Les vecteurs de bases sont repr´esent´ees par b1

Corrig´es exercices M´ecanique des Fluides Fondamentale Master Energie & Mat´eriaux

Bases math´ematiques

1. Base duale, coordonn´ees co- et contravariantes.

(a) On voit que

~b_i·~u=~b_i· {u_j~b^j}=u_jb_i·~b^j =u_jδ^j_i =u_i,

~bⁱ·~u=~bⁱ· {u^j~b_j}=u^jbⁱ·~b_j =u^jδⁱ_j =uⁱ. (b) On voit que~b_k·~bⁱ =~b_k·(g^ij~bj) =g^ij(~b_k·~bj) =g^ijg_kj =δⁱ_k. (c) Ecrire~bⁱ·~b^j ={g^ik~b_k} · {g^jl~b_l}=g^ikg^jlg_kl=g^ikδ_k^j =g^ij. (d) On ´ecrit

ui=~bi·~u=~bi· {u^j~bj}=u^jbi·~bj =giju^j, uⁱ=~bⁱ·~u=~bⁱ· {u_j~b^j}=ujbⁱ·~b^j =g^ijuj. 2. Base r´eciproque (duale) en cristallographie.

Les vecteurs de bases sont repr´esent´ees par

b1 =







 a 0 0









, b2=









a

√2 3a 2

0









, b3 =







 0 0 c







 .

Utilisant~b¹ = (~b₂∧~b₃)/V (cycl.) etV =~b₁·(~b₂∧~b₃)(voir cours) on trouve iciV =√ 3/2a²c et

b¹=









1 a

−^√1

3a

0









b² =







 0

√2 3a

0









, b³ =







 0 0

1 c







 .

La matrice repr´esentant le tenseur m´etrique est

G=









a^{2 a}₂² 0

a²

2 a² 0

0 0 c²









et son inverse G⁻¹ =









4

3a² −_3a²₂ 0

−_3a²_{2 3a}⁴₂ 0 0 0 _c¹2







 .

Avec ceci

(b¹,b²,b³) =G⁻¹·(b1,b2,b3) =









1

a 0 0

−^√1

3a

√2 3a 0 0 0 ¹_c







 .

3. Coordonn´ees sph´eriques.

(a) Les repr´esentations matricielles des vecteurs de la base tangente sont

br =









sin(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)

cos(θ)









, b_φ=









−rsin(θ) sin(φ) rsin(θ) cos(φ)

0









, b_θ =









rcos(θ) cos(φ) rcos(θ) sin(φ)

−rsin(θ)







 .

(b) Ici la matrice du tenseur m´etrique est diagonale

G=









1 0 0

0 r²sin²(θ) 0

0 0 r²









et la matrice inverse est G⁻¹ =









1 0 0

0 ^csc_r²2^(θ) 0 0 0 _r¹2







 .

Avec ceci

(b^r,b^φ,b^θ) =G⁻¹·(b_r,b_φ,b_θ) =











sin(θ) cos(φ) −csc(θ) sin(φ) r

cos(θ) cos(φ) r

sin(θ) sin(φ) csc(θ) cos(φ) r

cos(θ) sin(φ) r

cos(θ) 0 −^sin(θ)_r









 .

(c) Pour la divergence d’un champ~u(r, φ, θ) =u^r~b_r+u^φ~b_φ+u^θ~b_θon trouve

∇ ·~ ~u =~b^r ∂

∂r ·~u+~b^φ ∂

∂φ ·~u+~b^θ ∂

∂θ ·~u = ∂u^r

∂r + 2u^r

r + ∂u^φ

∂φ + ∂u^θ

∂θ + cot(θ)u^θ. (d) Le laplacien d’un champ f(r, φ, θ) est d´efini par ∇ ·~ ∇f~ . D´efinissant ~u(r, φ, θ) =

~b^r(∂f /∂r) +~b^θ(∂f /∂φ) +~b^φ(∂f /∂φ) il suit que∆f = ∇ ·~ ~uet on trouve le r´esultat connu

∆f = ∂²f

∂r² +2 r

∂f

∂r + 1 r²

∂²f

∂θ² + cotθ∂f

∂θ + 1 sin²θ

∂²f

∂φ²

.

4. Une forme particuli`ere pour la base duale.

(a) Les vecteurs de la base tangente sont repr´esent´es par b₁ =



 1 1 2v



, b₂ =



 1

−1 2u



, b₃=



 0 0 1



. (b) On peut exprimeru, v, wparx, y, z:

u= x+y

2 , v= x−y

2 , w= 1

2 −x²+y²+ 2z . Avec ceci on obtient en notation matricielle

∇u=ex

∂u

∂x +ey

∂u

∂y +ez

∂u

∂z =









1 2 1 2

0







 ,

∇v =ex

∂v

∂x+ey

∂v

∂y+ez

∂v

∂z =









1 2

−¹₂ 0







 ,

∇w=ex

∂w

∂x +ey

∂w

∂y +ez

∂u

∂w =









−(u+v) u−v

1







 .

On v´erifie que∇u·b_u = 1,∇v·b_v = 1,∇w·b_w = 1et∇u·b_v = 0,∇u·b_w = 0,

∇v·b_w = 0. Ceci montre que{~b^u =∇u,~b~ ^v =∇v,~b~ ^w =∇w}~ forment la base duale `a {~b_u,~b_v,~b_w}.

(c) D´efinissantx¹ ≡x, x² ≡y, x³ ≡zainsi quex˜¹ ≡u,x˜² ≡v,x˜³≡w, les vecteurs de la base tangente sont donn´es par

~b_j = ∂xⁱ

∂˜x^j~e_i. Par cons´equent

∂x˜^k

∂x^l~el

| {z }

∇˜~x^k

· ∂xⁱ

∂x˜^j~ei

| {z }

~bj

= ∂˜x^k

∂x^l

∂xⁱ

∂x˜^j~el·~ei = ∂˜x^k

∂x^l

∂xⁱ

∂x˜^jδil= ∂x˜^k

∂˜x^j =δ^k_j.

Corrig´es exercices M´ecanique des Fluides Fondamentale Master Energie & Mat´eriaux

Lois de conservation

1. Champs vectoriels.

Dans les d´emonstrations suivantes l’argument X n’apparait pas explicitement afin de garder les formules courtes.

(a) Le champA~ est de la formeA~ = ∇ ∧~ B, car~ ∇ ·~ (∇ ∧~ B) = 0~ pour n’importe quel champB~ qui est diff´erentiable.

(b) Le champA~ est de la formeA~ =∇φ, car~ ∇ ∧~ (∇φ) =~ ~0pour n’importe quel champ scalaireφ~qui est diff´erentiable.

2. Conservation de la quantit´e du mouvement.

On part de l’´equation (voir cours)

∂

∂t{ρ~v}+∇ · {ρ~~ v⊗~v}=ρ~k−∇ ·~ P~~ (1) dont le membre gauche est d´evelopp´e comme suit :

(∂_tρ)~v+ (∂_t~v)ρ+ (∇ρ)~ ·(~v⊗~v) +ρ ~∇ ·(~v⊗~v)

= (∂_tρ+~v·∇ρ~ +ρ ~∇ ·~v)

| {z }

=0

⊗~v+ρ∂_t~v+ρ~v·(∇ ⊗~ ~v).

Le premier terme est nul `a cause de la conservation de la masse,

∂tρ+∇ ·~ (ρ~v) =∂tρ+~v·∇ρ~ +ρ ~∇ ·~v= 0.

On obtient alors

ρ

∂t~v+~v·(∇ ⊗~ ~v

=ρ~k−∇ ·~ P~~ ou bien

ρD~v

Dt =ρ~k−∇ ·~ P~~ (2)

ce qu’il fallait d´emontrer.

3. Diffusion libre.

(a) L’´equation de continuit´e prend la forme

∂tρ+∇~

−D ~∇ρ ou bien

∂_tρ=D∆ρ (3)

en utilisant que∆ =∇ ·~ ∇~.

(b) Sachant que[∆] = 1/m²en unit´es SI, il suit que[D] =m²/s.

(c) L’´equation de diffusion (3) peut ˆetre r´esolue par transformation de Fourier (TF).

Nous travaillons en coordonn´ees cart´esiennes et nous utilisons f˜(k) =

Z

d³x e^−ik·xf(x), f(x) = 1

(2π)³ Z

d³k e^ik·xf˜(k),

pour la transform´ee de Fourier et son inverse. Avec ceci la TF de l’eq. (3) prend la forme

∂ρ(k, t) =˜ −D|k|²ρ(k, t)˜ dont la solution est

˜

ρ(k, t) =e^−D|k|2tρ(k,˜ 0).

Avecρ(x,0) =δ(x)il suit queρ(k,˜ 0) = 1, ce qu’il m`ene `a une forme gaussienne pour la solution enk,

˜

ρ(k, t) =e^−D|k|2t.

La TF inverse de cette gaussienne a ´egalement une forme gausienne,

ρ(x, t) = e⁻

x2 4D|k|2t

(2√

πDt)³ (4)

(d) Comme~ =ρ~v =−D ~∇ρ, o `uρest donn´e par l’´eq. (4), le champ de vitesse est donn´e par

~v=−D∇ρ~ ρ

et en coordonn´ees cart´esiennes on obtient un champ de vitesse radial v(x, t) = x

2t

(e) Le Laplacien en coordonn´ees sph´eriques a la forme g´en´erale (voir exercice 3d)

∆f = ∂²f

∂r² +2 r

∂f

∂r + 1 r²

∂²f

∂θ² + cotθ∂f

∂θ + 1 sin²θ

∂²f

∂φ²

.

Pourρ≡ρ(r, t)l’´equation de diffusion a alors la forme

∂_tρ=−D ∂²ρ

∂r² +2 r

∂ρ

∂r

. et pourρ≡ρ(r)(solution stationnaire)

∂²ρ

∂r² + 2 r

∂ρ

∂r

= 0 (5)