Chapitre 6 – Pour reprendre contact – Réponse exercice 3
a.Pour tout 𝑛 ≥ 1,−1
𝑛 ≤ (−1)𝑛
𝑛 ≤ 1
𝑛 avec lim𝑛→+∞1
𝑛 = 0 et lim𝑛→+∞−1
𝑛 = 0 Par le théorème « des gendarmes », on en déduit que lim
𝑛→+∞
(−1)𝑛 𝑛 = 0.
b.Pour tout n de ℕ, −1 ≤ sin 𝑛 ≤ 1 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑛2− 1 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝑛2+ 1.
Or lim
𝑛→+∞𝑛2− 1 = +∞, donc par théorème de comparaison, lim
𝑛→+∞𝑢𝑛 = +∞.
Remarque
On n’a pas besoin de chercher la limite de 𝑛2+ 1 quand n tend vers +∞.
c.Pour tout 𝑛 ≥ 1,−1
𝑛2 ≤ (−1)𝑛
𝑛2 ≤ 1
𝑛2 avec lim
𝑛→+∞
1
𝑛2 = 0 et lim
𝑛→+∞− 1
𝑛2 = 0 d’où
𝑛→+∞lim 𝑢𝑛 = 3.
Remarque
On aurait pu aussi encadrer un par 3 − 1
𝑛2≤ 3 +(−1)𝑛
𝑛2 ≤ 3 + 1
𝑛2 et montrer que les termes extrêmes tendent tous les deux vers 3 quand n tend vers +∞.
Math’x Terminale S © Éditions Didier 2016
