Documents et calculatrices de l’ULCO autoris´ es

(1)

Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Ann´ ee universitaire 2011–2012

Licence 2` eme ann´ ee Informatique

Calcul Formel & Courbes et Surfaces

Dur´ ee : 2 h le lundi 14 mai

Documents et calculatrices de l’ULCO autoris´ es

Les deux parties du devoir seront trait´ ees sur des copies diff´ erentes.

Calcul Formel

Exercice 1 (10 points). Supposons que nous ayons une classe (ou structure) Matrice permettant de repr´ esenter les matrices carr´ ees ` a coefficients dans Z (les entiers sont repr´ esent´ es par le type int). Les fonctions utiles sont:

• Matrice M(n) qui cr´ ee une matrice de taille n × n;

• M[i][j] qui acc` ede au coefficient ` a la position (i, j) de la matrice M, les indices commen¸ cant ` a 1;

• M.taille qui retourne la taille de M.

Une matrice carr´ ee A = (a

i,j

) de taille n × n est dite sym´ etrique si a

i,j

est ´ egale ` a a

j,i

pour tous les couples (i, j) de {1, ..., n}

²

.

– 1) Parmi les matrices suivantes, lesquelles sont sym´ etriques :

A

1

= 1 2

2 1

, A

2

= 1 2

0 1

, A

3

=





1 1 −1

0 1 0

−1 0 1



 , A

4

=





2 −1 1

−1 1 2

1 2 −1





– 2) Ecrire en pseudo-langage ou en C++ une fonction est sym´ etrique(Matrice A) qui retourne true si A est sym´ etrique et false sinon.

Soit A = (a

i,j

) une matrice carr´ ee, la matrice transpos´ ee de A, not´ ee

^t

A est la matrice

^t

A = (a

j,i

).

Exemple :

A

5

=





2 1 3 3 2 1 1 3 2



 et

^t

A

5

=





2 3 1 1 2 3 3 1 2





– 3) Calculer la transpos´ ee des matrices A

1

, A

2

, A

3

et A

4

.

– 4) Ecrire en pseudo-langage ou en C++ une fonction transposee(Matrice A) qui retourne la transpos´ ee de la matrice A.

On dit qu’une matrice carr´ ee A est un carr´ e magique si les sommes des coefficients sur chaque ligne et chaque colonne sont ´ egales.

– 5) Trouver les trois carr´ es magiques parmi A

1

, A

2

, A

3

, A

4

et A

5

.

– 6) Ecrire en pseudo-langage ou en C++ les fonctions int somme ligne(Matrice A,int i) et int somme colonne(Matrice A,int j) qui retourne respectivement la somme des coefficients de la ligne i de A et la somme des coefficients de la colonne j de A.

– 7) Ecrire en pseudo-langage ou en C++ une fonction est carr´ e magique(Matrice A) qui retourne

true si A est un carr´ e magique et false sinon.

(2)

Exercice 2 (10 points). Les ´ el´ ements de F

ⁿ2

pourront ˆ etre not´ es sous forme de n-uplets ou de vecteurs colonnes. Soit ϕ le code correcteur d´ efini par

ϕ : F

²2

→ F

⁵2

(b

₁

, b

₂

) 7→ (b

₁

, b

₂

, b

₁

+ b

₂

, b

₂

, b

₁

) – 1) Quel est le param` etre du code ϕ?

– 2) Quelle est l’image du code ϕ.

– 3) Quelle est la distance minimale de ϕ?

– 4) Quelles sont les capacit´ es de d´ etection et de correction pour ϕ ? – 5) Le code ϕ est-il lin´ eaire ? syst´ ematique ?

– 6) Le code ϕ est-il MDS ?

– 7) Donner la matrice g´ en´ eratrice de ϕ.

– 8) Donner une matrice de contrˆ ole pour ϕ.

– 9) Calculer la table de d´ ecodage de ϕ.

– 10) D´ ecoder le mot 01010.

Courbe et Surfaces

Exercice 3 (10 points). Dans cette exercice, on se propose d’adapter l’algorithme de Bresenham au cas d’un cercle. On note C

R

le cercle de centre O = (0, 0) et de rayon R. Comme pour la version vue en cours on divise l’espace en octant. On se contentera de tracer la partie du cercle se trouvant dans le second octant :

1 2 3 4

6 7

5 8

L’´ equation cart´ esienne de C

R

est F

R

(x, y) = x

²

+ y

²

− R

²

. Un point M = (x

M

, y

M

) appartient alors ` a C

R

si et seulement si F

R

(x

M

, y

M

) = 0.

– 1) Quelle est le signe de F

_R

(x

_M

, y

_M

) pour un point M = (x

_M

, y

_M

) se trouvant ` a l’int´ erieur du cercle C

_R

. On pourra consid´ erer que le signe est le mˆ eme pour tous les points ` a l’int´ erieur du cercle de C

_R

et calculer la valeur de F

_R

en un point particulier.

Supposons que l’on trace dans le sens des aiguilles d’une montre la portion du cercle C

R

se trouvant dans le deuxi` eme octant. L’algorithme de Bresenham consiste alors ` a allumer successivement des points P

₀

, P

₁

, P

₂

, .... On note (x

_i

, y

_i

) les coordonn´ ees du point P

_i

.

– 2) Apr` es avoir allum´ e le point P

i

quels sont les deux pixels possibles parmi N, N E, E, SE, S, SO, O et N O pour P

i+1

? Faire un dessin peut ˆ etre tr` es utile.

NE

S SE SO O

NO N

P_i

E

2

(3)

On note M = (x

M

, y

M

) le point se trouvant au milieu du segment reliant les deux points possibles pour P

i+1

et Q l’intersection de ce mˆ eme segment avec le cercle C

R

. On choisira alors pour P

i+1

le point du mˆ eme cˆ ot´ e que Q par rapport ` a M comme pour l’algorithme de trac´ e de segment vu en cours.

– 3) Calculer les coordonn´ ees (x

M

, y

M

) de M en fonction de (x

i

, y

i

).

– 4) En fonction du signe de F

_R

(x

_M

, y

_M

) d´ eduire successivement, la position de M par rapport au cercle C

_R

, la position de Q par rapport ` a M , les cordonn´ ees (x

_i+1

, y

_i+1

) du point P

_i+1

.

– 5) Donner une expression δ

i

qui soit du mˆ eme signe que F

R

(x

M

, y

M

) mais n´ ecessitant uniquement des calculs sur les entiers. On cherchera une expression d´ evelopper de δ

i

de la forme K × F

R

(x

M

, y

M

) o` u K est un entier ne d´ ependant ni de R ni de i.

– 6) En fonction du choix pour P

i+1

donner une formule liant δ

i

` a δ

i+1

.

On suppose pour la suite que la fonction allume(int x,int y) allume ` a l’´ ecran le pixel de coordonn´ ees (x, y).

– 7) Ecrire en pseudo-langage ou en C++ une fonction void dessine cercle(int R) qui dessine ` a l’´ ecran le cercle de centre (0, 0) et de rayon R.

Exercice 4. Dans cet exercice, on se propose de calculer une courbe d’interpolation passant par les points P

₀

= (0, 1), P

₁

= (1, 0) et P

₂

= (2, 1). Le couple (x

_i

, y

_i

) d´ esigne les coordonn´ ees de P

_i

pour i = 0, 1, 2.

Nous utilisons dans un premier temps un polynˆ ome d’interpolation de Lagrange

– 1) Calculer les polynˆ omes L

0

(X), L

1

(X ) et L

2

(X ) de Q [X ] tels que L

0

(0) = 1, L

0

(1) = 0, L

0

(2) = 0, L

1

(0) = 0, L

1

(1) = 1, L

1

(2) = 0, L

2

(0) = 0, L

2

(1) = 0 et L

2

(2) = 1.

– 2) En d´ eduire le polynˆ ome P(X ) v´ erifiant P (0) = 1, P(1) = 0 et P (2) = 1.

Nous utilisons maintenant une spline quadratique – 3) Rappeler la d´ efintion d’une spline qudaratique.

On note q

0

et q

1

les polynˆ omes constituant la spline quadratique d’interpolation de P

0

, P

1

et P

2

– 4) Quelles sont les ´ equations que doivent v´ erifier les polynˆ omes q

i

. Pour i = 0, 1, on pose q

_i

(X ) = a

_i

(x − x

_i

)

²

− b

_i

(x − x

_i

) + c

_i

– 5) Quelles sont les ´ equations que doivent satisfaire a

0

, a

1

, b

0

, b

1

, c

0

et c

1

. ?

– 6) Quel est le nombre d’´ equations ? d’inconnues ? combien manque t-il d’´ equations ?

– 7) Calculer les valeurs a

0

, a

1

, b

0

, b

1

, c

0

, c

1

puis les polynˆ omes q

0

et q

1

en ajoutant la condition initiale q

⁰₀

(x

0

) = 0.

3