D´epartement de math´ematiques et de statistique

(1)

D´epartement de math´ematiques et de statistique MAT 2100

Universit´e de Montr´eal Analyse 3

INTRA

mardi 21 février 2017 de 10h30 à 12h30 local Z-260, pavillon Claire-McNicoll Directives pédagogiques :

• Les livres, notes de cours, calculatrices, ordinateurs, téléphones portables et appareils électroniques de tous genres ne seront pas permis.

• Les solutions basées sur des dessins ne seront pas acceptées Répondre au maximum de questions : note maximale 85 sur 100.

Question 1. Donner les d´efinitions suivantes :

(i) (2 points) la limite d’une fonction f : (X, dX)→(Y, dY) par rapport

`a E en un point d’accumulation de E;

(ii) (2 points) la continuit´e d’une fonction f : (X, d_X)→(Y, d_Y) en un point de X;

(iii) (2 points) la continuit´e uniforme d’une fonction

f : (X, dX)→(Y, dY) par rapport `a un sous-ensemble E 6=∅ de X; (iv) (2 points) la continuit´e lipschitzienne d’une fonction

f : (X, d_X)→(Y, d_Y) en un point x∈X;

(v) (2 points) un hom´eomorphisme pour f : (X, dX)→(Y, dY) bijective.

Question 2. (5 points) Soit {0,1,2}muni de la m´etrique d(x, y) =|x−y|. Est-ce que la fonction

f(x)^d´= sin (1/x) si^ef x6= 0 etf(0)^d´= 0^ef est continue en x= 0 ? Justifier.

Démonstration. Comme X est composé uniquement de points isolés pour la métrique d, toute fonction sur X est continue.

Question 3. Soit R muni de la m´etrique d(x, y) =|x−y|.

(2)

(i) (5 points) Soient deux fonctionsf, g :R→Rcontinues sur R. Est-ce que leur produit (f g)(x) =f(x)g(x) est continue sur R? Justifier.

(ii) (10 points) Soient deux fonctions f, g :R→R uniform´ement continues surR. Est-ce que leur produit (f g)(x) =f(x)g(x) est uniform´ement continue sur R? Justifier.

D´emonstration. (i) Pour x, y ∈R, on a

|f(y)g(y)−f(x)g(x)|=|f(y)g(y)−f(x)g(y)−f(x)g(y)−f(x)g(x)|

≤ |f(y)−f(x)| |g(y)|+|f(x)| |g(y)−g(x)|. Soit ε >0. Par continuit´e de g en x, il existe δg(x)>0 tel que

∀y, |y−x|< δg(x), |g(y)−g(x)|< ε/(2 max{|f(x)|,1})

⇒ |f(x)| |g(y)−g(x)|< ε/2.

Comme g est continue sur l’intervalle compact [x−δg(x), x+δg(x)], son image est compacte et donc born´ee, c’est-`a-dire, il existe M tel que

∀y∈[x−δg(x), x+δg(x)], |g(y)| ≤M.

Enfin, comme f est continue en x, il existe δf(x)>0 tel que

∀y, |y−x|< δf(x), |f(y)−f(x)|< ε/(2M)

⇒ |f(y)−f(x)| |g(y)|< ε/2.

Finalement, pour δ(x) = min{δf(x), δg(x)}>0,

|f(y)g(y)−f(x)g(x)| ≤|f(y)−f(x)| |g(y)|+|f(x)| |g(y)−g(x)|

< ε/2 +ε/2 =ε.

(ii) On rappelle qu’une fonction f :R→Rest uniform´ement continue sur R si pour tout ε >0, il existe δ >0 tel que

∀x, y ∈R, |y−x|< δ, |f(y)−f(x)|< ε.

Ce n’est pas vrai, il suffit de choisir la fonction f(x) = x uniformément continue sur R pour laquelle le carré (f(x))² =x² n’est pas uniformément continu sur R. En effet, on prend ε= 1 et n’importe quel δ >0. Pour les points x >0 et y=x+δ/2, on a|y−x|< δ

0≤(x+δ/2)²−x² = (2x+δ/2)δ/2.

(3)

En prenant x assez grand, on peut rendre |(x+δ/2)²−x²| ≥1 :

∀x, x >max{0,1/δ−δ/4}, (x+δ/2)²−x²= (2x+δ/2) δ/2≥1.

Ceci contredit la d´efinition d’uniform´ement continu sur R.

Question 4. Soit (X, d) un espace métrique compact, l’ensemble X ^d´=êf {A:∅6=A⊂X et A fermé}

et ∀A∈ X, ∀x∈X, dA(x)^d´= inf^ef

a∈Ad(a, x).

(i) (10 points) Montrer que les fonctions x7→dA(x) :X →R₊ et (A, B)7→ρX(A, B)^d´= sup^ef

x∈X|dA(x)−dB(x)|:X × X →R₊ sont bien d´efinies.

(ii) (5 points) Montrer que pour toutA ∈ X, d⁻¹_A {0}=A, o`u d⁻_A¹{0}^d´=^ef {x∈X :dA(x) = 0}.

(iii) (10 points) Montrer que ρX est une m´etrique sur X. D´emonstration. (i) Pour x∈X, on a

∀a ∈A, d(a, x)≥0

et le sous-ensemble {d(a, x) :a∈A} deR est born´e inf´erieurement par 0.

Donc

0≤dA(x)^d´= inf^ef {d(a, x) :a∈A} ∈R est l’application dA :X →R₊ est bien d´efinie.

Les sous-ensembles ferm´es A etB du compactX sont des compacts.

Comme les applications dA et dB sont lipschitziennes, elles sont continues et leur images dA(X) etdB(X) sont compactes et donc born´ees. En particulier,

sup

x∈X

d_A(x)≤M_A et sup

x∈X

d_B(x)≤M_B

⇒ ∀x∈X, 0≤ |dA(x)−dB(x)| ≤dA(x) +dB(x)

≤sup

x∈X

dA(x) + sup

x∈X

dB(x)≤MA+MB.

(4)

Comme |d_A(x)−d_B(x)| est borné supérieurement 0≤ρX(A, B)^d´= supêf

x∈X|dA(x)−dB(x)| ∈R et l’application ρ_X :X × X →R₊ est bien d´efinie.

(ii) Par d´efinition, d⁻¹_A {0}={x∈X :dA(x) = 0}. En particulier

A⊂d⁻_A¹{0}. Par d´efinition de l’infimum, pour tout n ≥1, il existe an ∈A tel que

d_A(x)≤d(a_n, x)< d_A(x) + 1 n.

La suite {an} ⊂A est donc d-Cauchy dans X. Comme X est compact, X est complet et il existe y ∈X tel quean→y. Pour tout r >0, il existe N tel que

∀n > N, d(an, y)< r ⇒ Br(y)∩A6=∅ ⇒ y ∈A.

On a démontré que A ⊂d⁻_A¹{0} ⊂A. Comme Aest fermé, A=A et d⁻_A¹{0}=A=A.

(iii) Pour montrer que ρX est une m´etrique, on doit v´erifier les trois axiomes. Pour (M1). Si A =B, alorsd_A=d_B et ρ_X(A, B) = 0. Si ρX(A, B) = 0, alors

∀x∈X, dA(x) =dB(x).

En utilisant le fait que d⁻¹_A {0}=A et d⁻¹_B {0}=B, il vient (∀a∈A, dB(x) = 0 ⇒ A⊂d⁻_B¹{0}=B

∀b∈B, dA(x) = 0 ⇒ B ⊂d⁻_A¹{0}=A )

⇒ A=B.

Pour (M2)

ρX(A, B) = sup

x∈X|dA(x)−dB(x)|= sup

x∈X|dB(x)−dA(x)|=ρX(B, A).

Pour (M3) et A, B, C dans X,

⇒ |d_C(x)−d_A(x)| ≤ sup

x∈X|d_C(x)−d_B(x)|+ sup

x∈X|d_B(x)−d_A(x)|

⇒ sup

x∈X|dC(x)−dA(x)| ≤sup

x∈X|dC(x)−dB(x)|+ sup

x∈X|dB(x)−dA(x)|.

(5)

Question 5. On considère l’espace vectoriel normé des suites infinies ξ = (x1, x2, . . .) de carré sommable :

ℓ^{2 d´}=^ef (

ξ = (x1, x2, . . .) : X∞

i=1

|xi|² <∞ )

, kξk^d´=^ef

" _∞ X

i=1

|xi|²

#1/2

. On suppose que l’on a démontré que ℓ² muni de la métrique

d(ξ, ζ) =kξ−ζkest un espace m´etrique complet. Soit E ^d´=^ef n

ξ∈ℓ² :kξk=√ 2o

.

(i) (5 points) Montrer que l’applicationξ 7→ kξk: (ℓ², d)→R est uniform´ement continue sur ℓ².

(ii) (5 points) Montrer que E est ferm´e et born´e dansℓ².

(iii) (5 points) Est-ce que E est s´equentiellement compact ? Justifier.

Démonstration. (i) Par l’inégalité du triangle, pour tous ξ,ζ ∈ℓ²

|kξk − kζk| ≤ kξ−ζk.

L’application est donc lipschitzienne sur ℓ² et, a fortiori, uniform´ement continue sur ℓ².

(ii) De la partie (i), comme la norme est continue et que E est l’image inverse du point √

2,E est ferm´e. Il est aussi born´e car E ⊂B2(0).

(iii) On rappelle la définition. Un sous-ensemble E d’un espace métrique (X, d) est séquentiellement compact si E =∅ ou toute suite {xn} dans E possède une sous-suite {x_nk} qui converge vers un élément x∈E.

E n’est pas s´equentiellement compact. En effet, il suffit de consid´erer la suite

ξn =√

2 (0, . . . ,0, 1 z }| { positionn

,0, . . .)∈E

pour laquelle

d(ξn, ξm) =

(2, sin 6=m 0, sin =m.

Cette suite n’a donc pas de sous-suite convergente.

(6)

Question 6. Soit p= (0,0,1) le pôle nord de la sphère S^{2 d´}=êf

x∈R³ :x²₁+x²₂+x²₃ = 1 ⊂R³. (i) (10 points) Montrer que l’application

(z1, z2)7→ϕ(z1, z2)^d´=^ef

2z1

z₁²+z₂²+ 1, 2z2

z₁²+z²₂ + 1,z²₁+z₂²−1 z²₁ +z₂²+ 1,

:R² →S²\{p}.

est un hom´eomorphisme pour les normes euclidiennes sur R² etR³. (ii) (5 points) Montrer que ϕ(R²) est dense dans S².

(iii) (Bonus, 15 points) En utilisant le fait que ϕ est une isom´etrie de (R², dϕ) sur S²\{p}pour la nouvelle m´etrique

dϕ(x, y) = kϕ(x)−ϕ(y)k, montrer que le compl´et´e (Rc²,dbϕ) de (R², dϕ) est compact.

D´emonstration. (i) L’applicationϕ est bijective. En effet, soit y, z ∈R² tel que ϕ(y) =ϕ(z). On a

z₁²+z²₂ −1

z₁²+z₂²+ 1 = y₁²+y₂²−1

y₁²+y₂²+ 1 ⇒ z₁²+z²₂ =y²₁+y²₂. Ceci entraˆıne

2z1

z₁²+z₂²+ 1 = 2y1

y₁²+y₂²+ 1 et 2z2

z₁²+z₂²+ 1 = 2y1

y₁²+y₂²+ 1

⇒ z1 =y1 et z2 =y2.

Elle est donc injective. On se donne maintenant x= (x1, x2, x3)∈S²\{p}et on cherche z = (z₁, z₂)∈R² te que ϕ(z) =x. On observe que

x= (x1, x2, x3)∈S²\{p} entraˆınex3 <1 puisque x3 = 1 et x²₁+x²₂+x²₃ = 1 impliquerait x1 =x2 = 0 et x=p. On a

z²₁ +z²₂−1

z₁²+z²₂ + 1 =x3 et z₁²+z₂² = 1 +x3

1−x₃ ⇒ z²₁+z₂²+ 1 = 2 1−x₃.

(7)

De l`a 2z1

z₁²+z²₂ + 1 =x1 et 2z2

z²₁ +z₂²+ 1 =x2 ⇒ z1 = x1

1−x3

etz2 = x2

1−x3

.

L’inverse de ϕ est donc

(x₁, x₂, x₃)7→ϕ⁻¹(x₁, x₂, x₃)^d´=^ef

x1

1−x3

, x2

1−x3

:S²\{p} →R². (1)

Les applications ϕ et ϕ⁻¹ sont continues. La définition de ϕ et le calcul de ϕ⁻¹ font intervenir aux numérateurs des polynômes qui sont continus et aux dénominateurs des polynômes non nuls. Les fractions sont donc continues. L’application ϕ est donc bien un homéomorphisme.

(ii) L’image ϕ(R²) de R² dans R³ est S²\{p}dont l’adhérence dans R³ est la spère S² toute entière, c’est-à-dire,S²\{p} ∪ {p}.

(iii) On vérifie les trois axiomes d’une métrique pour dϕ. Pour (M1), si x=y, alors dϕ(x, y) =kϕ(x)−ϕ(y)k= 0. Réciproquement, si dϕ(x, y) = 0, on a ϕ(x) =ϕ(y) et x=y. Pour (M2),

dϕ(x, y) =kϕ(x)−ϕ(y)k=kϕ(y)−ϕ(x)k=dϕ(y, x).

Pour (M3) et x,y,z

kϕ(x)−ϕ(z)k ≤ kϕ(x)−ϕ(y)k+kϕ(y)−ϕ(z)k

⇒ dϕ(x, z)≤dϕ(x, y) +dϕ(y, z).

La fonction ϕ: (R², dϕ)→S⁽²⁾\{p} ⊂R³ est toujours une bijection. Par d´efinition de la nouvelle m´etrique dϕ, il vient pour tout x, y dans R²

kϕ(x)−ϕ(x)k=dϕ(x, y) et ϕ est bien une isom´etrie.

Soit j : (S⁽²⁾\{p}, d3)→(S⁽²⁾, d3) l’injection de (S⁽²⁾\{p}, d3) dans son adhérence (S⁽²⁾\{p}, d3) qui est égale àS⁽²⁾. La composition j ◦ϕ

(R², d_ϕ)−→^ϕ (S⁽²⁾\{p}, d₃)−→^j S⁽²⁾

est donc une isométrie qui possède un prolongement uniformément continu b

ϕ au complété (Rc²,dˆϕ) (Théorème 6.3 du Chapitre 4).

(8)

Soit i: (R², d_ϕ)→(Rc²,dˆ_ϕ) l’injection isométrique dense de (R², d_ϕ) dans (Rc²,dˆϕ) (cf. Théorème 5.5 du Chapitre 3. La composition i◦ϕ⁻¹

(S⁽²⁾\{p}, d3)−→^ϕ⁻¹ (R², dϕ)−→ⁱ (Rc²,dˆϕ)

est donc aussi une isométrie qui possède un prolongement uniformément continu ψbà l’adhérence (S⁽²⁾\{p}, d₃) qui est égale à S⁽²⁾ (Théorème 6.3 du Chapitre 4).

Les compositions ϕb◦ψb:S⁽²⁾ →S⁽²⁾ etψb◦ϕb: (Rc²,dˆϕ)→(Rc²,dˆϕ)

coinc¨ıdent avec l’identit´e sur les sous-ensembles denses S⁽²⁾\{p} et (R², dϕ).

De la question 5, elles sont donc égales à l’identité et ϕbest une bijection.

En fait, comme ˆdϕ(x, y) =dϕ(x, y) =kϕ(x)−ϕ(y)k sur R², il vient dˆϕ(x, y) =kϕ(x)b −ϕ(y)b k par densit´e et ϕbest une isom´etrie. L’application inverse

S⁽²⁾ −→^ϕ^b⁻¹ (Rc²,dˆϕ)

est aussi une isom´etrie. Elle est donc continue. Enfin, comme la sph`ere S⁽²⁾ est compacte dans (R³, d3), son image

c

R² =ϕb⁻¹(S⁽²⁾)

est compacte dans (Rc²,dˆϕ) (cf. Th´eor`eme 4.1 du Chapitre 4).