Etude de fonctions
Pour reprendre contact n°1 – 2 – 3 – 4 – 5 p 45
I. Fonctions racine carrée
Pour 𝑎 réel positif ou nul, la racine carrée de 𝑎 est le réel positif ou nul 𝑏 tel que 𝑏² = 𝑎.
Autrement dit, 𝑏 = √𝑎 𝑏 ≥ 0 𝑒𝑡 𝑏
2= 𝑎 A. Etude de la fonction
Définition
La fonction 𝑓 définie sur [0 ; +∞[ , qui à tout nombre réel positif 𝑥 associe sa racine carrée √𝑥 est appelée fonction racine carrée.
Propriété
La fonction 𝑓 : 𝑥 ↦ √𝑥 est croissante sur [0 ; +∞[
Démonstration
Soit deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que 0 ≤ 𝑎 < 𝑏
Comparons √𝑎 et √𝑏 en étudiant le signe de leur différence :
√𝑏 − √𝑎 = (√𝑏−√𝑎)(√𝑏+√𝑎)
√𝑏+√𝑎 =(√𝑏)
2−(√𝑎)2
√𝑏+√𝑎 = 𝑏−𝑎
√𝑏+√𝑎
On a supposé 𝑎 < 𝑏 donc 𝑏 − 𝑎 > 0
De plus, √𝑎 ≥ 0 et √𝑏 > 0 donc √𝑏 + √𝑎 > 0 Donc 𝑏−𝑎
√𝑏+√𝑎> 0 car c’est le quotient de deux nombres positifs.
Autrement dit, √𝑏 − √𝑎 > 0 donc √𝑎 < √𝑏 On a donc montré que si 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 alors √𝑎 < √𝑏
Ce qui signifie que la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[
Courbe représentative
Sur de nombreux logiciels, √𝑥 s’obtient en utilisant la commande sqrt(x) (sqrt = square root)
Exercices n°16 – 18 – 19 – 20 – 21 – 24 – 25 – 26 – 27 p 62 - 63
√𝑏 + √𝑎 s’appelle la quantité conjuguée de √𝑏 − √𝑎
En multipliant par la quantité conjuguée,
on enlève les racines « gênantes »
B. Positions relatives de courbes Propriété
Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction racine carrée et la courbe représentative de la fonction carré sur [0 ; +∞[ sont symétriques par rapport à la droite d’équation 𝑦 = 𝑥.
Démonstration
𝑥 et 𝑦 désignent deux nombres réels positifs.
𝑦 = √𝑥 équivaut à 𝑦² = 𝑥, c’est-à-dire 𝑀(𝑥 ; 𝑦) appartient à si, et seulement si, 𝑀’(𝑦 ; 𝑥) appartient à .
Propriété
Les points de coordonnées (0 ; 0) et (1 ; 1) appartiennent aux courbes , et .
Pour tout nombre réel de l’intervalle [0 ; 1], 𝑥² ≤ 𝑥 ≤ √𝑥 , c’est-à- dire que est en-dessous de qui est en-dessous de
Pour tout nombre réel de l’intervalle [1 ; +∞[, √𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥² , c’est- à-dire que est en-dessous de qui est en-dessous de
Démonstration
Pour tout nombre réel positif 𝑥,
𝑥2− 𝑥 = 𝑥(𝑥 − 1) est du signe de (𝑥 − 1) donc 𝑥2− 𝑥 ≥ 0 pour 𝑥 ≥ 1
et 𝑥2− 𝑥 ≤ 0 pour 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
𝑥 − √𝑥 = √𝑥(√𝑥 − 1) est du signe de √𝑥 − 1 donc pour 𝑥 ≥ 1, √𝑥 ≥ 1 √𝑥 − 1 ≥ 0 et pour 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, √𝑥 ≤ 1 √𝑥 − 1 ≤ 0 Ces inégalités prouvent les positions relatives des courbes.
Exercices n°32 – 34 – 35 – 36 p 64
II. Fonctions valeur absolue
A. Valeur absolue d’un nombre réel Définition
Sur une droite graduée d’origine O, 𝑥 est l’abscisse d’un point M.
La valeur absolue du nombre réel 𝑥, notée |𝑥|, est la distance OM.
Remarque
La valeur absolue d’un nombre réel positif est le nombre lui-même.
La valeur absolue d’un nombre réel négatif est l’opposé de ce nombre.
Autrement dit, on a |𝒙| = { −𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟎 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎 Exemples
|7,3| = 7,3 |−5,2| = 5,2 |1 − √2| = √2 − 1
Propriété
Pour tout nombre réel 𝑥,
|𝑥| ≥ 0
|−𝑥| = |𝑥|
√𝑥² = |𝑥|
Démonstration
|𝑥| = 𝑂𝑀 et une distance est positive donc |𝑥| ≥ 0
M et M’ d’abscisses respectives 𝑥 et – 𝑥 sont symétriques par rapport à l’origine O, donc OM=OM’
c’est-à-dire | − 𝑥| = |𝑥|
√𝑥²est le nombre positif qui a pour carré 𝑥². Or |𝑥|² = 𝑥² (que x soit positif ou négatif) et |𝑥| ≥ 0
Donc pour tout réel 𝑥, √𝑥² = |𝑥|
Exercices n°38 – 39 – 40 (a, b, c) – 41 p 64
B. La fonction valeur absolue Définition
La fonction 𝑓 définie sur R, qui à tout nombre réel 𝑥 associe sa valeur absolue |𝑥|, est appelée fonction valeur absolue.
Propriété
La fonction valeur absolue est décroissante sur ] − ∞; 0] et croissante sur [0; +∞[
Démonstration
Pour tout nombre réel 𝑥 ≥ 0, 𝑓(𝑥) = |𝑥| = 𝑥, donc 𝑓 est croissante sur [0; +∞[
Pour tout nombre réel 𝑥 ≤ 0, 𝑓(𝑥) = |𝑥| = −𝑥, donc 𝑓 est décroissante sur ] − ∞; 0]
Propriété
La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites.
Dans un repère orthogonal, cette courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Démonstration
Soient x et y deux nombres réels.
M(𝑥 ; 𝑦) appartient à la courbe si, et seulement si, 𝑦 = |𝑥|
Or ceci équivaut à 𝑦 = | − 𝑥| car | − 𝑥| = |𝑥|, c’est-à-dire M’(−𝑥 ; 𝑦) appartient à la courbe. M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal.
Exercices n°40 (d, e, f) – 43 – 44 – 45 p 64 III. Sens de variations des fonctions 𝒖 + , 𝒖, √𝒖 𝒆𝒕
𝟏𝒖
A. Fonctions 𝒖 + 𝒆𝒕𝒖 Notation
Si 𝑢 est une fonction et un réel, on note la fonction 𝑢 + la fonction 𝑥 ↦ 𝑢(𝑥) + et 𝑢 la fonction définie par 𝑥 ↦ 𝑢(𝑥)
Propriété
Soit 𝑢 une fonction strictement monotone sur un intervalle I et un réel.
La fonction définie sur I par 𝒙 ↦ 𝒖(𝒙) + a le même sens de variation que 𝑢 sur I.
Démonstration
Si 𝑢 est strictement croissante sur I Pour tout 𝑎 et 𝑏 de I
Si 𝑎 < 𝑏 alors 𝑢(𝑎) < 𝑢(𝑏) Donc 𝑢(𝑎) +< 𝑢(𝑏) +
Donc 𝑢 + est strictement croissante sur I.
Si 𝑢 est strictement décroissante sur I Pour tout 𝑎 et 𝑏 de I
Si 𝑎 < 𝑏 alors 𝑢(𝑎) > 𝑢(𝑏) Donc 𝑢(𝑎) +> 𝑢(𝑏) +
Donc 𝑢 + est strictement décroissante sur I.
Dans les deux cas 𝑢 + a le même sens de variation que 𝑢 sur I.
Propriété
Soit 𝑢 une fonction strictement monotone sur un intervalle I et un réel non nul.
Si > 𝟎, la fonction définie sur I par 𝑥 ↦ 𝑢(𝑥)a le même sens de variation que 𝑢 sur I.
Si
< 𝟎, la fonction définie sur I par 𝑥 ↦
𝑢(𝑥)a le sens de variation contraire de 𝑢 sur I.
Démonstration (voir n°8 p 55)
Si 𝑢 est strictement croissante sur I et > 0 Pour tout 𝑎 et 𝑏 de I
Si 𝑎 < 𝑏 alors 𝑢(𝑎) < 𝑢(𝑏) Donc 𝑢(𝑎) <𝑢(𝑏)
Donc 𝑢 est strictement croissante sur I.
Si 𝑢 est strictement croissante sur I et < 0 Pour tout 𝑎 et 𝑏 de I
Si 𝑎 < 𝑏 alors 𝑢(𝑎) < 𝑢(𝑏) Donc 𝑢(𝑎) >𝑢(𝑏)
Donc 𝑢 est strictement décroissante sur I.
Effectuer la même démonstration pour 𝑢 strictement décroissante.
Exercices n°46 – 47 – 48 – 50 p 64 – 65
B. Fonctions √𝒖 𝒆𝒕
𝒖𝟏Définition et propriété
Soit u une fonction strictement monotone sur un intervalle I.
Si pour tout réel 𝑥 de I, 𝑢(𝑥) ≥ 0, alors la fonction √𝒖: 𝑥 ↦ √𝑢(𝑥) est définie sur I et a le même sens de variation que 𝒖 sur I.
Démonstration
Si 𝑢(𝑥) ≥ 0 pour tout 𝑥 de I, alors √𝑢(𝑥) existe pour tout 𝑥 de I.
Si 𝑢 est strictement croissante sur I Pour tout 𝑎 et 𝑏 de I
Si 𝑎 < 𝑏 alors 0 ≤ 𝑢(𝑎) < 𝑢(𝑏)
Donc √𝑢(𝑎) < √𝑢(𝑏) car la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[
Donc √𝑢 est strictement croissante sur I.
Si 𝑢 est strictement décroissante sur I Pour tout 𝑎 et 𝑏 de I
Si 𝑎 < 𝑏 alors 𝑢(𝑎) > 𝑢(𝑏) ≥ 0
Donc √𝑢(𝑎) > √𝑢(𝑏) car la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[
Donc √𝑢 est strictement décroissante sur I.
Dans les deux cas √𝑢 a le même sens de variation que 𝑢 sur I.
Exercices n°54 – 55 – 56 – 57 – 58 – 60 – 62 p 65 – 66
Définition et propriété
Soit u une fonction strictement monotone sur un intervalle I.
La fonction
1𝑢
: 𝑥 ↦
1𝑢(𝑥)
est définie pour tout 𝑥 de I tel 𝑢(𝑥) ≠ 0
Si 𝑢 est toujours strictement positif (ou strictement négatif) sur I,
𝟏𝒖
a le sens de variation contraire
de celui de 𝒖 sur I.
Démonstration
Si 𝑢(𝑥) ≠ 0 pour tout 𝑥 de I, alors 1
𝑢(𝑥) existe pour tout 𝑥 de I.
Si 𝑢 est strictement croissante sur I et 𝑢(𝑥) > 0 Pour tout 𝑎 et 𝑏 de I
Si 𝑎 < 𝑏 alors 0 < 𝑢(𝑎) < 𝑢(𝑏) Donc 1
𝑢(𝑎)> 1
𝑢(𝑏) car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[
Donc 1
𝑢 est strictement décroissante sur I.
Faire le même raisonnement pour les 3 autres cas. Dans chaque cas, 1𝑢 a le sens de variation contraire que celui de 𝑢.
