D´ebut de l’´epreuve

Universit´e de Cergy-Pontoise.

Examen d’approfondissements, 6 juin 2016, 2 heures.

Les documents, t´el´ephones, tablettes et calculettes sont interdits. On rappelle que, sauf mention contraire explicite, toute r´eponse devra ˆetre justifi´ee. Des r´eponses correctes mal justifi´ees peuvent certes rapporter des points mais pas le maximum. Dans un exercice, on pourra utiliser les r´esultats des questions pr´ec´edentes mˆeme si celles-ci n’ont pas ´et´e trait´ees. La note sera sur 20. Le bar`eme est indicatif. L’´epreuve comporte4 exercices.

D´ebut de l’´epreuve.

Exercice 1. : (6 points). On consid`ere le syst`eme diff´erentiel (E) d’inconnue Y :R−→

R² donn´ee par

∀t ∈R, Y⁰(t) = AY(t) + 2 e^−t

3e^3t

, o`u A = 3 2

1 −1

−1 1

.

1. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel sans second membre associ´e (E₀) qui est donn´e par :

∀t∈R, Y⁰(t) = AY(t).

2. V´erifier que la fonction Y₀ :R−→R² de classe C¹ donn´ee par

∀t ∈R, Y₀(t) = −1 4e^−t

5 3

+ e^3t

1−3t 3t+ 1

,

est solution de (E).

3. En d´eduire l’ensemble des solutions S du syst`eme (E).

Exercice 2. : (4 points). D´eterminer la limite sup´erieure des suites (un)n∈N et (vn)n∈N

d´efinies par

u_n = ne⁻ⁿ + 3−n

7 +n , v_n = (−1)ⁿn + sin(n).

Exercice 3. : (5 points). Pour n ∈ N^∗, on consid`ere les fonctions f_n : [0; 1] −→ R et g_n: [0; 1]−→R d´efinies par

f_n(t) = t + n⁻¹2

− 3 et g_n(t) = √

n ln 1 + t·n⁻¹ .

1. Montrer que la suite de fonctions (fn)n∈N^∗ converge simplement sur [0; 1] vers une fonction f que l’on pr´ecisera.

2. Montrer que la suite de fonctions (f_n)_n∈N^∗ converge uniform´ement sur [0; 1] versf. 3. Pour n∈N^∗, montrer que

supg_n := sup

g_n(t);t ∈[0; 1] = g_n(1).

4. Montrer que la suite de fonctions (g_n)_n∈N^∗ converge simplement sur [0; 1] vers la fonction nulle. La convergence est-elle uniforme sur [0; 1] ? Justifier la r´eponse.

Tourner SVP.

1

Exercice 4. : (6 points). Vrai ou faux ? R´epondreavec justification.0,25 point par r´eponse correcte, le reste des points pour la justification.

1. L’intervalle [−7; +∞[ est ouvert. (0,25 point).

2. L’adh´erence de ]1; 9] est [1; 9]. (1,25 point).

3. 1 appartient `a l’int´erieur ˚A de l’ensemble A =]−3;−2]∪ {2−n⁻¹;n ∈ N^∗}. (0,5 point).

4. 0 est un point d’accumulation de l’ensemble B =]− ∞;−1[∪{n⁻¹sin(n);n ∈ N^∗}.

(1 point).

5. Une fonction convexef :]−1; 1[−→Radmet un minimum sur ]−1; 1[.(0,75 point).

6. Une fonction d´erivable f : [−1; 1]−→R est uniform´ement continue. (0,75 point).

Fin de l’´epreuve.

2