Corrig´es exercices M´ecanique Quantique - Master Physique Espace vectoriel unitaire (I) 1. Avec

Corrig´es exercices M´ecanique Quantique - Master Physique Espace vectoriel unitaire (I)

1. Avec|vi=c|ui(c2C) on obtienthv|vi=|c|²hu|ui. Commehu|ui= 1et hv|vi= 1, il suit que|c|²= 1. La forme la plus g´en´erale pourcest

c= exp(i ), 2[0,2⇡).

Dans un espace vectoriel r´eelcdoit ˆetre r´eel etc=±1.

2. Soit{|a_ii}(i= 1,2) une base orthonorm´ee de l’espace vectoriel unitaire en deux dimensions, tel queha_i|a_ji = _ij, et soit|ui = u₁|a₁i+u₂|a₂i un vecteur norm´e,hu|ui = |u₁|² +|u₂|² = 1. Pour un vecteur |vi = v1|a1i+v2|a2i, avec|vi ?|ui, on a les conditions

hu|vi=u^⇤₁v₁+u^⇤₂v₂ = 0, hv|vi=|v₁|²+|v₂|² = 1.

Ces conditions sont v´erifi´ees si

v₁=u^⇤₂exp(i ), v₂= u^⇤₁exp(i ), 2[0,2⇡).

Par cons´equent

|vi=u^⇤₂exp(i )|a₁i u^⇤₁exp(i )|a₂i, 2[0,2⇡).

Il y a donc un nombre infini de vecteurs|vi ? |ui, car est arbitraire.

Si l’espace vectoriel est r´eel,exp(i )est r´eel si = 0ou = ⇡. Il n’y a donc que deux solutions,

|v₁i=u₂|a₁i u₁|a₂i

|v₂i= u₂|a₁i+u₁|a₂i= |v₁i.

3. (a) Par d´efinition, la base{|aii}(i= 1,2) est orthonorm´ee,hai|aji= ij. Avec ceci

hb₁|b₁i= 1

2ha₁|a₁i+ i

2ha₁|a₂i i

2ha₂|a₁i+1

2ha₂|a₂i= 1, hb₁|b₂i= 1

2ha₁|a₁i i

2ha₁|a₂i i

2ha₂|a₁i 1

2ha₂|a₂i= 0, hb2|b1i=hb2|b1i^⇤ = 0,

hb2|b2i= 1

2ha1|a1i i

2ha1|a2i+ i

2ha2|a1i+1

2ha2|a2i= 1.

La base “B” est donc orthorm´ee,hb_i|b_ji= _ij. (b) Pour la base “A”

|a₁i $a^(A)₁ = 1 0

!

, |a₂i $a^(A)₂ = 0 1

! . Pour la base “B”

|b₁i $b^(A)₁ = 0

@

p1 2 pi

2

1

A, |b₂i $b^(A)₂ = 0

@

p1 2 pi

2

1 A.

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(c)

|b1i^†$b^(A)₁ ^†=⇣

p1 2

pi 2

⌘

, |b2i^†$b^(A)₂ ^†=⇣

p1 2

pi 2

⌘ . (d) Partant de

|b1i= 1

p2|a1i+ i p2|a2i,

|b2i= 1

p2|a1i i p2|a2i. on trouve|b1i+|b2i=p

2|a1iet|b1i |b2i=p

2i|a2i, d’o `u

|a₁i= 1

p2|b₁i+ 1

p2|b₂i $a^(B)₁ = 0

@

p1 2 p1

2

1 A,

|a₂i= i

p2|b₁i+ i

p2|b₂i $a^(B)₂ = 0

@

pi 2 pi

2

1 A.

(e) On part de|b_ji= ˆU|a_ji. Avec ceci

U_ij^(A)=ha_i|Uˆ|a_ji=ha_i|b_ji.

Dans la baseAl’op´erateurUˆ est repr´esent´e par la matrice unitaire U^(A)=

0

@

p1 2

p1 2 pi

2 pi

2

1 A.

L’op´erateurUˆ mˆeme peut ˆetre ´ecrit dans la forme Uˆ =

X2 k=1

|b_kiha_k|.

(f) Avec ^(A)

| i= 1

p2|a₁i. Comme|a₁i= p¹

2|b₁i+p¹

2|b₂i(voir dessus), il suit alors que

| i= 1

2|b₁i+ 1 2|b₂i, et par cons´equent

(B)=

✓ 1/2 1/2

◆ .

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(g) Les ´el´ements deTˆdans la baseB sont T_ij^(B)=hb_i|Tˆ|b_ji=

X2 k=1

X2 l=1

hb_i|a_kiha_k|Tˆ|a_liha_l|b_ji

= X2 k=1

X2 l=1

hbi|a_kiT_kl^(A)ha_l|bji= X2 k=1

X2 l=1

U_ki^(A)⇤T_kl^(A)U_lj^(A).

Ceci montre que

T^(B)=U^(A)†T^(A)U^(A), explicitement

T^(B) = 0

@

p1 2

pi 2 p1

2 pi

2

1 A

✓ 1 0 0 1

◆0

@

p1 2

p1 2 pi

2 pi

2

1 A=

✓ 0 1 1 0

◆ .

4. (a) Tˆ^†est donn´e par

Tˆ^†={hu|}^†{|ui}^†=|uihu|= ˆT .

L’op´erateurTˆest donc hermitien.

(b) Pour queTˆsoit un projecteur, il faut que

Tˆ² =|uihu|uihu|=k|uik²Tˆ = ˆT .

Tˆest un projecteur sik|uik²= 1.

(c) Les valeurs et vecteurs propres d’un projecteurPˆsont d´efinis par la relationPˆ|⌘_ji= _j|⌘_ji. Application dePˆpar la gauche donne

Pˆ²|⌘_ji= _jPˆ|⌘_ji= ²_j|⌘_ji.

D’autre part,Pˆ²= ˆPetPˆ²|⌘ji= ˆP|⌘ji= j|⌘ji. Par cons´equent

2j = _j ) j = 0ou j = 1.

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