G´ eom´ etries
C´edric Bonnaf´e
CNRS (UMR 5149) - Universit´e de Montpellier 2
Besan¸con, Novembre 2011
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes,
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es,
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur,
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu,
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e,
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination,
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France Milliers de probl`emes non r´esolus
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France Milliers de probl`emes non r´esolus
A quoi ¸ca sert ?`
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France Milliers de probl`emes non r´esolus
A quoi ¸ca sert ?`
Satellites, GPS, portables...
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France Milliers de probl`emes non r´esolus
A quoi ¸ca sert ?`
Satellites, GPS, portables...
Bombe atomique, bourse
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France Milliers de probl`emes non r´esolus
A quoi ¸ca sert ?`
Satellites, GPS, portables...
Bombe atomique, bourse
Google : Th´eor`eme de Perron-Frobenius
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France Milliers de probl`emes non r´esolus
A quoi ¸ca sert ?`
Satellites, GPS, portables...
Bombe atomique, bourse
Google : Th´eor`eme de Perron-Frobenius Pourquoi en fait-on ?
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France Milliers de probl`emes non r´esolus
A quoi ¸ca sert ?`
Satellites, GPS, portables...
Bombe atomique, bourse
Google : Th´eor`eme de Perron-Frobenius Pourquoi en fait-on ?
D´eveloppement de la connaissance
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France Milliers de probl`emes non r´esolus
A quoi ¸ca sert ?`
Satellites, GPS, portables...
Bombe atomique, bourse
Google : Th´eor`eme de Perron-Frobenius Pourquoi en fait-on ?
D´eveloppement de la connaissance Pour le plaisir
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France Milliers de probl`emes non r´esolus
A quoi ¸ca sert ?`
Satellites, GPS, portables...
Bombe atomique, bourse
Google : Th´eor`eme de Perron-Frobenius Pourquoi en fait-on ?
D´eveloppement de la connaissance Pour le plaisir
Challenge
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France Milliers de probl`emes non r´esolus
A quoi ¸ca sert ?`
Satellites, GPS, portables...
Bombe atomique, bourse
Google : Th´eor`eme de Perron-Frobenius Pourquoi en fait-on ?
D´eveloppement de la connaissance Pour le plaisir
Challenge
Parce que ¸ca sert...
Quelques mots sur l’activit´ e
“math´ ematique”
Probl`emes, difficult´es, raisonnement/rigueur, technique jeu, plaisir/beaut´e, intuition/imagination, cr´eation...
Vieillot/archa¨ıque ?
82 000 articles de recherche parus en 2010 Environ 3 000 math´ematiciens en France Milliers de probl`emes non r´esolus
A quoi ¸ca sert ?`
Satellites, GPS, portables...
Bombe atomique, bourse
Google : Th´eor`eme de Perron-Frobenius Pourquoi en fait-on ?
D´eveloppement de la connaissance Pour le plaisir
Challenge
Parce que ¸ca sert...
G´ eom´ etrie euclidienne
G´ eom´ etrie euclidienne
•Points
G´ eom´ etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q
G´ eom´ etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q
•Droites
G´ eom´ etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q D
•Droites
G´ eom´ etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q D
•Droites
•Par deux points il passe une et une seule droite
G´ eom´ etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q D
•Droites
•Par deux points il passe une et une seule droite
G´ eom´ etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q D
•Droites
•Par deux points il passe une et une seule droite
•Axiome d’Euclide : ´Etant donn´es une droite D et un point P, il existe une et une seule parall`ele `aD passant par P.
G´ eom´ etrie euclidienne
•Points
b b
P
Q D
•Droites
•Par deux points il passe une et une seule droite
•Axiome d’Euclide : ´Etant donn´es une droite D et un point P, il existe une et une seule parall`ele `aD passant par P.
Triangles
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Triangles
Th´eor`eme
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
b b
b
Transformations
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
60◦
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
60◦\\
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
60◦\\
\\
b
P’
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
×
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
×
×
b
P”
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
b
P”
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
b
P”
b b
Q”
R”
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
b
P”
b b
Q”
R”
•Sym´etries orthogonales
Transformations
But : respecter l’alignement, les angles, voire les distances
•Rotations
b
O
b P
b
P’
b b
Q R
b b
Q’ R’
b
P”
b b
Q”
R”
•Sym´etries orthogonales
G´ eom´ etrie sph´ erique
G´ eom´ etrie sph´ erique
G´ eom´ etrie sph´ erique
b
A
b
B
b
C
G´ eom´ etrie sph´ erique
b
A
b
B
b
C
G´ eom´ etrie sph´ erique
b
A
b
B
b
C
G´ eom´ etrie sph´ erique
b
A
b
B
b
C
G´ eom´ etrie sph´ erique
b
A
b
B
b
C
Toutes les droites sph´eriques
se coupent
G´ eom´ etrie sph´ erique
b
A
b
B
b
C
Toutes les droites sph´eriques
se coupent
A^ + ^B+ ^C >180◦
G´ eom´ etrie sph´ erique
G´ eom´ etrie sph´ erique : un triangle
´ equilat´ eral rectangle !
b
A Bb
b C
G´ eom´ etrie sph´ erique : un triangle
´ equilat´ eral rectangle !
b
A Bb
b C
×
×
×
G´ eom´ etrie sph´ erique : un triangle
´ equilat´ eral rectangle !
b
A Bb
b C
×
×
×
G´ eom´ etrie hyperbolique
G´ eom´ etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1) Droites ! Droites hyperboliques
G´ eom´ etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux aux bords
G´ eom´ etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux aux bords (+ les diam`etres)
G´ eom´ etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux aux bords (+ les diam`etres)
bO
G´ eom´ etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux aux bords (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
G´ eom´ etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux aux bords (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
bb P
G´ eom´ etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux aux bords (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
bb P
G´ eom´ etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux aux bords (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
bb P
G´ eom´ etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux aux bords (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
bb P
G´ eom´ etrie hyperbolique
Plan! Disque de Poincar´e (disque de rayon 1)
Droites ! Droites hyperboliques : arcs de cercles orthogonaux aux bords (+ les diam`etres)
bO
b
T
b
T′
G´ eom´ etrie hyperbolique
G´ eom´ etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
G´ eom´ etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
Il existe une distance pour laquelle les segments de droites hyperboliques sont les plus courts chemins d’un point `a un autre
G´ eom´ etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
Il existe une distance pour laquelle les segments de droites hyperboliques sont les plus courts chemins d’un point `a un autre Etant donn´es un point P (du disque de Poincar´e) et une droite´ D (hyperbolique) ne contenant pas P, il passe uneinfinit´e de parall`eles`a D passant par P.
G´ eom´ etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
Il existe une distance pour laquelle les segments de droites hyperboliques sont les plus courts chemins d’un point `a un autre Etant donn´es un point P (du disque de Poincar´e) et une droite´ D (hyperbolique) ne contenant pas P, il passe uneinfinit´e de parall`eles`a D passant par P.
La somme des angles d’un triangle est<180◦.
G´ eom´ etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
Il existe une distance pour laquelle les segments de droites hyperboliques sont les plus courts chemins d’un point `a un autre Etant donn´es un point P (du disque de Poincar´e) et une droite´ D (hyperbolique) ne contenant pas P, il passe uneinfinit´e de parall`eles`a D passant par P.
La somme des angles d’un triangle est<180◦.
Les cercles hyperboliques sont des cercles euclidiens (mais le centre a chang´e...)
G´ eom´ etrie hyperbolique
Th´eor`eme
Par deux points (du disque de Poincar´e) il passe une et une seule droite (hyperbolique)
Il existe une distance pour laquelle les segments de droites hyperboliques sont les plus courts chemins d’un point `a un autre Etant donn´es un point P (du disque de Poincar´e) et une droite´ D (hyperbolique) ne contenant pas P, il passe uneinfinit´e de parall`eles`a D passant par P.
La somme des angles d’un triangle est<180◦.
Les cercles hyperboliques sont des cercles euclidiens (mais le centre a chang´e...)
G´ eom´ etrie hyperbolique : droite passant
par deux points
G´ eom´ etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
G´ eom´ etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
G´ eom´ etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
b
A′
OA′ = 1 OA
G´ eom´ etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
b
A′
OA′ = 1 OA
G´ eom´ etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
b
A′
OA′ = 1 OA
b
T1
b
T2
G´ eom´ etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
b
A′
OA′ = 1 OA
b
T1
b
T2
G´ eom´ etrie hyperbolique : droite passant par deux points
b
O
bO
b
A
b
B
b
A′
OA′ = 1 OA
b
T1
b
T2
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavage hyperbolique de type ( 4 , 4 , 4 )
Pavages hyperboliques
Pavages hyperboliques
Th´eor`eme (Poincar´e)
Soient p, q et r trois entiers tels que 1 p + 1
q + 1
r <1. Alors le disque de Poincar´e admet un pavage de type(p,q,r).
Pavage hyperbolique de type ( 2 , 4 , 6 )
Pavage hyperbolique de type ( 2 , 3 , 7 )
Pavage hyperbolique heptagonal
G´ eom´ etrie hyperbolique : pourquoi ?
G´ eom´ etrie hyperbolique : pourquoi ?
Arithm´etique
G´ eom´ etrie hyperbolique : pourquoi ?
Arithm´etique
Th´eorie de la relativit´e (non-additivit´e des vitesses, d´eformation de l’espace par la gravitation)
G´ eom´ etrie hyperbolique : pourquoi ?
Arithm´etique
Th´eorie de la relativit´e (non-additivit´e des vitesses, d´eformation de l’espace par la gravitation)
Th´eor`eme de Poncelet (billards elliptiques)
G´ eom´ etrie hyperbolique : pourquoi ?
Arithm´etique
Th´eorie de la relativit´e (non-additivit´e des vitesses, d´eformation de l’espace par la gravitation)
Th´eor`eme de Poncelet (billards elliptiques) Physique math´ematique
G´ eom´ etrie hyperbolique : pourquoi ?
Arithm´etique
Th´eorie de la relativit´e (non-additivit´e des vitesses, d´eformation de l’espace par la gravitation)
Th´eor`eme de Poncelet (billards elliptiques) Physique math´ematique
Th´eorie des groupes
G´ eom´ etrie hyperbolique : pourquoi ?
Arithm´etique
Th´eorie de la relativit´e (non-additivit´e des vitesses, d´eformation de l’espace par la gravitation)
Th´eor`eme de Poncelet (billards elliptiques) Physique math´ematique
Th´eorie des groupes ...
Pavage hyperbolique de type ( 3 , 3 , ∞ )
Une g´ eom´ etrie discr` ete
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
2 4
1
3 5
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
2 4
1
3 5
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
2 4
1
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1 2
3 5
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
6
4 3
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
7
4 5
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
6
1 5
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
7 6
2
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
7
1
3
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
7→ 7→7→ 7→ 7→ 7→7→
Une g´ eom´ etrie discr` ete
7 6
3 5
Une transformation amusante 17−→2
27−→3 37−→4 47−→5 57−→6 67−→7 77−→1
2 4
1
7→ 7→7→ 7→ 7→ 7→7→
Th´eor`eme. Il y a 168 permutations de {1,2,3,4,5,6,7} qui pr´eservent l’alignement.
