Corrig´es exercices M´ecanique des Fluides Fondamentale Master Energie & Mat´eriaux
Bases math´ematiques
1. Base duale, coordonn´ees co- et contravariantes.
(a) On voit que
~bi·~u=~bi· {uj~bj}=ujbi·~bj =ujδji =ui,
~bi·~u=~bi· {uj~bj}=ujbi·~bj =ujδij =ui. (b) On voit que~bk·~bi =~bk·(gij~bj) =gij(~bk·~bj) =gijgkj =δik. (c) Ecrire~bi·~bj ={gik~bk} · {gjl~bl}=gikgjlgkl=gikδkj =gij. (d) On ´ecrit
ui=~bi·~u=~bi· {uj~bj}=ujbi·~bj =gijuj, ui=~bi·~u=~bi· {uj~bj}=ujbi·~bj =gijuj. 2. Base r´eciproque (duale) en cristallographie.
Les vecteurs de bases sont repr´esent´ees par
b1 =
a 0 0
, b2=
a
√2 3a 2
0
, b3 =
0 0 c
.
Utilisant~b1 = (~b2∧~b3)/V (cycl.) etV =~b1·(~b2∧~b3)(voir cours) on trouve iciV =√ 3/2a2c et
b1=
1 a
−√1
3a
0
b2 =
0
√2 3a
0
, b3 =
0 0
1 c
.
La matrice repr´esentant le tenseur m´etrique est
G=
a2 a22 0
a2
2 a2 0
0 0 c2
et son inverse G−1 =
4
3a2 −3a22 0
−3a22 3a42 0 0 0 c12
.
Avec ceci
(b1,b2,b3) =G−1·(b1,b2,b3) =
1
a 0 0
−√1
3a
√2 3a 0 0 0 1c
.
3. Coordonn´ees sph´eriques.
(a) Les repr´esentations matricielles des vecteurs de la base tangente sont
br =
sin(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)
cos(θ)
, bφ=
−rsin(θ) sin(φ) rsin(θ) cos(φ)
0
, bθ =
rcos(θ) cos(φ) rcos(θ) sin(φ)
−rsin(θ)
.
(b) Ici la matrice du tenseur m´etrique est diagonale
G=
1 0 0
0 r2sin2(θ) 0
0 0 r2
et la matrice inverse est G−1 =
1 0 0
0 cscr22(θ) 0 0 0 r12
.
Avec ceci
(br,bφ,bθ) =G−1·(br,bφ,bθ) =
sin(θ) cos(φ) −csc(θ) sin(φ) r
cos(θ) cos(φ) r
sin(θ) sin(φ) csc(θ) cos(φ) r
cos(θ) sin(φ) r
cos(θ) 0 −sin(θ)r
.
(c) Pour la divergence d’un champ~u(r, φ, θ) =ur~br+uφ~bφ+uθ~bθon trouve
∇ ·~ ~u =~br ∂
∂r ·~u+~bφ ∂
∂φ ·~u+~bθ ∂
∂θ ·~u = ∂ur
∂r + 2ur
r + ∂uφ
∂φ + ∂uθ
∂θ + cot(θ)uθ. (d) Le laplacien d’un champ f(r, φ, θ) est d´efini par ∇ ·~ ∇f~ . D´efinissant ~u(r, φ, θ) =
~br(∂f /∂r) +~bθ(∂f /∂φ) +~bφ(∂f /∂φ) il suit que∆f = ∇ ·~ ~uet on trouve le r´esultat connu
∆f = ∂2f
∂r2 +2 r
∂f
∂r + 1 r2
∂2f
∂θ2 + cotθ∂f
∂θ + 1 sin2θ
∂2f
∂φ2
.
4. Une forme particuli`ere pour la base duale.
(a) Les vecteurs de la base tangente sont repr´esent´es par b1 =
1 1 2v
, b2 =
1
−1 2u
, b3=
0 0 1
. (b) On peut exprimeru, v, wparx, y, z:
u= x+y
2 , v= x−y
2 , w= 1
2 −x2+y2+ 2z . Avec ceci on obtient en notation matricielle
∇u=ex
∂u
∂x +ey
∂u
∂y +ez
∂u
∂z =
1 2 1 2
0
,
∇v =ex
∂v
∂x+ey
∂v
∂y+ez
∂v
∂z =
1 2
−12 0
,
∇w=ex
∂w
∂x +ey
∂w
∂y +ez
∂u
∂w =
−(u+v) u−v
1
.
On v´erifie que∇u·bu = 1,∇v·bv = 1,∇w·bw = 1et∇u·bv = 0,∇u·bw = 0,
∇v·bw = 0. Ceci montre que{~bu =∇u,~b~ v =∇v,~b~ w =∇w}~ forment la base duale `a {~bu,~bv,~bw}.
(c) D´efinissantx1 ≡x, x2 ≡y, x3 ≡zainsi quex˜1 ≡u,x˜2 ≡v,x˜3≡w, les vecteurs de la base tangente sont donn´es par
~bj = ∂xi
∂˜xj~ei. Par cons´equent
∂x˜k
∂xl~el
| {z }
∇˜~xk
· ∂xi
∂x˜j~ei
| {z }
~bj
= ∂˜xk
∂xl
∂xi
∂x˜j~el·~ei = ∂˜xk
∂xl
∂xi
∂x˜jδil= ∂x˜k
∂˜xj =δkj.
Corrig´es exercices M´ecanique des Fluides Fondamentale Master Energie & Mat´eriaux
Lois de conservation
1. Champs vectoriels.
Dans les d´emonstrations suivantes l’argument X n’apparait pas explicitement afin de garder les formules courtes.
(a) Le champA~ est de la formeA~ = ∇ ∧~ B, car~ ∇ ·~ (∇ ∧~ B) = 0~ pour n’importe quel champB~ qui est diff´erentiable.
(b) Le champA~ est de la formeA~ =∇φ, car~ ∇ ∧~ (∇φ) =~ ~0pour n’importe quel champ scalaireφ~qui est diff´erentiable.
2. Conservation de la quantit´e du mouvement.
On part de l’´equation (voir cours)
∂
∂t{ρ~v}+∇ · {ρ~~ v⊗~v}=ρ~k−∇ ·~ P~~ (1) dont le membre gauche est d´evelopp´e comme suit :
(∂tρ)~v+ (∂t~v)ρ+ (∇ρ)~ ·(~v⊗~v) +ρ ~∇ ·(~v⊗~v)
= (∂tρ+~v·∇ρ~ +ρ ~∇ ·~v)
| {z }
=0
⊗~v+ρ∂t~v+ρ~v·(∇ ⊗~ ~v).
Le premier terme est nul `a cause de la conservation de la masse,
∂tρ+∇ ·~ (ρ~v) =∂tρ+~v·∇ρ~ +ρ ~∇ ·~v= 0.
On obtient alors
ρ
∂t~v+~v·(∇ ⊗~ ~v
=ρ~k−∇ ·~ P~~ ou bien
ρD~v
Dt =ρ~k−∇ ·~ P~~ (2)
ce qu’il fallait d´emontrer.
3. Diffusion libre.
(a) L’´equation de continuit´e prend la forme
∂tρ+∇~
−D ~∇ρ ou bien
∂tρ=D∆ρ (3)
en utilisant que∆ =∇ ·~ ∇~.
(b) Sachant que[∆] = 1/m2en unit´es SI, il suit que[D] =m2/s.
(c) L’´equation de diffusion (3) peut ˆetre r´esolue par transformation de Fourier (TF).
Nous travaillons en coordonn´ees cart´esiennes et nous utilisons f˜(k) =
Z
d3x e−ik·xf(x), f(x) = 1
(2π)3 Z
d3k eik·xf˜(k),
pour la transform´ee de Fourier et son inverse. Avec ceci la TF de l’eq. (3) prend la forme
∂ρ(k, t) =˜ −D|k|2ρ(k, t)˜ dont la solution est
˜
ρ(k, t) =e−D|k|2tρ(k,˜ 0).
Avecρ(x,0) =δ(x)il suit queρ(k,˜ 0) = 1, ce qu’il m`ene `a une forme gaussienne pour la solution enk,
˜
ρ(k, t) =e−D|k|2t.
La TF inverse de cette gaussienne a ´egalement une forme gausienne,
ρ(x, t) = e−
x2 4D|k|2t
(2√
πDt)3 (4)
(d) Comme~ =ρ~v =−D ~∇ρ, o `uρest donn´e par l’´eq. (4), le champ de vitesse est donn´e par
~v=−D∇ρ~ ρ
et en coordonn´ees cart´esiennes on obtient un champ de vitesse radial v(x, t) = x
2t
(e) Le Laplacien en coordonn´ees sph´eriques a la forme g´en´erale (voir exercice 3d)
∆f = ∂2f
∂r2 +2 r
∂f
∂r + 1 r2
∂2f
∂θ2 + cotθ∂f
∂θ + 1 sin2θ
∂2f
∂φ2
.
Pourρ≡ρ(r, t)l’´equation de diffusion a alors la forme
∂tρ=−D ∂2ρ
∂r2 +2 r
∂ρ
∂r
. et pourρ≡ρ(r)(solution stationnaire)
∂2ρ
∂r2 + 2 r
∂ρ
∂r
= 0 (5)