M2 – Parcours de Physique Quantique

(1)

Universit´ es Paris 6 & Paris-Sud, ´ Ecole Normale Sup´ erieure, ´ Ecole Polytechnique.

M2 – Parcours de Physique Quantique

Physique statistique hors ´ equilibre - examen

Mercredi 17 d´ ecembre 2008

R´ ediger les deux probl` emes sur des copies S´ EPAR´ EES.

Probl` eme 1 : un probl` eme avec le th´ eor` eme H ?

On s’int´ eresse ` a un gaz d’atomes de masse m, pi´ eg´ es dans un potentiel harmonique U (x, y, z) = 1

2 mω ² (x ² + y ² + z ² ). (1)

Les atomes se trouvent dans un r´ egime suffisamment dilu´ e, et interagissent ainsi par un potentiel de paire, qui n’est pas pr´ ecis´ e (on n´ eglige les interactions ` a 3 corps ou plus). On ne fera intervenir aucune notion de statistique quantique ici, et la dynamique de la fonction de distribution ` a un point f (~ r, ~ v, t) est d´ ecrite par une ´ equation de Boltzmann classique, de la forme :

∂f (~ r, ~ v 1 , t)

∂t + ~ v 1 · (· · · ) + (· · · ) = Z

d~ v 2 dΩ ⁰ |~ v 1 − ~ v 2 |[f ₁ ⁰ f ₂ ⁰ − f 1 f 2 ] σ, (2) o` u σ est la section efficace diff´ erentielle de collision, qui d´ epend de l’angle solide Ω ⁰ et de la vitesse relative |~ v 1 − ~ v 2 |. Conform´ ement aux notations standard, f i d´ esigne f (~ r, ~ v i , t) et les fonctions prim´ ees ont pour argument les vitesses post-collisionnelles. Les collisions sont suppos´ ees

´

elastiques.

Pr´ eliminaires

1/ Rappeler succinctement les hypoth` eses importantes sous-tendant l’obtention de l’´ equation de Boltzmann.

2/ Expliciter le membre de gauche de (2), associ´ e au transport libre, dans le cas pr´ esent d’un confinement harmonique.

3/ A l’´ equilibre thermodynamique, quelle est l’expression de la fonction de distribution f ₀ (~ r, ~ v) ? Montrer qu’il s’agit bien d’une solution de l’´ equation (2).

Le mode de respiration

Nous allons dans ce qui suit construire des solutions exactes de l’´ equation de Boltzmann (2), solutions que l’on cherche sous la forme d’un ansatz gaussien :

f (~ r, ~ v, t) = N exp

−α(t) r ² − β(t) v ² − γ(t) ~ r · ~ v (3) Les fonctions inconnues α, β et γ d´ ependent du temps ; N est un facteur de normalisation (constant).

4/ Montrer que la quantit´ e 4αβ − γ ² est constante. Le cas ´ ech´ eant, pr´ eciser les signes de α, β et γ .

5/ Quels ingr´ edients assurent-ils que la solution (3) annule le terme de collision dans l’´ equation de Boltzmann ? Cette propri´ et´ e d´ epend t-elle de la section efficace ?

6/ Le r´ esultat pr´ ec´ edent assure que (3) est une solution de l’´ equation de Boltzmann d` es lors que la fonction f annule l’op´ erateur du mouvement libre. Montrer que cela se traduit par le syst` eme

dα

dt = ω ² γ ; dβ

dt = −γ ; dγ

dt = a(ω ² β − α) (4)

o` u a est une constante que l’on pr´ ecisera.

(2)

7/ En d´ eduire le caract` ere p´ eriodique des fonctions α, β et γ . Quelle en est la pulsation ? Comment ´ evolue le rayon quadratique moyen hr ² i ? Pourquoi la solution correspondante peut- elle ˆ etre qualifi´ ee de mode de respiration ? On parle de mode monopolaire.

8/ Montrer que la seule solution ` a γ constant est la solution d’´ equilibre thermodynamique.

Temps de vol et corr´ elations position-vitesse

Dans les questions 9 et 10, on consid` ere une situation nouvelle, et on se propose de montrer que si le confinement est brutalement coup´ e, la forme (3) permet encore de trouver une solution exacte au probl` eme.

9/ Quelles sont les d´ ependances temporelles de α, β et γ mises en jeu ?

10/ En d´ eduire l’´ evolution du rayon quadratique moyen hr ² i. Montrer qu’une mesure exp´ eri- mentale fine de ce rayon donne acc` es au couplage position-vitesse dans l’´ etat initial (juste avant l’arrˆ et du potentiel confinant).

Facultatif : prolongements ; discussion

11/ (Difficile) Les solutions exactes que nous avons exhib´ ees violent-t-elles le th´ eor` eme H ? En pr´ eambule, on pourra montrer que le th´ eor` eme H vu en cours dans le cas d’un milieu homog` ene se transpose au cas inhomog` ene.

12/ (Plus facile) Montrer qu’en toute g´ en´ eralit´ e, il existe un mode d’oscillation du centre de masse dans un tel syst` eme (on suppose ici le confinement op´ erationnel). On parle de mode dipolaire. Comparer sa pulsation ` a celle du mode monopolaire. Retrouver ce r´ esultat par un argument heuristique.

13/ (Plus difficile et plus chronophage, mais bien r´ emun´ er´ e) Est-il possible de trouver des solutions exactes de l’´ equation de Boltzmann, dans l’esprit de celles qui pr´ ec` edent, lorsque le potentiel de confinement n’est plus harmonique ?

14/ (Plus facile) Sch´ ematiquement, comment la fr´ equence moyenne de collision d´ epend t-elle de la temp´ erature ? On pourra supposer la section efficace diff´ erentielle constante. Comment ce r´ esultat se compare t-il ` a celui que l’on obtiendrait dans un syst` eme homog` ene, en l’absence de confinement ?

R´ ef´ erence : D. Gu´ ery-Odelin, habilitation ` a diriger des recherches (2005), disponible sur www.coldatomsintoulouse.com/dgo/index.html

Probl` eme 2 : Compressibilit´ e des fermions charg´ es - plasmons

Nous analysons la compressibilit´ e d’un liquide d’´ electrons dans un m´ etal. Dans un premier temps nous ´ etudions la compressibilit´ e χ ₀ du gaz de fermions sans interaction. Celle-ci sera prise en compte dans un second temps, ` a l’approximation RPA.

Le gaz de Fermi.– Nous nous pla¸ cons dans le cadre du mod` ele des ´ electrons libres (dans l’espace tridimensionnel) : ˆ H ₀ = _2m ¹ P

i ~ p ˆ _i ² = P

~ k _~ _k ˆ c _~ ^†

k c ˆ _~ _k o` u ˆ c _~ ^†

k et ˆ c _~ _k sont les op´ erateurs cr´ eation et annihilation de fermions dans les ´ etats individuels φ _~ _k (~ r) = ^√ ¹

V e ⁱ ^~ ^k·~ ^r d’´ energie _~ _k = _2m ^~ ^k

²

(on fera

~ = 1) ; V d´ esigne le volume occup´ e par les fermions. L’´ etat fondamental du gaz de fermions est une mer de Fermi : | Fermi Sea i = | all φ _~ _k with || ~ k|| < k _F occupied i. En pratique l’´ energie de Fermi _F = _2m ¹ k _F ² est beaucoup plus grande que la temp´ erature et nous pouvons consid´ erer que le syst` eme est ` a temp´ erature nulle (gaz d´ eg´ en´ er´ e). Nous rappelons que la densit´ e des ´ etats individuels par unit´ e de volume, mesur´ ee ` a l’´ energie de Fermi est ρ ₀ ≡ ρ( _F ) = _V ¹ P

~ k δ( _F − _~ _k ) =

mk

F

2π

²

. La densit´ e d’´ electrons ` a T = 0 est donc n = R

F

0 d ρ() = k _F ³ /(6π ² ) (nous omettons la d´ eg´ en´ erescence de spin).

2

(3)

Compressibilit´ e dynamique.– La compressibilit´ e caract´ erise la r´ eponse de la densit´ e ` a une perturbation scalaire

H ˆ _pert (t) = + Z

d~ r n(~ ˆ r) U ^pert (~ r, t) = 1 V

X

~ q

ˆ

n −~ q U _~ _q ^pert (t) . (5)

La composante de Fourier de la compressibilit´ e dynamique est d´ efinie comme h n ˆ _~ _q (t)i _U

pert

= n V δ _~ _q,0 +

Z

dt ⁰ χ _~ _q (t − t ⁰ ) U _~ _q ^pert (t ⁰ ) + O[(U ^pert ) ² ] , (6) o` u h· · ·i _U

pert

d´ esigne la moyenne quantique et statistique en pr´ esence de la perturbation.

1. Question de cours : compressibilit´ e du gaz de fermions sans interaction.

a. Exprimer χ _~ _q (t) comme une fonction de corr´ elation du probl` eme ` a l’´ equilibre.

b. Montrer que la transform´ ee de Fourier χ 0 (~ q, ω)

^def

= R +∞

−∞ dt χ _~ _q (t) e ^iωt est donn´ ee par χ 0 (~ q, ω) = 1

V X

~ k

f ( _~ _k ) − f ( _~ _k+~ _q )

ω + _~ _k − _~ _k+~ _q + i0 ⁺ , (7) o` u f ( _~ _k ) est la distribution de Fermi-Dirac. Interpr´ eter physiquement la position des pˆ oles.

Indications :

• On rappelle l’expression de la composante de Fourier de la densit´ e : ˆ n

_~_q

= P

i

e

^−i~^q·^~^ˆ^rⁱ

= P

~k

c ˆ

_~^†

k

ˆ c

_~_k+~_q

o` u ˆ ~ r

i

est l’op´ erateur position de la particule i.

• cf. annexe.

2/ D´ eveloppement ` a q → 0 et ω finie.– Afin d’´ etudier cette limite, nous faisons deux approximations dans l’´ eq. (7) :

(i) si q k F nous pouvons n´ egliger le terme en q ² dans _~ _k+~ _q − _~ _k ' _m ¹ ~ k · ~ q.

(ii) Le gaz peut ˆ etre consid´ er´ e d´ eg´ en´ er´ e, donc − ^∂f() _∂ ' δ( − F ).

a. Pour q k F , montrer que

χ 0 (~ q, ω) ' ρ ₀ 2v F q

Z +v

F

q

−v

_F

q

dΩ Ω

ω − Ω + i0 ⁺ , (8)

o` u q ≡ ||~ q|| et v F

def

= k F /m est la vitesse de Fermi.

b. D´ eduire que : χ 0 (~ q → 0, ω) ' ρ 0

a 1 ( _ω ^q ) ² + a 2 ( _ω ^q ) ⁴

et donner les expressions de a 1 et a 2 . 3/ Compressibilit´ e des fermions en interaction ` a l’approximation RPA.– Nous consid´ e- rons maintenant le liquide de fermions charg´ es. On peut montrer que la compressibilit´ e prenant en compte l’effet de l’interaction entre ´ electrons ` a l’approximation RPA est reli´ ee ` a la compres- sibilit´ e du gaz sans interaction par

χ RPA (~ q, ω) = χ ₀ (~ q, ω) 1 − ^κ _~ _q

²₂

_ρ ¹

0

χ ₀ (~ q, ω) , (9)

o` u κ

^def

= p

4πe ² ρ 0 est l’inverse de la longueur d’´ ecrantage de Thomas-Fermi (la port´ ee du potentiel

de Coulomb ´ ecrant´ e dans le m´ etal). e est la charge de l’´ electron en unit´ e CGS (cf. annexe).

(4)

a. Montrer que la susceptibilit´ e pr´ esente la structure χ _RPA (~ q, ω) ∝ _ω

₂

_−[Ω ^q

²

p

(q)]

²

. Quelle est l’ex- pression de Ω _p (q) ? Quelle interpr´ etation physique pouvez-vous donner ` a cette divergence ? b. La divergence de χ _RPA (~ q, ω) se produit-elle pour ω ∈ R ? Comment corriger le r´ esultat obtenu ? A quel principe ce probl` ` eme est-il li´ e ?

c. Montrer que Ω p (q → 0) ' ω p + _2m ¹

∗

p

q ² . Exprimer ω p en fonction de v F et κ, puis v´ erifier que ω _p ∝ _k ^κ

F

_F et pr´ eciser la constante de proportionalit´ e. Montrer que m ^∗ _p ∝ _k ^κ

F

m et donner le pr´ efacteur adimensionn´ e.

d. V´ erifier que pour q assez grand, χ ₀ (~ q, ω) acquiert une partie imaginaire et donner son ex- pression. Quelle est la cons´ equence physique (pour les excitations du liquide d’´ electrons en interaction) ?

e. AN : Dans l’aluminium, k _F ⁻¹ = 0.57 ˚ A et _F = 11.7 eV (Ashcroft & Mermin). La densit´ e d’´ etats vaut ρ ₀ = 20 eV ⁻¹ nm ⁻³ (avec d´ eg´ en´ erescence de spin). D´ eduire κ ⁻¹ puis ~ ω _p (en eV).

Exp´ erience : Dans une exp´ erience r´ ealis´ ee en 1962, Marton et al ¹ ont envoy´ e un faisceau d’´ electrons de haute ´ energie (20keV) sur une feuille d’Aluminium. L’intensit´ e du pic de diffusion vers l’avant est repr´ esent´ ee sur la figure en fonction de l’´ energie perdue par ces ´ electrons lors de la travers´ ee du m´ etal (en unit´ e de ∆E = 14.8 eV). Interpr´ eter les diff´ erents pics.

Figure 1 – Diffusion vers l’avant d’´ electrons de haute ´ energie (20 keV) sur une feuille d’Alu- minium. Intensit´ e du faisceau en fonction de l’´ energie perdue par ces ´ electrons ; ∆E = 14.8 eV.

Annexe :

• Convention pour la transform´ ee de Fourier : f ˆ

_~_q^def

= R

V

d~ r f (~ r) e

^−i~^q·~^r

et donc f (~ r) =

_V¹

P

~

q

f ˆ

_~_q

e

^i~^q·~^r

.

• Rappel de seconde quantification.– Soit ˆ A = P

i

ˆ a

i

et ˆ B = P

i

ˆ b

i

deux op´ erateurs sommes d’op´ erateurs ` a une particule (par exemple l’impulsion totale). On rappelle que la moyenne grand cano- nique du commutateur s’exprime comme une trace d’op´ erateurs dans l’espace de Hilbert ` a une particule

h[ ˆ A, B]i ˆ = tr n

f (ˆ h) [ˆ a, ˆ b] o

(10) o` u ˆ h est l’hamiltonien d’une particule. f () est la distribution de Fermi-Dirac pour des fermions (ou de Bose-Einstein pour des bosons).

Cette relation peut ˆ etre retrouv´ ee en utilisant la relation de commutation

c

^†_α

c

_β

, c

^†_µ

c

_ν

= δ

_βµ

c

^†_α

c

_ν

− δ

αν

c

^†_µ

c

β

, o` u c

^†_α

et c

α

sont les op´ erateurs de cr´ eation et annihilation.

• On rappelle que ~ = 10

⁻³⁴

J.s et q

e

= 1.6 10

⁻¹⁹

C. La charge de l’´ electron e dans le syst` eme CGS est donn´ ee par e

²

≡

_4π^q²^e

0

' 1.44 eV.nm.

1. L. Marton, J. Arol Simpson, H. A. Fowler & N. Swanson, Plural Scattering of 20-keV electrons in Aluminium, Phys. Rev. 126, p. 182 (1962).

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(7)

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Universit´ es Paris 6 & Paris-Sud, ´ Ecole Normale Sup´ erieure, ´ Ecole Polytechnique.

M2 – Parcours de Physique Quantique

Physique statistique hors ´ equilibre - examen

Mercredi 17 d´ ecembre 2008

R´ ediger les deux probl` emes sur des copies S´ EPAR´ EES.

Probl` eme 1 : un probl` eme avec le th´ eor` eme H ?

On s’int´ eresse ` a un gaz d’atomes de masse m, pi´ eg´ es dans un potentiel harmonique U (x, y, z) = 1

2 mω 2 (x 2 + y 2 + z 2 ). (1)

∂f (~ r, ~ v 1 , t)

∂t + ~ v 1 · (· · · ) + (· · · ) = Z

´

elastiques.

Pr´ eliminaires

1/ Rappeler succinctement les hypoth` eses importantes sous-tendant l’obtention de l’´ equation de Boltzmann.

2/ Expliciter le membre de gauche de (2), associ´ e au transport libre, dans le cas pr´ esent d’un confinement harmonique.

3/ A l’´ equilibre thermodynamique, quelle est l’expression de la fonction de distribution f 0 (~ r, ~ v) ? Montrer qu’il s’agit bien d’une solution de l’´ equation (2).

Le mode de respiration

Nous allons dans ce qui suit construire des solutions exactes de l’´ equation de Boltzmann (2), solutions que l’on cherche sous la forme d’un ansatz gaussien :

f (~ r, ~ v, t) = N exp

−α(t) r 2 − β(t) v 2 − γ(t) ~ r · ~ v (3) Les fonctions inconnues α, β et γ d´ ependent du temps ; N est un facteur de normalisation (constant).

4/ Montrer que la quantit´ e 4αβ − γ 2 est constante. Le cas ´ ech´ eant, pr´ eciser les signes de α, β et γ .

5/ Quels ingr´ edients assurent-ils que la solution (3) annule le terme de collision dans l’´ equation de Boltzmann ? Cette propri´ et´ e d´ epend t-elle de la section efficace ?

6/ Le r´ esultat pr´ ec´ edent assure que (3) est une solution de l’´ equation de Boltzmann d` es lors que la fonction f annule l’op´ erateur du mouvement libre. Montrer que cela se traduit par le syst` eme

dα

dt = ω 2 γ ; dβ

dt = −γ ; dγ

dt = a(ω 2 β − α) (4)

o` u a est une constante que l’on pr´ ecisera.

7/ En d´ eduire le caract` ere p´ eriodique des fonctions α, β et γ . Quelle en est la pulsation ? Comment ´ evolue le rayon quadratique moyen hr 2 i ? Pourquoi la solution correspondante peut- elle ˆ etre qualifi´ ee de mode de respiration ? On parle de mode monopolaire.

8/ Montrer que la seule solution ` a γ constant est la solution d’´ equilibre thermodynamique.

Temps de vol et corr´ elations position-vitesse

Dans les questions 9 et 10, on consid` ere une situation nouvelle, et on se propose de montrer que si le confinement est brutalement coup´ e, la forme (3) permet encore de trouver une solution exacte au probl` eme.

9/ Quelles sont les d´ ependances temporelles de α, β et γ mises en jeu ?

10/ En d´ eduire l’´ evolution du rayon quadratique moyen hr 2 i. Montrer qu’une mesure exp´ eri- mentale fine de ce rayon donne acc` es au couplage position-vitesse dans l’´ etat initial (juste avant l’arrˆ et du potentiel confinant).

Facultatif : prolongements ; discussion

11/ (Difficile) Les solutions exactes que nous avons exhib´ ees violent-t-elles le th´ eor` eme H ? En pr´ eambule, on pourra montrer que le th´ eor` eme H vu en cours dans le cas d’un milieu homog` ene se transpose au cas inhomog` ene.

13/ (Plus difficile et plus chronophage, mais bien r´ emun´ er´ e) Est-il possible de trouver des solutions exactes de l’´ equation de Boltzmann, dans l’esprit de celles qui pr´ ec` edent, lorsque le potentiel de confinement n’est plus harmonique ?

R´ ef´ erence : D. Gu´ ery-Odelin, habilitation ` a diriger des recherches (2005), disponible sur www.coldatomsintoulouse.com/dgo/index.html

Probl` eme 2 : Compressibilit´ e des fermions charg´ es - plasmons

Nous analysons la compressibilit´ e d’un liquide d’´ electrons dans un m´ etal. Dans un premier temps nous ´ etudions la compressibilit´ e χ 0 du gaz de fermions sans interaction. Celle-ci sera prise en compte dans un second temps, ` a l’approximation RPA.

Le gaz de Fermi.– Nous nous pla¸ cons dans le cadre du mod` ele des ´ electrons libres (dans l’espace tridimensionnel) : ˆ H 0 = 2m 1 P

i ~ p ˆ i 2 = P

~ k ~ k ˆ c ~ †

k c ˆ ~ k o` u ˆ c ~ †

k et ˆ c ~ k sont les op´ erateurs cr´ eation et annihilation de fermions dans les ´ etats individuels φ ~ k (~ r) = √ 1

V e i ~ k·~ r d’´ energie ~ k = 2m ~ k

(on fera

~ k δ( F − ~ k ) =

mk

2π

. La densit´ e d’´ electrons ` a T = 0 est donc n = R

0 d ρ() = k F 3 /(6π 2 ) (nous omettons la d´ eg´ en´ erescence de spin).

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Compressibilit´ e dynamique.– La compressibilit´ e caract´ erise la r´ eponse de la densit´ e ` a une perturbation scalaire

H ˆ pert (t) = + Z

d~ r n(~ ˆ r) U pert (~ r, t) = 1 V

X

~ q

ˆ

n −~ q U ~ q pert (t) . (5)

La composante de Fourier de la compressibilit´ e dynamique est d´ efinie comme h n ˆ ~ q (t)i U

= n V δ ~ q,0 +

Z

dt 0 χ ~ q (t − t 0 ) U ~ q pert (t 0 ) + O[(U pert ) 2 ] , (6) o` u h· · ·i U

d´ esigne la moyenne quantique et statistique en pr´ esence de la perturbation.

1. Question de cours : compressibilit´ e du gaz de fermions sans interaction.

a. Exprimer χ ~ q (t) comme une fonction de corr´ elation du probl` eme ` a l’´ equilibre.

b. Montrer que la transform´ ee de Fourier χ 0 (~ q, ω)

= R +∞

−∞ dt χ ~ q (t) e iωt est donn´ ee par χ 0 (~ q, ω) = 1

V X

~ k

f ( ~ k ) − f ( ~ k+~ q )

ω + ~ k − ~ k+~ q + i0 + , (7) o` u f ( ~ k ) est la distribution de Fermi-Dirac. Interpr´ eter physiquement la position des pˆ oles.

Indications :

• On rappelle l’expression de la composante de Fourier de la densit´ e : ˆ n

= P

e

= P

2 mω ² (x ² + y ² + z ² ). (1)

3/ A l’´ equilibre thermodynamique, quelle est l’expression de la fonction de distribution f ₀ (~ r, ~ v) ? Montrer qu’il s’agit bien d’une solution de l’´ equation (2).

−α(t) r ² − β(t) v ² − γ(t) ~ r · ~ v (3) Les fonctions inconnues α, β et γ d´ ependent du temps ; N est un facteur de normalisation (constant).

4/ Montrer que la quantit´ e 4αβ − γ ² est constante. Le cas ´ ech´ eant, pr´ eciser les signes de α, β et γ .

dt = ω ² γ ; dβ

dt = a(ω ² β − α) (4)

7/ En d´ eduire le caract` ere p´ eriodique des fonctions α, β et γ . Quelle en est la pulsation ? Comment ´ evolue le rayon quadratique moyen hr ² i ? Pourquoi la solution correspondante peut- elle ˆ etre qualifi´ ee de mode de respiration ? On parle de mode monopolaire.

10/ En d´ eduire l’´ evolution du rayon quadratique moyen hr ² i. Montrer qu’une mesure exp´ eri- mentale fine de ce rayon donne acc` es au couplage position-vitesse dans l’´ etat initial (juste avant l’arrˆ et du potentiel confinant).

Nous analysons la compressibilit´ e d’un liquide d’´ electrons dans un m´ etal. Dans un premier temps nous ´ etudions la compressibilit´ e χ ₀ du gaz de fermions sans interaction. Celle-ci sera prise en compte dans un second temps, ` a l’approximation RPA.

Le gaz de Fermi.– Nous nous pla¸ cons dans le cadre du mod` ele des ´ electrons libres (dans l’espace tridimensionnel) : ˆ H ₀ = _2m ¹ P

i ~ p ˆ _i ² = P

~ k _~ _k ˆ c _~ ^†

k c ˆ _~ _k o` u ˆ c _~ ^†

k et ˆ c _~ _k sont les op´ erateurs cr´ eation et annihilation de fermions dans les ´ etats individuels φ _~ _k (~ r) = ^√ ¹

V e ⁱ ^~ ^k·~ ^r d’´ energie _~ _k = _2m ^~ ^k

~ k δ( _F − _~ _k ) =

0 d ρ() = k _F ³ /(6π ² ) (nous omettons la d´ eg´ en´ erescence de spin).

H ˆ _pert (t) = + Z

d~ r n(~ ˆ r) U ^pert (~ r, t) = 1 V

n −~ q U _~ _q ^pert (t) . (5)

La composante de Fourier de la compressibilit´ e dynamique est d´ efinie comme h n ˆ _~ _q (t)i _U

= n V δ _~ _q,0 +

dt ⁰ χ _~ _q (t − t ⁰ ) U _~ _q ^pert (t ⁰ ) + O[(U ^pert ) ² ] , (6) o` u h· · ·i _U

a. Exprimer χ _~ _q (t) comme une fonction de corr´ elation du probl` eme ` a l’´ equilibre.

−∞ dt χ _~ _q (t) e ^iωt est donn´ ee par χ 0 (~ q, ω) = 1

f ( _~ _k ) − f ( _~ _k+~ _q )

ω + _~ _k − _~ _k+~ _q + i0 ⁺ , (7) o` u f ( _~ _k ) est la distribution de Fermi-Dirac. Interpr´ eter physiquement la position des pˆ oles.

(i) si q k F nous pouvons n´ egliger le terme en q ² dans _~ _k+~ _q − _~ _k ' _m ¹ ~ k · ~ q.

(ii) Le gaz peut ˆ etre consid´ er´ e d´ eg´ en´ er´ e, donc − ^∂f() _∂ ' δ( − F ).

χ 0 (~ q, ω) ' ρ ₀ 2v F q

ω − Ω + i0 ⁺ , (8)

a 1 ( _ω ^q ) ² + a 2 ( _ω ^q ) ⁴

χ RPA (~ q, ω) = χ ₀ (~ q, ω) 1 − ^κ _~ _q

_ρ ¹

χ ₀ (~ q, ω) , (9)

4πe ² ρ 0 est l’inverse de la longueur d’´ ecrantage de Thomas-Fermi (la port´ ee du potentiel

a. Montrer que la susceptibilit´ e pr´ esente la structure χ _RPA (~ q, ω) ∝ _ω

_−[Ω ^q

. Quelle est l’ex- pression de Ω _p (q) ? Quelle interpr´ etation physique pouvez-vous donner ` a cette divergence ? b. La divergence de χ _RPA (~ q, ω) se produit-elle pour ω ∈ R ? Comment corriger le r´ esultat obtenu ? A quel principe ce probl` ` eme est-il li´ e ?

c. Montrer que Ω p (q → 0) ' ω p + _2m ¹

q ² . Exprimer ω p en fonction de v F et κ, puis v´ erifier que ω _p ∝ _k ^κ

_F et pr´ eciser la constante de proportionalit´ e. Montrer que m ^∗ _p ∝ _k ^κ

d. V´ erifier que pour q assez grand, χ ₀ (~ q, ω) acquiert une partie imaginaire et donner son ex- pression. Quelle est la cons´ equence physique (pour les excitations du liquide d’´ electrons en interaction) ?

e. AN : Dans l’aluminium, k _F ⁻¹ = 0.57 ˚ A et _F = 11.7 eV (Ashcroft & Mermin). La densit´ e d’´ etats vaut ρ ₀ = 20 eV ⁻¹ nm ⁻³ (avec d´ eg´ en´ erescence de spin). D´ eduire κ ⁻¹ puis ~ ω _p (en eV).