran¸ cais son article G´ eom´ etrie imaginaire. Outre les formules relatives ` a l’aire d’un triangle en fonction des angles, Lobachevsky introduit des objets nouveaux, inexistants en g´ eom´ etrie euclidienne, comme les horocycles.

I

Les travaux de Bolyai et Lobatchevsky sont ind´ ependants.

Comme le dit Bolyai p` ere : les d´ ecouvertes apparaissent

souvent simultan´ ement en plusieurs endroits, comme les

violettes au printemps.

(24)

Un peu d’histoire 3 : Lobatchevsky

I

Nikolai Lobatchevsky (1792-1856) est russe, recteur de l’universit´ e de Kazan en 1826. Il publie en 1829 en russe, puis en 1837 en fran¸ cais son article G´ eom´ etrie imaginaire. Outre les formules relatives ` a l’aire d’un triangle en fonction des angles, Lobachevsky introduit des objets nouveaux, inexistants en g´ eom´ etrie euclidienne, comme les horocycles.

I

Les travaux de Bolyai et Lobatchevsky sont ind´ ependants.

Comme le dit Bolyai p` ere : les d´ ecouvertes apparaissent

souvent simultan´ ement en plusieurs endroits, comme les

violettes au printemps.

(25)

Troisi` eme partie

La quˆete d’un mod`ele euclidien

de la g´eom´etrie hyperbolique

(26)

Question philosophique 1 :

Les g´ eom´ etries non euclidiennes existent-elles ?

I

Bolyai et Lobatchevsky ont d´ evelopp´ e les cons´ equences de l’absence du cinqui` eme postulat, sans rencontrer de contradiction, mais est-ce que cela prouve l’existence des g´ eom´ etries non euclidiennes ? ´ Ecoutons ce que dit Gauss :

I

Pour traiter la G´ eom´ etrie, d` es les d´ ebuts, d’une mani` ere bien

ordonn´ ee, il est indispensable de d´ emontrer la possibilit´ e de

l’existence du plan. La d´ efinition habituelle renferme trop de

choses et implique d´ ej` a un th´ eor` eme ` a proprement dire tacite.

L’on doit s’´ etonner que tous les ´ ecrivains, depuis Euclide

jusqu’` a nos jours, se soient mis ` a l’œuvre d’une fa¸ con si

n´ egligente.

(27)

Question philosophique 1 :

Les g´ eom´ etries non euclidiennes existent-elles ?

I

Bolyai et Lobatchevsky ont d´ evelopp´ e les cons´ equences de l’absence du cinqui` eme postulat, sans rencontrer de contradiction, mais est-ce que cela prouve l’existence des g´ eom´ etries non euclidiennes ? ´ Ecoutons ce que dit Gauss :

I

Pour traiter la G´ eom´ etrie, d` es les d´ ebuts, d’une mani` ere bien

ordonn´ ee, il est indispensable de d´ emontrer la possibilit´ e de

l’existence du plan. La d´ efinition habituelle renferme trop de

choses et implique d´ ej` a un th´ eor` eme ` a proprement dire tacite.

(28)

La quˆ ete d’un mod` ele euclidien

Pour ˆ etre sˆ ur ( ?) de cette existence, l’id´ ee a ´ et´ e de la ramener ` a celle de la g´ eom´ etrie euclidienne, autrement dit de produire des mod` eles euclidiens des g´ eom´ etries non euclidiennes.

C’est ce qu’ont fait plusieurs math´ ematiciens du XIX-i` eme si` ecle :

Beltrami, Klein, Poincar´ e, etc. et c’est aussi ce que nous allons

expliquer maintenant, dans le cas de la g´ eom´ etrie hyperbolique.

(29)

Les objectifs de la quˆ ete : 1, l’incidence

Si l’on est ambitieux, les objectifs de cette quˆ ete vont ˆ etre nombreux :

I

Avoir un “plan” qu’on puisse repr´ esenter comme une partie d’un plan ou d’un espace euclidien.

I

Avoir un plan qui ressemble ` a un plan, donc qui soit de dimension 2, donc une surface.

I

Avoir des droites (peut-ˆ etre pas toujours droites ...) qui

v´ erifient les propri´ et´ es usuelles d’incidence (par deux points

passe une droite et une seule).

(30)

Les objectifs de la quˆ ete : 1, l’incidence

Si l’on est ambitieux, les objectifs de cette quˆ ete vont ˆ etre nombreux :

I

Avoir un “plan” qu’on puisse repr´ esenter comme une partie d’un plan ou d’un espace euclidien.

I

Avoir un plan qui ressemble ` a un plan, donc qui soit de dimension 2, donc une surface.

I

Avoir des droites (peut-ˆ etre pas toujours droites ...) qui

v´ erifient les propri´ et´ es usuelles d’incidence (par deux points

passe une droite et une seule).

(31)

Les objectifs de la quˆ ete : 1, l’incidence

Si l’on est ambitieux, les objectifs de cette quˆ ete vont ˆ etre nombreux :

I

Avoir un “plan” qu’on puisse repr´ esenter comme une partie d’un plan ou d’un espace euclidien.

I

Avoir un plan qui ressemble ` a un plan, donc qui soit de dimension 2, donc une surface.

I

Avoir des droites (peut-ˆ etre pas toujours droites ...) qui

v´ erifient les propri´ et´ es usuelles d’incidence (par deux points

(32)

Les objectifs de la quˆ ete : 2, Erlangen

Si l’on pense en termes du programme d’Erlangen de Felix Klein, d’autres objectifs apparaissent :

I

Avoir un plan issu de la g´ eom´ etrie-m` ere : celle du plan projectif.

I

Disposer d’un groupe de transformations avec des propri´ et´ es

de transitivit´ e (ou d’homog´ en´ eit´ e) suffisantes sur les points et

sur les droites (cf. le premier cas d’isom´ etrie des triangles).

Pour r´ ealiser cela, on a besoin en tous cas de disposer de

sym´ etries par rapport aux droites.

(33)

Les objectifs de la quˆ ete : 2, Erlangen

Si l’on pense en termes du programme d’Erlangen de Felix Klein, d’autres objectifs apparaissent :

I

Avoir un plan issu de la g´ eom´ etrie-m` ere : celle du plan projectif.

I

Disposer d’un groupe de transformations avec des propri´ et´ es de transitivit´ e (ou d’homog´ en´ eit´ e) suffisantes sur les points et sur les droites (cf. le premier cas d’isom´ etrie des triangles).

Pour r´ ealiser cela, on a besoin en tous cas de disposer de

(34)

Les objectifs de la quˆ ete : 3, la m´ etrique

I

Avoir des invariants analogues ` a ceux de la g´ eom´ etrie euclidienne : orthogonalit´ e, angle, distance, etc.

I

Avoir (si possible) une compatibilit´ e entre les invariants de ces

g´ eom´ etries (longueur, angle) et ceux du mod` ele (par sa

structure euclidienne).

(35)

Les objectifs de la quˆ ete : 3, la m´ etrique

I

Avoir des invariants analogues ` a ceux de la g´ eom´ etrie euclidienne : orthogonalit´ e, angle, distance, etc.

I

Avoir (si possible) une compatibilit´ e entre les invariants de ces

g´ eom´ etries (longueur, angle) et ceux du mod` ele (par sa

structure euclidienne).

(36)

La quˆ ete d’un mod` ele euclidien : l’approche de Klein

I

Une des id´ ees de Klein c’est que la g´ eom´ etrie projective est la m` ere de toutes les autres. On part donc du plan projectif P, c’est-` a-dire du plan affine compl´ et´ e en lui adjoignant une droite “` a l’infini”, D

∞

.

I

Les parall` eles sont alors les droites qui se coupent ` a l’infini. Le postulat d’Euclide est vrai. Figure

I

Pour avoir une g´ eom´ etrie non euclidienne, on va s’arranger

pour que les droites aient plusieurs directions, donc prendre “` a

l’infini” une courbe Γ qui coupe les droites en plusieurs points.

Figure

(37)

La quˆ ete d’un mod` ele euclidien : l’approche de Klein

I

Une des id´ ees de Klein c’est que la g´ eom´ etrie projective est la m` ere de toutes les autres. On part donc du plan projectif P, c’est-` a-dire du plan affine compl´ et´ e en lui adjoignant une droite “` a l’infini”, D

∞

.

I

Les parall` eles sont alors les droites qui se coupent ` a l’infini. Le postulat d’Euclide est vrai. Figure

I

Pour avoir une g´ eom´ etrie non euclidienne, on va s’arranger

pour que les droites aient plusieurs directions, donc prendre “` a

l’infini” une courbe Γ qui coupe les droites en plusieurs points.

Figure

(38)

La quˆ ete d’un mod` ele euclidien : l’approche de Klein

I

Une des id´ ees de Klein c’est que la g´ eom´ etrie projective est la m` ere de toutes les autres. On part donc du plan projectif P, c’est-` a-dire du plan affine compl´ et´ e en lui adjoignant une droite “` a l’infini”, D

∞

.

I

Les parall` eles sont alors les droites qui se coupent ` a l’infini. Le postulat d’Euclide est vrai. Figure

I

Pour avoir une g´ eom´ etrie non euclidienne, on va s’arranger pour que les droites aient plusieurs directions, donc prendre “` a l’infini” une courbe Γ qui coupe les droites en plusieurs points.

Figure

(39)

L’approche de Klein (suite)

I

Le plan consid´ er´ e sera donc X = P − Γ (Γ est appel´ e l’horizon), avec ses droites, et le groupe associ´ e sera le groupe G des homographies qui conservent Γ.

I

On esp` ere que le plan X soit homog` ene, donc que G op` ere transitivement sur X.

I

On montre que cela disqualifie les courbes de degr´ e plus grand que 2 dont le groupe est trop petit (il est fini).

I

Pour une conique, en revanche, ce groupe est de dimension 3,

donc peut op´ erer transitivement sur un “plan”.

(40)

L’approche de Klein (suite)

I

Le plan consid´ er´ e sera donc X = P − Γ (Γ est appel´ e l’horizon), avec ses droites, et le groupe associ´ e sera le groupe G des homographies qui conservent Γ.

I

On esp` ere que le plan X soit homog` ene, donc que G op` ere transitivement sur X.

I

On montre que cela disqualifie les courbes de degr´ e plus grand que 2 dont le groupe est trop petit (il est fini).

I

Pour une conique, en revanche, ce groupe est de dimension 3,

donc peut op´ erer transitivement sur un “plan”.

(41)

L’approche de Klein (suite)

I

Le plan consid´ er´ e sera donc X = P − Γ (Γ est appel´ e l’horizon), avec ses droites, et le groupe associ´ e sera le groupe G des homographies qui conservent Γ.

I

On esp` ere que le plan X soit homog` ene, donc que G op` ere transitivement sur X.

I

On montre que cela disqualifie les courbes de degr´ e plus grand que 2 dont le groupe est trop petit (il est fini).

I

Pour une conique, en revanche, ce groupe est de dimension 3,

donc peut op´ erer transitivement sur un “plan”.

(42)

L’approche de Klein (suite)

I

Le plan consid´ er´ e sera donc X = P − Γ (Γ est appel´ e l’horizon), avec ses droites, et le groupe associ´ e sera le groupe G des homographies qui conservent Γ.

I

On esp` ere que le plan X soit homog` ene, donc que G op` ere transitivement sur X.

I

On montre que cela disqualifie les courbes de degr´ e plus grand que 2 dont le groupe est trop petit (il est fini).

I

Pour une conique, en revanche, ce groupe est de dimension 3,

donc peut op´ erer transitivement sur un “plan”.

(43)

L’approche de Klein (suite)

I

On consid` ere Y = P − Γ o` u Γ est une conique, par exemple un cercle.

I

En fait, le groupe G n’est pas transitif sur Y : il a deux orbites, l’int´ erieur et l’ext´ erieur de Γ. Il faut donc se limiter ` a l’une de ces orbites.

I

L’ext´ erieur est ` a proscrire car le groupe ne serait plus transitif sur les droites (il y en a trois types). Figure

I

Le plan de Klein est donc l’int´ erieur K du disque x

²

+ y

²

< 1

avec comme droites les traces des droites ordinaires et pour

infini (ou horizon) le cercle unit´ e Γ.

(44)

L’approche de Klein (suite)

I

On consid` ere Y = P − Γ o` u Γ est une conique, par exemple un cercle.

I

En fait, le groupe G n’est pas transitif sur Y : il a deux orbites, l’int´ erieur et l’ext´ erieur de Γ. Il faut donc se limiter ` a l’une de ces orbites.

I

L’ext´ erieur est ` a proscrire car le groupe ne serait plus transitif sur les droites (il y en a trois types). Figure

I

Le plan de Klein est donc l’int´ erieur K du disque x

²

+ y

²

< 1

avec comme droites les traces des droites ordinaires et pour

infini (ou horizon) le cercle unit´ e Γ.

(45)

L’approche de Klein (suite)

I

On consid` ere Y = P − Γ o` u Γ est une conique, par exemple un cercle.

I

En fait, le groupe G n’est pas transitif sur Y : il a deux orbites, l’int´ erieur et l’ext´ erieur de Γ. Il faut donc se limiter ` a l’une de ces orbites.

I

L’ext´ erieur est ` a proscrire car le groupe ne serait plus transitif sur les droites (il y en a trois types). Figure

I

Le plan de Klein est donc l’int´ erieur K du disque x

²

+ y

²

< 1

avec comme droites les traces des droites ordinaires et pour

infini (ou horizon) le cercle unit´ e Γ.

(46)

L’approche de Klein (suite)

I

On consid` ere Y = P − Γ o` u Γ est une conique, par exemple un cercle.

I

En fait, le groupe G n’est pas transitif sur Y : il a deux orbites, l’int´ erieur et l’ext´ erieur de Γ. Il faut donc se limiter ` a l’une de ces orbites.

I

L’ext´ erieur est ` a proscrire car le groupe ne serait plus transitif sur les droites (il y en a trois types). Figure

I

Le plan de Klein est donc l’int´ erieur K du disque x

²

+ y

²

< 1

avec comme droites les traces des droites ordinaires et pour

infini (ou horizon) le cercle unit´ e Γ.

(47)

Le mod` ele de Klein est non euclidien

I

On peut travailler dans ce plan comme dans le plan euclidien grˆ ace aux *macros d’Yves Martin.

I

Dans le mod` ele de Klein, il y a plusieurs parall` eles ` a une droite

issues d’un point (quel que soit le sens du mot parall` ele)

Figure

(48)

Le mod` ele de Klein est non euclidien

I

On peut travailler dans ce plan comme dans le plan euclidien grˆ ace aux *macros d’Yves Martin.

I

Dans le mod` ele de Klein, il y a plusieurs parall` eles ` a une droite

issues d’un point (quel que soit le sens du mot parall` ele)

Figure

(49)

Orthogonalit´ e

I

Bien que K ait ´ et´ e d´ efini dans une perspective affine, il contient en germe une m´ etrique et d’abord une orthogonalit´ e.

I

Une mani` ere de traduire que ∆ est la perpendiculaire ` a D passant par a 6∈ D consiste ` a dire qu’elle est l’unique droite passant par a invariante par la r´ eflexion τ

_D

d’axe D.

I

Il reste ` a d´ ecrire cette r´ eflexion. Figure

(50)

Orthogonalit´ e

I

Bien que K ait ´ et´ e d´ efini dans une perspective affine, il contient en germe une m´ etrique et d’abord une orthogonalit´ e.

I

Une mani` ere de traduire que ∆ est la perpendiculaire ` a D passant par a 6∈ D consiste ` a dire qu’elle est l’unique droite passant par a invariante par la r´ eflexion τ

_D

d’axe D.

I

Il reste ` a d´ ecrire cette r´ eflexion. Figure

(51)

Orthogonalit´ e

I

Bien que K ait ´ et´ e d´ efini dans une perspective affine, il contient en germe une m´ etrique et d’abord une orthogonalit´ e.

I

Une mani` ere de traduire que ∆ est la perpendiculaire ` a D passant par a 6∈ D consiste ` a dire qu’elle est l’unique droite passant par a invariante par la r´ eflexion τ

_D

d’axe D.

I

Il reste ` a d´ ecrire cette r´ eflexion. Figure

(52)

Le mod` ele de Klein n’est pas conforme

I

La droite “perpendiculaire” ` a D passant par a est la droite (ad) qui joint a au pˆ ole de D. Probl` eme : elle n’est pas perpendiculaire au sens euclidien, le mod` ele ne conserve pas les angles (on dit qu’il n’est pas conforme).

I

Une autre manifestation de la non conformit´ e : comme la sym´ etrie τ

_D

laisse invariante les tangentes, ces tangentes devraient ˆ etre perpendiculaires ` a D, ce qui n’est pas le cas. Figure

I

C’est cette remarque qui va nous mener au mod` ele suivant,

mais il va falloir accepter que les droites ne soient plus droites !

(53)

Le mod` ele de Klein n’est pas conforme

I

La droite “perpendiculaire” ` a D passant par a est la droite (ad) qui joint a au pˆ ole de D. Probl` eme : elle n’est pas perpendiculaire au sens euclidien, le mod` ele ne conserve pas les angles (on dit qu’il n’est pas conforme).

I

Une autre manifestation de la non conformit´ e : comme la sym´ etrie τ

_D

laisse invariante les tangentes, ces tangentes devraient ˆ etre perpendiculaires ` a D, ce qui n’est pas le cas.

Figure

I

C’est cette remarque qui va nous mener au mod` ele suivant,

mais il va falloir accepter que les droites ne soient plus droites !

(54)

Le mod` ele de Klein n’est pas conforme

I

La droite “perpendiculaire” ` a D passant par a est la droite (ad) qui joint a au pˆ ole de D. Probl` eme : elle n’est pas perpendiculaire au sens euclidien, le mod` ele ne conserve pas les angles (on dit qu’il n’est pas conforme).

I

Une autre manifestation de la non conformit´ e : comme la sym´ etrie τ

_D

laisse invariante les tangentes, ces tangentes devraient ˆ etre perpendiculaires ` a D, ce qui n’est pas le cas.

Figure

I

C’est cette remarque qui va nous mener au mod` ele suivant,

mais il va falloir accepter que les droites ne soient plus droites !

(55)

Un mod` ele conforme : le disque de Poincar´ e

I

Le plan est encore l’int´ erieur du disque unit´ e D, mais cette fois, les droites non euclidiennes sont les arcs de cercle orthogonaux au bord Γ (et les droites passant par le centre).

Figure La Barre de menu d’Yves Martin.

I

On v´ erifie la propri´ et´ e fondamentale d’Euclide : par deux points passe une droite et une seule.

I

Maintenant ce mod` ele est conforme : les *angles des droites (i.e. de leurs tangentes) sont les mˆ emes qu’en euclidien.

I

En revanche, il n’est pas isom´ etrique : il y a une distance

naturelle dans D qui n’est pas celle du plan euclidien (les

distances augmentent au bord, Escher, ´ equilat´ eral). Pour

des pr´ ecisions, voir en Bonus.

(56)

Un mod` ele conforme : le disque de Poincar´ e

I

Le plan est encore l’int´ erieur du disque unit´ e D, mais cette fois, les droites non euclidiennes sont les arcs de cercle orthogonaux au bord Γ (et les droites passant par le centre).

Figure La Barre de menu d’Yves Martin.

I

On v´ erifie la propri´ et´ e fondamentale d’Euclide : par deux points passe une droite et une seule.

I

Maintenant ce mod` ele est conforme : les *angles des droites (i.e. de leurs tangentes) sont les mˆ emes qu’en euclidien.

I

En revanche, il n’est pas isom´ etrique : il y a une distance

naturelle dans D qui n’est pas celle du plan euclidien (les

distances augmentent au bord, Escher, ´ equilat´ eral). Pour

des pr´ ecisions, voir en Bonus.

(57)

Un mod` ele conforme : le disque de Poincar´ e

I

Le plan est encore l’int´ erieur du disque unit´ e D, mais cette fois, les droites non euclidiennes sont les arcs de cercle orthogonaux au bord Γ (et les droites passant par le centre).

Figure La Barre de menu d’Yves Martin.

I

On v´ erifie la propri´ et´ e fondamentale d’Euclide : par deux points passe une droite et une seule.

I

Maintenant ce mod` ele est conforme : les *angles des droites (i.e. de leurs tangentes) sont les mˆ emes qu’en euclidien.

I

En revanche, il n’est pas isom´ etrique : il y a une distance

naturelle dans D qui n’est pas celle du plan euclidien (les

distances augmentent au bord, Escher, ´ equilat´ eral). Pour

des pr´ ecisions, voir en Bonus.

(58)

Un mod` ele conforme : le disque de Poincar´ e

I

Le plan est encore l’int´ erieur du disque unit´ e D, mais cette fois, les droites non euclidiennes sont les arcs de cercle orthogonaux au bord Γ (et les droites passant par le centre).

Figure La Barre de menu d’Yves Martin.

I

On v´ erifie la propri´ et´ e fondamentale d’Euclide : par deux points passe une droite et une seule.

I

Maintenant ce mod` ele est conforme : les *angles des droites (i.e. de leurs tangentes) sont les mˆ emes qu’en euclidien.

I

En revanche, il n’est pas isom´ etrique : il y a une distance

naturelle dans D qui n’est pas celle du plan euclidien (les

distances augmentent au bord, Escher, ´ equilat´ eral). Pour

(59)

Quatri`eme partie

Quelques propri´et´es

du plan hyperbolique

(60)

Propri´ et´ es du plan hyperbolique : parall` eles et perpendiculaires

I

Comme on l’a vu dans le mod` ele de Klein, il y a deux notions de parall` eles, mais par un point il passe soit deux, soit une infinit´ e de parall` eles ` a une droite. Figure

I

Deux droites perpendiculaires ` a une mˆ eme droite sont (faiblement) parall` eles. Figure

I

Mais si l’on a deux parall` eles, une perpendiculaire ` a l’une n’est

pas n´ ecessairement perpendiculaire ` a l’autre. Pr´ ecis´ ement,

deux droites parall` eles ont une seule perpendiculaire

commune. Figures 1 et 2

(61)

Propri´ et´ es du plan hyperbolique : parall` eles et perpendiculaires

I

Comme on l’a vu dans le mod` ele de Klein, il y a deux notions de parall` eles, mais par un point il passe soit deux, soit une infinit´ e de parall` eles ` a une droite. Figure

I

Deux droites perpendiculaires ` a une mˆ eme droite sont (faiblement) parall` eles. Figure

I

Mais si l’on a deux parall` eles, une perpendiculaire ` a l’une n’est

pas n´ ecessairement perpendiculaire ` a l’autre. Pr´ ecis´ ement,

deux droites parall` eles ont une seule perpendiculaire

commune. Figures 1 et 2

(62)

Propri´ et´ es du plan hyperbolique : parall` eles et perpendiculaires

I

Comme on l’a vu dans le mod` ele de Klein, il y a deux notions de parall` eles, mais par un point il passe soit deux, soit une infinit´ e de parall` eles ` a une droite. Figure

I

Deux droites perpendiculaires ` a une mˆ eme droite sont (faiblement) parall` eles. Figure

I

Mais si l’on a deux parall` eles, une perpendiculaire ` a l’une n’est

pas n´ ecessairement perpendiculaire ` a l’autre. Pr´ ecis´ ement,

deux droites parall` eles ont une seule perpendiculaire

commune. Figures 1 et 2

(63)

D’autres propri´ et´ es du plan hyperbolique

I

La somme des angles d’un triangle est < π. Figure

I

Comme dans le plan euclidien, on a des notions de milieu et de m´ ediatrice. Figure

I

Si ABC est un triangle et si O est l’intersection des

m´ ediatrices de A, B et A, C on a OA = OB et OA = OC, donc OB = OC et O est sur la m´ ediatrice de B, C , de sorte que les m´ ediatrices du triangle sont concourantes. Figure

I

Mais, attention ...

(64)

D’autres propri´ et´ es du plan hyperbolique

I

La somme des angles d’un triangle est < π. Figure

I

Comme dans le plan euclidien, on a des notions de milieu et de m´ ediatrice. Figure

I

Si ABC est un triangle et si O est l’intersection des

m´ ediatrices de A, B et A, C on a OA = OB et OA = OC, donc OB = OC et O est sur la m´ ediatrice de B, C , de sorte que les m´ ediatrices du triangle sont concourantes. Figure

I

Mais, attention ...

(65)

D’autres propri´ et´ es du plan hyperbolique

I

La somme des angles d’un triangle est < π. Figure

I

Comme dans le plan euclidien, on a des notions de milieu et de m´ ediatrice. Figure

I

Si ABC est un triangle et si O est l’intersection des

m´ ediatrices de A, B et A, C on a OA = OB et OA = OC, donc OB = OC et O est sur la m´ ediatrice de B, C , de sorte que les m´ ediatrices du triangle sont concourantes. Figure

I

Mais, attention ...

(66)

D’autres propri´ et´ es du plan hyperbolique

I

La somme des angles d’un triangle est < π. Figure

I

Comme dans le plan euclidien, on a des notions de milieu et de m´ ediatrice. Figure

I

Si ABC est un triangle et si O est l’intersection des

m´ ediatrices de A, B et A, C on a OA = OB et OA = OC, donc OB = OC et O est sur la m´ ediatrice de B, C , de sorte que les m´ ediatrices du triangle sont concourantes. Figure

I

Mais, attention ...

(67)

M´ ediatrices, attention

I

Les m´ ediatrices d’un triangle ne sont pas toujours concourantes. Figure

I

Pour comprendre le ph´ enom` ene, on peut revenir au mod` ele de Klein, sans oublier de regarder ce qui se passe ` a l’ext´ erieur. Figure

I

Dans le mod` ele de Klein, les m´ ediatrices ont tout de mˆ eme une propri´ et´ e : elles concourent dans le disque, ou en dehors (et cela signifie alors qu’elles admettent une perpendiculaire

*commune).

(68)

M´ ediatrices, attention

I

Les m´ ediatrices d’un triangle ne sont pas toujours concourantes. Figure

I

Pour comprendre le ph´ enom` ene, on peut revenir au mod` ele de Klein, sans oublier de regarder ce qui se passe ` a l’ext´ erieur.

Figure

I

Dans le mod` ele de Klein, les m´ ediatrices ont tout de mˆ eme une propri´ et´ e : elles concourent dans le disque, ou en dehors (et cela signifie alors qu’elles admettent une perpendiculaire

*commune).

(69)

M´ ediatrices, attention

I

Les m´ ediatrices d’un triangle ne sont pas toujours concourantes. Figure

I

Pour comprendre le ph´ enom` ene, on peut revenir au mod` ele de Klein, sans oublier de regarder ce qui se passe ` a l’ext´ erieur.

Figure

I

Dans le mod` ele de Klein, les m´ ediatrices ont tout de mˆ eme

une propri´ et´ e : elles concourent dans le disque, ou en dehors

(et cela signifie alors qu’elles admettent une perpendiculaire

(70)