Dans un exercice, on pourra utiliser les r´esultats des questions pr´ec´edentes mˆeme si celles- ci n’ont pas ´et´e trait´ees

Universit´e de Cergy-Pontoise, Math´ematiques L2 int´egration.

Examen (3h.).

Information g´en´erale.

Les documents, t´el´ephones, tablettes et calculettes sont interdits.

L’examen comporte deux exercices sur 4 et 5 points respectivement et un probl`eme sur 39 points, soit un total de 48 points, dont 8 points hors bar`eme, pour une note sur 20. Ce bar`eme est indicatif.

On rappelle que, sauf mention contraire explicite, toute r´eponse devra ˆetre justifi´ee. Des r´eponses correctes mal justifi´ees peuvent certes rapporter des points mais pas le maximum.

Dans un exercice, on pourra utiliser les r´esultats des questions pr´ec´edentes mˆeme si celles- ci n’ont pas ´et´e trait´ees. Dans le probl`eme, toute question peut ˆetre trait´ee en premier.

Son traitement n´ecessite ´eventuellement les r´esultats de questions pr´ec´edentes mais pas la preuve de ses r´esultats. Certaines questions du probl`eme sont ind´ependantes des autres parties voire mˆeme des autres questions.

Dans le probl`eme, les questions ou parties commen¸cant par “(*)“ sont consid´er´ees comme difficiles. Les questions commen¸cant par “(**)“ sont consid´er´ees comme tr`es difficiles.

Toujours dans le probl`eme, un paragraphe intitul´e ”Rappels“ fournit des d´efinitions et des r´esultats que l’on peut utiliser sans red´emonstration.

D´ebut de l’´epreuve.

Exercice 1. : (4 pts). Pour z ≥ 0, on note par D_z le disque du plan de centre (0; 0) et de rayon z. Soit C={(x;y;z)∈R³;z ∈[1; 3],(x;y)∈D_z}.

1. Donner sans justification le jacobien J_F(r;θ) du changement de variables en co- ordonn´ees polaires donn´e par F(r;θ) = (rcosθ;rsinθ) pour r∈R⁺ et θ ∈[0; 2π].

2. Montrer que le volume V deC v´erifie V =

Z 3

1

ZZ

Dz

dxdy

dz . (1)

3. CalculerV.

Exercice 2. :(5 pts). Soit Ω ={(x;y)∈R²;x≥0, y ≥0, x+y≤1}. Soitγ : [0; 3]−→R² la courbe param´etr´eeC¹ par morceaux d´efinie par γ(t) = (x(t);y(t)) avec

x(t) = t et y(t) = 0 si t∈[0; 1], x(t) = 2−t et y(t) = t−1 si t∈[1; 2], x(t) = 0 et y(t) = 3−t si t∈[2; 3].

Soit ω = P dx+Qdy une forme diff´erentielle C¹ sur R² donn´ee par P(x;y) = e^y et Q(x;y) =x²y.

1. Calculer l’int´egrale double K = ZZ

Ω

2xy − e^y dxdy.

2. Donner la d´efinition de L= Z

γ

ω.

3. CalculerL. Indication : on pourra utiliser la formule de Green-Riemann.

Probl`eme.

L’objectif du probl`eme est de montrer que la fonctionF d´efinie sur R par F(x) =

Z 1

−1

e^itxcos(tπ/2)dt (2)

est int´egrable surR et que son int´egrale vaut 2πcos(0×π/2) = 2π.

Rappels : On pourra utiliser sans d´emonstration les faits suivants.

Pour tout nombre complexe a, la fonction ϕ_a : R −→ C d´efinie par ϕ_a(t) = e^at est d´erivable et, pour toutt,ϕ⁰_a(t) =ae^at.

Une fonction f :R−→R est dite paire si, pour toutx∈ R, f(−x) =f(x). Une fonction f :R−→R est dite impaire si, pour tout x∈R,f(−x) =−f(x).

On note par Arctan la bijection r´eciproque de la fonction tangente tan :]−π/2;π/2[−→R. Arctan est impaire, strictement positive sur ]0; +∞[ et v´erifie lim

+∞Arctan =π/2.

Partie I. : ´Etude de la fonction F. (10 pts).

1. Majorations de la fonction F.

a. V´erifier que F est bien d´efinie par (2) et que, pour toutx∈R, |F(x)| ≤2.

b. Montrer que, pour x >0,

|F(x)| ≤ π x²

1 + π

2

. (3)

Indication :on pourra effectuer deux int´egrations par parties puis majorer.

c. En d´eduire la convergence absolue de Z +∞

1

F(x)dx . (4)

2. Montrer que F est continue surR.

3. Montrer que F est paire, c’est-`a-dire que, pour toutx∈R, F(−x) = F(x).

Indication : on pourra effectuer un changement de variables.

4. En d´eduire que Z +∞

−∞

F(x)dx converge absolument.

Partie II. : Fonctions particuli`eres. (8 pts).

Pour λ >0, on consid`ere la fonction positive et paire g_λ :R−→R d´efinie par g_λ(t) = λ

2Arctanλ · 1

1 +t²λ² ≥ 0. (5)

1. Montrer la convergence de

Z +∞

0

1

1 +y² dy . (6)

2. Soitλ >0. V´erifier que Z 1

−1

gλ(t)dt = 1.

3. Soitc∈]0; 1[.

a. Pour λ >0, v´erifier que Z −c

−1

g_λ(t)dt = Z 1

c

g_λ(t)dt . (7)

b. (*) Montrer que

λ→+∞lim Z −c

−1

gλ(t)dt = 0 = lim

λ→+∞

Z 1

c

gλ(t)dt . (8) 4. (**) Montrer que

λ→+∞lim Z 1

−1

cos(tπ/2)g_λ(t)dt = cos(0×π/2) = 1. (9) Indication : on pourra utiliser la continuit´e en 0 de t 7→cos(tπ/2).

Partie III. : (*) Calcul de l’int´egrale sur R de F. (17 pts).

1. Soitλ >0 et t∈[−1; 1].

a. Montrer la convergence absolue de I_λ(t) =

Z +∞

−∞

e^−|x|λ e^itxdx . (10) b. V´erifier toutes les ´egalit´es suivantes :

I_λ(t) = 1

(1/λ) +it + 1

(1/λ)−it = 2λ

1 +t²λ² = (4Arctanλ)g_λ(t). (11) Indication :on pourra utiliser un calcul explicite de

Z X

0

e^−|x|λ e^itxdx, pourX >0.

2. a. Soit λ >0. Montrer la convergence absolue de J_λ =

Z +∞

−∞

e^−|x|λ F(x)dx . (12)

b. Montrer que lim

λ→+∞J_λ = Z

R

F.

3. Soitλ >0. On va ´etablir l’expression suivante deJλ : J_λ = (4Arctanλ)

Z 1

−1

cos(tπ/2)g_λ(t)dt . (13) a. Expliquer pourquoi

J_λ = lim

n→∞

Z n

−n

e^−|x|λ F(x)dx . (14) b. Soit n∈N. Montrer que

Z n

−n

e^−|x|λ F(x)dx = Z 1

−1

cos(tπ/2)Z n

−n

e^−|x|λ e^itxdx

dt . (15)

c. (*) Trouver une constante Cλ >0 telle que, pour toutn ∈N et tout t∈[−1; 1],

Z −n

−∞

e^−|x|λ e^itxdx +

Z +∞

n

e^−|x|λ e^itxdx

≤ C_λe^−2λn . (16) d. (*) En d´eduire l’´egalit´e (13).

4. Montrer que Z

R

F = Z +∞

−∞

F(x)dx = 2π.

Partie IV. : Application. (4 pts).

1. Pourx r´eel diff´erent de −π/2 et deπ/2, donner une expression explicite deF(x) en fonction de x.

Indication :on pourra remplacer le cosinus dans (2) par 1/2 fois la somme de fonc- tions exponentielles complexes.

2. Montrer la convergence de l’int´egrale I =

Z +∞

−∞

−πcosx

x² − (π²/4)dx . (17)

3. Montrer que I = 2π.

Fin de l’´epreuve.

Universit´e de Cergy-Pontoise, Math´ematiques L2 int´egration.

Corrig´e de l’examen du 15 mai 2012.

Exercice 1 :

1. Le jacobien est J_F(r;θ) = r.

2. Comme la fonction constante ´egale `a 1 est continue et grˆace `a la forme de C, on peut appliquer la formule de Fubini partielle qui donne exactement (1).

3. Soitz ∈[1; 3] etR_z = [0;z]×[0; 2π]. Comme la fonction constante ´egale `a 1 est continue et comme R_z 3(r;θ)7→r est born´ee, on a par changement de variables en polaires,

ZZ

Dz

dxdy = ZZ

Rz

r drdθ .

Comme R_z 3(r;θ)7→r est continue et R_z est un rectangle, on a, par Fubini, ZZ

Rz

r drdθ = Z z

0

r Z 2π

0

dθ

dr = 2π Z z

0

r dr = πz². Donc, par 2.,

V = Z 3

1

πz²dz = π

3 3³−1³

= 26π 3 . Exercice 2 :

1. Comme Ω est un triangle et comme (x;y) 7→ 2xy−e^y est continue (comme somme, produit et compos´ee de fonctions continues) sur Ω, on a, par Fubini,

K =

Z 1

0

Z 1−x

0

(2xy−e^y)dy

dx = Z 1

0

x(1−x)²−e^1−x+ 1 dx

= Z 1

0

x³−2x²+x+ 1−e^1−x

dx = 1 4− 2

3+ 1

2+ 1 +e[e^−x]¹₀ = 25 12 − e . 2. Par d´efinition,

L = Z 3

0

e^y(t)x⁰(t) + x(t)²y(t)y⁰(t) dt .

3. Comme γ est le bord orient´e du triangle Ω et qu’il est sans point double, comme ω est C¹, on a, par la formule de Green-Riemann,

L = ZZ

Ω

∂Q

∂x(x;y) − ∂P

∂y(x;y)

dxdy = ZZ

Ω

2xy − e^y

dxdy = K . Probl`eme :

I :

1.a. `A x fix´e, t 7→ e^itxcos(tπ/2) est continue donc F est bien d´efinie comme int´egrale de Riemann. De plus, par le cours, pour tout x,

|F(x)| ≤ Z 1

−1

e^itxcos(tπ/2) dt ≤

Z 1

−1

1dt = 2.

1.b. Pour x >0, on a, par int´egrations par parties, F(x) =

Z 1

−1

cos(tπ/2)d dt

e^itx ix

dt

= he^itx

ix cos(tπ/2)i1

−1 − 1 ix

Z 1

−1

e^itx −sin(tπ/2)π 2dt

= 0 + π 2ix

nhe^itx

ix sin(tπ/2)i1

−1 − 1 ix

Z 1

−1

e^itxcos(tπ/2)π 2 dto

= −π

2x²(e^it+e^−it) + π²

4x²F(x). Donc, en utilisant 1.a.,

|F(x)| ≤ π

x² + π²

2x² = π x²

1 + π

2

.

1.c. La fonction positive |F| est major´ee sur [1; +∞[ parC/x² qui est int´egrable `a l’infini donc, par le cours, |F| est int´egrale sur [1; +∞[.

2. Comme compos´ees de fonctions continues avec les fonctions continues (x;t) 7→ x et (x;t) 7→t, (x;t)7→ e^itxcos(tπ/2) est continue. Donc, par le th´eor`eme de continuit´e pour les int´egrales d´ependant d’un param`etre,F est continue.

3. Soit x ∈ R. Soit ϕ(t) = −t, qui est C¹. Par la formule de changement de variables, comme ϕ⁰(t) =−1 et cos est paire,

F(−x) = Z 1

−1

e^{−iϕ(t)(−x)}cos(−ϕ(t)π/2)(−ϕ⁰(t))dt

= −

Z −1

−(−1)

e^−iu(−x)cos(−uπ/2)du = − Z −1

1

e^iuxcos(uπ/2)du

= Z 1

−1

e^iuxcos(uπ/2)du = F(x).

4.|F|est continue surRdonc int´egrable sur tout segment deR. En particulier, sur [−1; 1].

Pour X >1, on a, par changement de variables et parit´e de F, Z −1

−X

|F(x)|dx = − Z −1

−X

|F(x)|(−x)⁰dx = − Z 1

X

|F(−u)|du = Z X

1

|F(u)|du qui a une limite finie quand X → +∞ par 1.c. Donc F est absolument int´egrable sur ]− ∞;−1[. Comme elle l’est sur [1; +∞[ par 1.c., elle l’est sur R.

II :

1. La fonction [0; +∞[7→(1 +y²)⁻¹ est continue et positive. Comme lim

y→+∞y²(1 +y²)⁻¹ = 1 et comme y⁻² est int´egrable `a l’infini, on a la convergence de (6) par le cours.

2. Soit λ >0. En posantϕ(t) =tλ qui est C¹, on a, par changement de variables, Z 1

−1

g_λ(t)dt = 1 2Arctanλ

Z 1

−1

ϕ⁰(t)

1 +ϕ(t)² dt = 1 2Arctanλ

Z λ

−λ

du 1 +u²

= 1

2Arctanλ Arctanλ−(Arctan (−λ)

= 1.

3.a. Soit λ >0. Par changement de variables et parit´e de g_λ, Z −c

−1

g_λ(t)dt = − Z −c

−1

g_λ(−(−t)) (−t)⁰dt = − Z c

1

g_λ(−u)du = Z 1

c

g_λ(u)du . 3.b. D’apr`es 3.a., il suffit de montrer que la derni`ere limite dans (8) est nulle. Pour λ >0 fix´e, gλ est d´ecroissante et positive donc, pour tout t ∈ [c; 1], 0 ≤ gλ(t) ≤ gλ(c). Donc, pour tout λ >0, par le cours,

0 ≤ Z 1

c

g_λ(t)dt ≤ Z 1

c

g_λ(c)dt = λ

2Arctanλ(1 +c²λ²) = 1

λ · 1

2Arctanλ(c²+ 1/λ²). Quand λ → +∞, la majorant tend vers 0 (puisque Arctanλ → π/2). Donc, par le th´eor`eme des gendarmes,

λ→+∞lim Z 1

c

g_λ(t)dt existe et vaut 0.

4. D’apr`es 2., en utilisant le cours et le fait que g_λ est positive, on a, pour λ >0,

Z 1

−1

cos(tπ/2)g_λ(t)dt − 1 =

Z 1

−1

cos(tπ/2) − 1

·g_λ(t)dt

≤ Z 1

−1

cos(tπ/2) − 1

· |g_λ(t)|dt

≤ Z 1

−1

cos(tπ/2) − 1

·g_λ(t)dt (18) Soit >0. Comme t7→cos(tπ/2) est continue en 0, il existe δ >0 tel que

|t| < δ =⇒

cos(tπ/2) − 1 <

2. (19)

Soit c= min(δ; 1/2)∈]0; 1[. Pour ce c, on a (8). Donc il existe λ0 >0 tel que λ > λ₀ =⇒ 0 ≤

Z −c

−1

g_λ(t)dt + Z 1

c

g_λ(t)dt <

4. (20)

Pour λ > λ₀, on a (18) et en ´ecrivant Z 1

−1

cos(tπ/2) − 1

·g_λ(t)dt = Z −c

−1

cos(tπ/2) − 1

·g_λ(t)dt + Z c

−c

cos(tπ/2) − 1

·g_λ(t)dt +

Z 1

c

cos(tπ/2) − 1

·gλ(t)dt

≤ 2 Z −c

−1

g_λ(t)dt + 2 Z 1

c

g_λ(t)dt + Z c

−c

cos(tπ/2) − 1

·g_λ(t)dt , on en d´eduit, par (20) et (19),

Z 1

−1

cos(tπ/2)g_λ(t)dt − 1

< 2 4 +

Z c

−c

2g_λ(t)dt ≤ 2 +

2 Z 1

−1

g_λ(t)dt = ,

en utilisant encore que g_λ est positive et 2. On a montr´e (9) par la d´efinition.

III :

1.a. On a, pour tout x, |e^−|x|λ e^itx|=e^−|x|λ =e^−|−x|λ . Pour X >0, Z 0

−X

e^−|x|λ dx = − Z 0

−X

e^−|x|λ (−x)⁰dx = − Z 0

X

e^−|−u|λ du = Z X

0

e^−|u|λ du =

−λe^−uλX 0 , qui tend vers λ quandX →+∞. Donct 7→ |e^−|x|λ e^itx|est int´egrable en−∞ et en +∞et donc I_λ(t) est absolument convergente.

1.b. Soit X >0. On a Z X

0

e^−|x|λ e^itxdx = Z X

0

e^(it−λ1)xdx = he^(it−λ1)x it−1/λ

iX 0

= 1

it−1/λ e^(it−λ1)X −1 .

Comme λ >0, |e^(it−1λ)X|=e^−X/λ→0, quand X →+∞. Donc Z +∞

0

e^−|x|λ e^itxdx = 1

−it+ 1/λ . De mˆeme, pour X >0,

Z 0

−X

e^−|x|λ e^itxdx = Z 0

−X

e^(it+1λ)xdx = he^(it+1λ)x it+ 1/λ

i0

−X = 1

it+ 1/λ −e^−(it+λ1)X + 1 avec |e^(it+λ1)X|=e^−X/λ →0, quand X →+∞. Donc

Z 0

−∞

e^−|x|λ e^itxdx = 1 it+ 1/λ , ce qui donne

Iλ(t) = 1

−it+ 1/λ + 1

it+ 1/λ = 2/λ

t²+ 1/λ² = 2λ 1 +t²λ²

= 4Arctanλ

2Arctanλ · 1

1 +t²λ² = 4Arctanλ

·g_λ(t).

2.a. Soit λ > 0. Pour tout x, 0 ≤ |e^−|x|λF(x)| ≤ |F(x)|. Comme F est absolument int´e- grable sur R d’apr`es I.1.4., il en est de mˆeme deJ_λ.

Remarque :on peut aussi dire la chose suivante. Soitλ >0. Pour toutx, 0≤ |e^−|x|λ F(x)| ≤ e^−|x|λ . Le majorant est int´egrable puisque I_λ(t) est absolument int´egrable (cf. 1.a.) donc J_λ est absolument int´egrable.

2.b. On vient de voir que x 7→ |e^−|x|λF(x)| est domin´ee par une fonction int´egrable ind´e- pendante de λ (c’est |F|). De plus, pour chaque x≥0,

λ→+∞lim e^−|x|λF(x) = F(x).

Donc, par un corollaire du th´eor`eme de convergence domin´ee, lim

λ→+∞J_λ existe et vautR

RF. 3.a. Comme J_λ converge absolument, elle converge. Donc les limites

X→+∞lim Z 0

−X

e^−|x|λF(x) et lim

X→+∞

Z X

0

e^−|x|λF(x)

existent, sont finies et leur somme est J_λ. Comme limn= +∞, on a, par composition, limn

Z 0

−n

e^−|x|λF(x)dx = lim

X→+∞

Z 0

−X

e^−|x|λ F(x)dx et

limn

Z n

0

e^−|x|λ F(x)dx = lim

X→+∞

Z X

0

e^−|x|λ F(x)dx , donc on a la formule (14).

3.b. Comme compos´ees de fonctions continues avec les fonctions continues (x;t) 7→ x et (x;t) 7→t, (x;t) 7→e^itxcos(tπ/2)e^−|x|/λ est continue. Par le th´eor`eme de Fubini appliqu´e deux fois sur le rectangle R_n= [−n;n]×[−1; 1], on a

Z n

−n

e^−|x|λZ 1

−1

e^itxcos(tπ/2)dt

dx = ZZ

Rn

e^itxcos(tπ/2)e^−|x|/λdxdt

= Z 1

−1

cos(tπ/2) Z n

−n

e^−|x|λ e^itxdx

dt , ce qui donne (15) d’apr`es (2).

3.c. Comme, pour tout X > n,

Z X

n

e^−|x|λ e^itxdx ≤

Z X

n

e^−|x|λ e^itx dx ,

Z +∞

n

e^−|x|λ e^itxdx ≤

Z +∞

n

e^−|x|λ e^itx dx , par passage `a la limite dans les in´egalit´es. En particulier,

Z +∞

n

e^−|x|λ e^itxdx ≤

Z +∞

n

e^−|x|2λe^−2λn dx

car, pour x≥n, |x|/(2λ)≥n/(2λ) et e^−|x|2λ ≤e^−2λn. De mˆeme,

Z −n

−∞

e^−|x|λ e^itxdx ≤

Z −n

−∞

e^−|x|2λe^−2λn dx ,

ce qui donne (16) avec

C_λ = Z −n

−∞

e^−|x|2λ dx + Z +∞

n

e^−|x|2λ dx .

Remarque : On peut aussi calculer explicitement Z +∞

n

e^−|x|λ e^itx

dx et

Z −n

−∞

e^−|x|λ e^itx dx

et montrer que la somme est inf´erieure `a C<sub>λ</sub><sup>0</sup>e<sup>−nλ</sup>, qui est `a son tour ≤C_λ⁰e^−2λn. 3.d. D’apr`es (10) et (11), on a

(4Arctanλ) Z 1

−1

cos(tπ/2)g_λ(t)dt = Z 1

−1

cos(tπ/2)I_λ(t)dt . (21) Pour tout n∈N et pour tout t∈[−1; 1],

I_λ(t) = Z −n

−∞

e^−|x|λ e^itxdx + Z n

−n

e^−|x|λ e^itxdx + Z +∞

n

e^−|x|λ e^itxdx , (22) les trois fonctions ´etant continues par rapport `at. En effet, pour celle du milieu, on utilise le th´eor`eme de continuit´e d’une int´egrale d´ependant d’un param`etre car (x;t)7→e<sup>−|x|λ</sup> e<sup>itx</sup> est continue. Pour les deux autres, on utilise la continuit´e `a x fix´e de t 7→ e^−|x|λe^itx et la domination, pour tout (x;t), |e^−|x|λe^itx| ≤ e^−|x|λ, qui est int´egrable, pour appliquer un corollaire du th´eor`eme de convergence domin´ee. Le fait que ces trois fonctions sont continues nous permet d’´ecrire

Z 1

−1

cos(tπ/2)I_λ(t)dt = Z 1

−1

cos(tπ/2)Z −n

−∞

e^−|x|λ e^itxdx

dt (23)

+ Z 1

−1

cos(tπ/2)Z n

−n

e^−|x|λ e^itxdx

dt (24)

+ Z 1

−1

cos(tπ/2)Z +∞

n

e^−|x|λ e^itxdx

dt . (25) Les terme de droite de (23) et le terme (25) sont major´es en valeur absolue par

Z 1

−1

|cos(tπ/2)|

Z −n

−∞

e^−|x|λ e^itxdx dt +

Z 1

−1

|cos(tπ/2)|

Z +∞

n

e^−|x|λ e^itxdx dt qui, par (16), est lui-mˆeme inf´erieur ou ´egal `a

Z 1

−1

C_λe^−2λn dt = 2C_λe^−2λn .

Comme ce dernier terme tend vers 0 quand n → ∞, il en est de mˆeme, par le th´eor`eme des gendarmes, du terme de droite de (23) et du terme (25). D’apr`es (15) puis (14), le terme (24) tend vers J_λ quand n → ∞. Conclusion, en passant `a la limite n → ∞ dans l’´egalit´e (23), on obtient d’apr`es (21) la formule (13).

4. D’apr`es 2.b., on sait queR

RF est la limiteJλ en +∞. Par la formule (13), la propri´et´e (9) et le fait qu’Arctan tende vers π/2 en +∞, on en d´eduit queR

RF = 4(π/2)·1 = 2π.

IV :

1. Soit x∈R\ {−π/2;π/2}. D’apr`es (2), F(x) =

Z 1

−1

e^itx· e^itπ/2+e^−itπ/2

2 dt = 1

2 Z 1

−1

e^it(x+π/2)dt + 1 2

Z 1

−1

e^it(x−π/2)dt .

Comme xest diff´erent de−π/2 et deπ/2, on a F(x) = 1

2

h e^it(x+π/2) i(x+π/2)

i1

−1 + 1 2

h e^it(x−π/2) i(x−π/2)

i1

−1 = 2isin(x+π/2)

2i(x+π/2) + 2isin(x−π/2) 2i(x−π/2)

= cosx· 1

x+π/2 − 1 x−π/2

= −πcosx x²−π²/4 .

2. La fonction `a int´egrer est continue par morceaux et est int´egrable surRpuisque, d’apr`es 1., elle co¨ıncide sur R\ {−π/2;π/2} avecF, qui est continue et int´egrable sur R d’apr`es I.2. et I.4.

Remarque : On peut aussi montrer la convergence de I de la mani`ere suivante. La fonction f `a int´egrer est continue surR\ {−π/2;π/2}. En utilisant la d´erivabilit´e de cos en −π/2 (resp. π/2), on montre que f admet une limite finie en −π/2 (resp. π/2). Elle est donc continue par morceaux. Pour |x| ≥π, x²/2−(π²/4>0 et

|f(x)| ≤ π

x²/2 +x²/2−(π²/4) ≤ π

x²/2 = 2π x² .

La fonction positive |f| est domin´ee par une fonction int´egrable donc I converge absolu- ment et donc converge.

3. D’apr`es 2., I est ´egale `a l’int´egrale sur Rde F qui vaut 2π d’apr`es III.4.