Les notes de cours sont autoris´ ees. Les calculatrices sont autoris´ ees.

M2 IMAT 2009–2010

Analyse de sensibilit´ e

Examen du 8 Septembre 2010

Les notes de cours sont autoris´ ees. Les calculatrices sont autoris´ ees.

1 Krikri

1. Soit Z ₁ une variable al´ eatoire de densit´ e f _Z

(z) := ³ ₄ (1 − x ² ) sur ] − 1, 1[ et Z ₂ une variable de loi uniforme sur ] − 1, 1[. Montrer que les fonctions caract´ eristiques de ces variables sont :

ϕ _Z

(t) := E (e ^itZ

) = 3

t ³ (sin t − t cos t) et ϕ _Z

(t) := E (e ^itZ

) = sin t

t , (t ∈ R ^∗ ).

2. Expliquer pourquoi les fonctions ϕ _Z

et ϕ _Z

sont des fonctions de covariance.

3. On consid` ere sur R les processus gaussiens centr´ es (X _t ¹ ) t∈ R et (X _t ² ) t∈ R de fonction de covariance respective ϕ _Z

et ϕ _Z

. Soit x ₀ un r´ eel donn´ e. On observe X ₀ ^j = x ₀ (j = 1, 2).

Pour t un r´ eel non nul, d´ eterminer la loi de X _t ^j (j = 1, 2) connaissant cette observation.

Pour t r´ eel, tracer la fonction de krigeage (l’esp´ erance de cette loi conditionnelle).

2 Sensibilit´ e

On consid` ere la relation entr´ ee sortie suivante :

Y = cos(X ₁ )X ₂ ² + cos(X ₂ )X ₁ ² . (1) On suppose que les variables al´ eatoires X ₁ , X ₂ sont ind´ ependantes. X ₁ a la densit´ e h _Z

d´ ecrite au paragraphe pr´ ec´ edent. X 2 est une variable al´ eatoire de loi gaussienne standard. Si X est une variable al´ eatoire, on note ϕ _X sa fonction caract´ eristique.

1. Montrer que, pour t r´ eel et i = 1, 2, E [cos(tX _i )] = ϕ _X

(t).

2. Exprimer, pour t r´ eel, i = 1, 2 j = 0, 2 et k = 1, 2, E [X _i ^j cos ^k (tX _i )] en fonction de ϕ _X

et de ses d´ eriv´ ees.

3. Calculer les indices de Sobol du 1er ordre pour le mod` ele (1).

4. Quelle variable d’entr´ ee a le plus d’influence sur les fluctuations de Y ?