Corrig´e partiel M´ecanique Quantique, Master E&M, parcours Physique (/20)
22/11/2010. Documents autoris´es : notes de cours et de TD
Excercice 1 : Spin1/2~ 10 points
1. Dans le cours nous avons vu que
hS(t)i=D(n, ωLt)hS(0)i,
o `uncontient les composantes du vecteur d’unit´e en direction du champ magn´etique dans lequel le spin pr´ec`ede etωLest la pulsation de de pr´ecession. IciB~ =B~ez etn= (0,0,1)T. Pour quehS(t)ireste dans le planx−y, cette condition doit ˆetre v´erifi´ee pourt= 0, i.e.hSz(0)i ≡0. Par cons´equent
χ(0)†σzχ(0) = 0.
Si l’on pose
χ(0) =aχz++bχz− = a
b
, |a|2+|b|2 = 1,
la conditionhSz(0)i ≡0devient
|a|2 =|b|2 2. On construit le vecteurhS(0)ipar
hS(0)i= ~ 2
χ(0)†σxχ(0) χ(0)†σyχ(0) χ(0)†σzχ(0)
= ~ 2
ba∗+ab∗
−iba∗+iab∗ 0
CommeB~ =B~ex, on a
hS(t)i=D(ex, ωLt)hS(0)i, o `uD(ex, ωLt)d´ecrit une rotation autour de~ex :
D(ex, ωLt) =
1 0 0
0 cos(ωLt) −sin(ωLt) 0 sin(ωLt) cos(ωLt)
.
Avec ceci
hS(t)i= ~ 2
ba∗+ab∗
(−iba∗+iab∗) cos(ωLt) (−iba∗ +iab∗) sin(ωLt)
Excercice 2 : Espace de Hilbert 10 points 1. Dans la baseB les op´erateurssˆx,y,zprennent la forme
hvi|ˆsx|vji
| {z }
s0z,ij
=
2
X
k,l=1
hvi|uki huk|ˆsx|uli
| {z }
sz,kl
hul|vji,
hvi|ˆsy|vji
| {z }
s0z,ij
=
2
X
k,l=1
hvi|uki huk|ˆsy|uli
| {z }
sz,kl
hul|vji,
hvi|ˆsz|vji
| {z }
s0z,ij
=
2
X
k,l=1
hvi|uki huk|ˆsz|uli
| {z }
sz,kl
hul|vji.
Avec la d´efinition
U:= (hui|vji) =
√1 2
√i i 2
√ 2
√1 2
! ,
et les matrices de Pauli introduites en cours, σx =
0 1 1 0
, σy =
0 −i
i 0
, σz =
1 0 0 −1
,
on obtient
s0x =U†sxU= ~ 2
0 1 1 0
,
s0y =U†syU= ~ 2
1 0 0 −1
,
s0z =U†szU= ~ 2
0 i
−i 0
.
2. Utilisant la matriceUon ´ecrit hvi|vji=
2
X
l=1
hvi|ulihul|vji=
2
X
l=1
Uli∗Ulj =δij,
carU†U=1.
3. Avec la d´efinition de l’op´erateurUˆ on ´ecrit
Uij(A) =hui|Uˆ|uji=hui|vji=Uij.
D’une mani`ere similaire Uij(B) =hvi|Uˆ|vji=
2
X
k,l=1
hvi|uki
| {z }
{Uki(A)}∗
huk|Uˆ|uli
| {z }
Ukl(A)
hul|vji
| {z }
Ulj(A)
=
2
X
l=1
δilUlj(A) =Uij(A).
Avec ceci
U(A) =U,
U(B) =U(A,†)·U(A)·U(A) =U(A) =U.
3
