Spécialité 1ère – Chapitre 6 Page 1
Chapitre 6 : Probabilités conditionnelles et indépendance
Dans tout ce chapitre, on désigne par Ω l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire et une probabilité associée à Ω.
I- Probabilités conditionnelles 1) Probabilité de sachant
a) Définition
Définition 1 : Soient et deux événements avec () ≠ 0.
La probabilité conditionnelle de sachant est le nombre noté () et défini par : () =( ∩ )
() .
C’est la probabilité que l’événement soit réalisé sachant que l’événement est déjà réalisé.
Remarque 1 :
1) Cette probabilité se note aussi : (|) et se lit « de sachant ».
2) On vient de définir une nouvelle probabilité sur l’univers Ω, dite probabilité conditionnelle.
Elle vérifie, entre autres, les propriétés suivantes :
Propriété 1 : Soient et deux événements avec () ≠ 0. 1) 0 ≤ () ≤ 1
2) () = 1 − ()
Exemple 1 : Le tableau suivant donne la répartition des élèves de 1ère dans un lycée :
Fille Garçon Total
Spécialité maths 48 67 115
Pas spécialité maths 24 18 42
Total 72 85 157
On choisit au hasard un élève de 1ère et on note l’événement « l’élève a choisi la spécialité maths », l’événement « l’élève est une fille » et et les événements contraires respectifs.
() =115
157 , () = 72
157 , () = 1 −115
157 = 42
157 , () = 1 − 72
157 = 85 157 ( ∩ ) = 48
157 , ( ∪ ) = () + () − ( ∩ ) = 115
157 + 72
157 − 48
157 = 139 157 () =( ∩ )
() = 15748 15772
=48
72 , !() =( ∩ ) () =
15748 115157
= 48 115
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b) Probabilité d’une intersection
Propriété 2 : Soient et deux événements avec () ≠ 0 et () ≠0.
(∩ peut se calculer de deux façons : 1) (∩ "
2) (∩ " #
Remarque 2 : c’est une conséquence directe de la définition 1.
Exemple 2 : Une urne contient 3 boules bleues et 4 boules jaunes. On tire au hasard successivement et sans remise deux boules dans l’urne et on note la couleur obtenue.
Notons $ l’événement « la ième boule tirée est bleue ».
(%) =3 7
Après avoir tiré la première boule, il reste 2 boules bleues et 4 boules jaunes, donc la probabilité de tirer une deuxième boule bleue sachant que la première tirée est bleue est :
#&(') = 2
61 3
Déterminons la probabilité de tirer deux boules bleues : ()%∩ )' )% " *&)' 3
7"1 31
7
2) Probabilités totales a) Partition Définition 2 :
Soit + un entier naturel non nul.
On dit que les + événements %, ', … , -
de probabilités non nulles forment une partition de l’univers Ω s’ils sont incompatibles deux à deux et si leur réunion est égale à l’univers Ω.
Cas particulier : Deux événements contraires et ̅ de probabilités non nulles forment une partition de l’univers Ω.
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b) Arbres pondérés
Pour plus de clarté, on peut représenter les probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre pondéré.
Le premier nœud correspond aux événements d’une partition (en général deux ou trois événements, rarement plus).
Le deuxième nœud est complété par les probabilités conditionnelles dont les conditions sont les événements de la partition.
Propriété 3 : Dans un arbre pondéré :
1) La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
2) La probabilité de l’événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.
Remarque 3 : On retrouve rapidement les probabilités des intersections en appliquant le 2) de la propriété 3.
Exemple d’arbre simple constitué de deux événements à chaque nœud :
c) Formule des probabilités totales
Propriété 4 : Soient + événements %, ', … , - constituant une partition de l’univers E.
Pour tout événement , on a :
() = (%∩ ) + ('∩ ) + ⋯ + (- ∩ ) = 0 (1 ∩ )
-
Ou encore : 12%
() = (%) × &() + (') × 3() + ⋯ + (-) × 4() = 0 (1) × 5()
- 12%
6
̅ ()
(̅)
)
()
7
7 ()
)
̅()
̅() )
( ∩ ) = () × ()
( ∩ ) = () × ()
(̅ ∩ ) = (̅) × ̅()
(̅ ∩ ) = (̅) × ̅()
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Cas particulier : Dans le cas où la partition choisie est constituée de deux événements contraires et ̅ , on obtient les formules :
() = ( ∩ ) + (̅ ∩ ) Ou encore :
() = () × () + (̅) × ̅()
Exemple 3 : On reprend l’exemple de l’urne de l’exemple 2.
(%) =3
7 , #&(') =2
6 =1 3
Déterminons la probabilité de tirer une boule bleue au deuxième tirage : (78) = (%∩ 78) + ( ∩ 7% 8) = (%) × #&(') + () × % #&(') =3
7 ×1 3 +4
7 ×1 2 =3
7
II- Indépendance
1) Indépendance de deux événements a) Définition
Définition 3 : On dit que les événements et sont indépendants lorsque : ( ∩ ) = () × ()
Remarque : L’indépendance de deux événements traduit l’idée suivante :
« La réalisation (ou non) de l’un n’influence pas la réalisation (ou non) de l’autre ».
On ne sera donc pas surpris par la propriété 5 du paragraphe suivant.
%
%
9 :
; : )
%
9 78
78 '
'
' 9
)
% '
% '
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b) Propriétés
Propriété 5 : Soient et deux événements avec () ≠ 0 et () ≠ 0.
1) Les événements et sont indépendants si et seulement si () = () 2) Les événements et sont indépendants si et seulement si #() = ()
Propriété 6 :
Si et sont deux événements indépendants alors ̅ et le sont aussi.
Il en est d’ailleurs de même pour et ainsi que pour ̅ et .
2) Succession de deux épreuves indépendantes
Définition 4 :
Lorsque deux expériences aléatoires se succèdent et que les résultats de l’une n’ont pas d’influence sur l’autre, on dit qu’il s’agit d’une succession de deux épreuves
indépendantes.
Exemple 4 :
Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : deux bleues, deux jaunes et une noire.
L’expérience aléatoire consiste à tirer au hasard successivement deux boules de l’urne avec remise et à noter les couleurs obtenues.
Comme la première boule tirée est remise dans l’urne avant le deuxième tirage, la composition de l’urne est la même lors des deux tirages. L’expérience aléatoire étudiée est donc la
répétition de l’épreuve « tirer au hasard une boule dans l’urne et noter sa couleur ». On répète deux fois cette épreuve.
Le résultat de la première épreuve n’a pas d’influence sur le résultat de la deuxième : les deux épreuves sont donc indépendantes. (Ce qui ne serait pas le cas s’il n’y avait pas remise …)
Propriété 7 :
Lors d’une succession de deux épreuves indépendantes, la probabilité d’un couple de résultats est égale au produit des probabilités de chacun d’entre eux.
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Exemple 5 :
L’expérience aléatoire de l’exemple 4 peut être illustrée par un arbre pondéré :
(; =) = '>×%>='>' et (; ) ='>×'> ='>;
?
=
?
=
?
=
?
=
2/5
2/5
1/5
2/5 2/5 1/5
2/5 2/5 1/5
2/5 2/5 1/5
( ; ) ( ; ?) ( ; =) (? ; )
(? ; ?) (? ; =) (= ; ) (= ; ?) (= ; =)
