Dur´ ee de trois heures. Les notes de cours sont autoris´ ees, pas les t´ el´ ephones portables. Toutes les applications sont diff´ erentiables. On note || · || la norme euclidienne et S

Examen - G´eom´etrie diff´erentielle et riemannienne

Dur´ ee de trois heures. Les notes de cours sont autoris´ ees, pas les t´ el´ ephones portables. Toutes les applications sont diff´ erentiables. On note || · || la norme euclidienne et S

⊂ R

la sph` ere unit´ e munie de la m´ etrique induite.

Exercice 0 : pr´ eliminaire ` a l’exercice 1

1.Soit ω une 2-forme sur R

` a support compact. Montrer qu’il existe une 1- forme α sur R

` a support compact telle que dα = ω si et seulement si R

R²

ω = 0.

Indication : en notant ω = f(x, y)dx ∧dy on pourra traiter le cas o` u f (x, y) = g(x)h(y) puis se ramener au cas o` u R

f(x, y)dy = 0 pour tout x ∈ R . 2. En d´ eduire que l’application H

(S

) → R d´ efinie par ω → R

S²

ω est un isomorphisme o` u H

(S

) d´ esigne l’espace vectoriel de cohomologie de De Rham de degr´ e 2 de la sph` ere.

Exercice 1 : La formule de Gauss-Bonnet

Soit Σ une vari´ et´ e compacte sans bord de dimension 2 et i : Σ → R

une immersion. On suppose qu’il existe une application N : Σ → S

⊂ R

v´ erifiant pour tout x ∈ Σ : N (x) ⊥ d

i(T

Σ).

1. Expliquer comment i et N permettent de d´ efinir respectivement une m´ e- trique g et une orientation sur Σ.

2. Soit K et dVol la courbure de Gauss et la forme volume de Σ pour cette m´ etrique. Montrer qu’on a

KdVol = N

ω o` u ω est la forme de volume euclidienne de S

.

3. Supposons qu’il existe y ∈ S

tel que pour tout x ∈ N

({y}), N soit un diff´ eomorphisme local en x

. On notera

= ±1 suivant que d

N pr´ eserve ou renverse l’orientation. En rempla¸cant ω par une 2-forme ` a support dans un voisinage de y, montrer l’´ egalit´ e

Z

Σ

N

ω = 4π X

x∈N⁻¹({y})

.

4. On admet dans cette question que deux immersions i

, i

: Σ → R

sont isotopes au sens o` u il existe I : Σ × [0, 1] → R

telle que i

= I(·, t) soit une immersion pour tout t ∈ [0, 1]

. Montrer qu’on a l’´ egalit´ e suivante (th´ eor` eme de Gauss-Bonnet) en se ramenant ` a une surface de genre g standard (raisonner sur un dessin)

Z

Σ

K dVol = 2π(2 − 2g).

1. Le th´ eor` eme de Sard assure l’existence de y 2. C’est un th´ eor` eme difficile dˆ u ` a Smale

1

Exercice 2 : Flot g´ eod´ esique et flot hamiltonien. Soit (M, g) une vari´ et´ e riemannienne compl` ete, π : T M → M son fibr´ e tangent et p : T

M → M son fibr´ e cotangent.

1. Montrer que Φ : T M → T

M d´ efinie pour x ∈ M et X, Y ∈ T

M par Φ(X)(Y ) = g

(X, Y ) est un isomorphisme de fibr´ es vectoriels.

2. Soit α la 1-forme sur T

M d´ efinie par α

(ξ) = η(d

p(ξ)) pour x ∈ M , η ∈ T

M et ξ ∈ T

T

M. Calculer α et ω = dα dans une carte (x

, . . . , x

, p

, . . . , p

), ces cordonn´ ees d´ esignant le covecteur P

i

p

dx

au point de coordonn´ ees locales (x

, . . . , x

). En d´ eduire que ω est une forme symplectique.

3. Montrer qu’il existe un champ de vecteur ξ sur T M dont le flot ϕ

est le “le flot g´ eod´ esique” au sens o` u ϕ

(X) = c

(t) avec c : R → M la g´ eod´ e- sique satisfaisant c(0) = x et c

(0) = X. Calculer ce champ dans une carte (x

, . . . , x

, v

, . . . , v

), ces coordonn´ ees d´ esignant le vecteur P

i

v

i

au point de coordonn´ ees locales (x

, . . . , x

).

4. Calculer L

(Φ

α).

5. Etant donn´ e une fonction H : T

M → R , elle d´ efinit un champ de vecteur X

dit hamiltonien par l’´ equation dH(Y ) + ω(X

, Y ) = 0 pour tout champ de vecteur Y sur T

M . Trouver F : T M → R qui v´ erifie Φ

(X

) = ξ.

Exercice 4 : la poire de Tannery.

Soit M le sous-ensemble d´ efini par les ´ equations M = {(x, y, z) ∈ R

, x

+ y

= 1

8 z

(1 − z

), z > 0}

1. Montrer que M est une sous-vari´ et´ e de R

de dimension 2.

2. On munit M de la m´ etrique g induite par la m´ etrique standard de R

. Trou- ver sans calcul deux g´ eod´ esiques, l’une ferm´ ee, l’autre pas et calculer leur longueur. La vari´ et´ e M est-elle compl` ete pour la distance riemannienne ? 3. Montrer que l’application F :]0,

[× R /2π Z → M d´ efinie par

F (u, θ) = ( 1 4 √

2 sin(2u) cos(θ), 1 4 √

2 sin(2u) sin(θ), sin(u)) est un diff´ eomorphisme sur son image et calculer la m´ etrique F

g.

4. Soit c :]a, b[→ M une g´ eod´ esique param´ etr´ ee par longueur d’arc. Trouver deux ´ equations diff´ erentielles satisfaites par les fonctions u(t) et θ(t) d´ efinies par c(t) = F (u(t), θ(t)).

5. Soit C = sin(2u(0))

θ

(0) et δ = q

1 −

. Montrer qu’en posant δ sin(x) = cos(2u), on a l’´ equation diff´ erentielle

(δ sin x + 2) ˙ x = ±4 √ 2

6. En d´ eduire que toutes les g´ eod´ esiques compl` etes de M sont p´ eriodiques et calculer leur longueur.

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