Donner la valeur de l’int´egrale de la fonction en escalier ϕ : [0

(1)

Université de Cergy-Pontoise, Mathématiques L2 intégration.

Contrˆole continu du 6 mars 2012 (1h 10 min.).

Les documents, t´el´ephones, tablettes et calculettes sont interdits.

Interrogation notée sur 20, le barème est indicatif. Dans un exercice, on pourra utiliser les résultats des questions précédentes même si celles-ci n’ont pas été traitées.

Exercice 1. : (5 pt). Questions de cours.

1. Donner la valeur de l’intégrale de la fonction en escalier ϕ : [0; 3] −→ R qui, à x∈[0; 1], associe 3, à x∈[1; 2] associe −2 et, à x∈[2; 3], associe 0.

2. Compléter l’énoncé suivant pour en faire un énoncé correct du cours : · · · Si, pour tout x≥a, f(x)≤g(x) alors

Z +∞

a

g converge =⇒ Z +∞

a

f converge et

· · · =⇒ · · · .

3. Soit f : R −→ R une fonction continue. Soit a ∈ R. Montrer que la fonction Fa:R−→Rd´efinie par Fa(x) =Rx

a f(t)dt est dérivable et de dérivée f.

Exercice 2. : (7 pts). Pour x >0, soit F(x) =

Z +∞

0

e⁻^xt²dt .

1. Soita >0. Montrer que, sur [a; +∞[, F est bien d´efinie, d´erivable et que F^′(x) = −

Z +∞

0

t²e⁻^xt²dt . (1)

2. Commeaétait arbitraire,F est définie et dérivable sur ]0; +∞[ et la formule (1) est valable sur ]0; +∞[. Montrer en utilisant une intégration par parties que

∀x >0, 2xF^′(x) + F(x) = 0. (2) 3. En d´eduire une expression explicite deF en fonction dex. On pourra admettre que

F(1) =√ π/2.

Exercice 3. : (4 pts). Soit (un)n∈N^∗ et (vn)n∈N^∗ d´efinies par, pour tout n >0, un =

n−1

X

k=0

1

7n−2k et vn =

n−1

X

k=0

1

7n−2k + k n⁴

.

Montrer que (un)n∈N∗ converge et d´eterminer sa limite. En d´eduire l’existence et la valeur de la limite de (vn)n∈N∗.

(2)

Exercice 4. : (6 pts). Soit f : R −→ R continue par morceaux et 1-périodique. Cette dernière propriété signifie que (∀t∈R, f(t+ 1) = f(t)). On pourra utiliser sans démons- tration la propriété suivante qui découle de la 1-périodicité par récurrence :

∀p∈Z,∀t∈R, f(t+p) = f(t). (3) Pour x∈R, on poseF(x) =Rx+1

x f(t)dt.

On pourra aussi utiliser la formule de changement de variables suivante (plus g´en´erale que celle du cours) : SoitK=Rou CetI, J des intervalles. Soith∈C¹(I;J) etg ∈C_m⁰(J;K) (i.e. g est continue par morceaux sur J). Pour a, b∈I,

Z b

a

g h(t)

h^′(t)dt =

Z h(b)

h(a)

g(s)ds . (4)

1. Dessiner le graphe sur [−1; 2] d’une fonction continue et non constante f1 qui est 1-p´eriodique. Dessiner le graphe sur [−1; 2] d’une fonction continue par morceaux f₂ qui est 1-p´eriodique et qui n’est pas continue.

2. Dans cette question seulement, on supposef continue. Montrer que F est d´erivable et calculer F^′.

3. On ne suppose plus f continue. F est-elle d´erivable ?

(3)

Corrig´e du contrˆole continu du 6 mars 2012.

Exercice 1 :

1. L’intégrale est par définition égale à 3(1−0) + (−2)(2−1) + 0(3−2) = 1.

2. Soita∈Retf, g: [a; +∞[−→Rcontinues par morceaux et positives. Si, pour tout x≥a, f(x)≤g(x) alors

Z +∞

a

g converge =⇒ Z +∞

a

f converge

etZ +∞ a

f diverge =⇒ Z +∞

a

g diverge . 3. Soitc∈ R. Pourx 6=c, on a par la relation de Chasles, Fa(x)−Fa(c) =Rx

c f(t)dt.

De plus, f(c)(x−c) = Rx

c f(c)dt. Pour x > c, on a donc

|Fa(x)−Fa(c)−f(c)(x−c)| =

Z x

c

(f(t)−f(c))dt ≤

Z x

c |f(t)−f(c)|dt . Pour x < c, on a de mˆeme

|Fa(x)−Fa(c)−f(c)(x−c)| =

Z x

c

(f(t)−f(c))dt ≤

Z c

x |f(t)−f(c)|dt . Donc, pour x6=c,

Fa(x)−Fa(c)

x−c − f(c)

≤ 1

|x−c|

Z x

c |f(t)−f(c)|dt

. (5) Soit ǫ >0. Comme f est continue en c, il existeδ >0 tel que

|t−c| < δ =⇒ |f(t)−f(c)| < ǫ . (6) Soit xv´erifiant |x−c|< δ. On a |t−c|< δ pour lest compris entrexet cdonc, on d´eduit de (5) et de (6) que

Fa(x)−Fa(c)

x−c − f(c)

≤ 1

|x−c|

Z x

c

ǫ dt

= ǫ . Cela montre que F^′(c) existe et vaut f(c).

Exercice 2 :

1. Pour x >0, 0 ≤t7→e⁻^xt² est continue. De plus, pour t≥1, 0 ≤e⁻^xt² ≤e⁻^xt et Z T

1

e⁻^xtdt = (−1/x)[e⁻^xt]^T₁ = (1/x)(e⁻^x−e⁻^xT) → (1/x)e⁻^x,

lorsqueT →+∞. DoncF(x) est convergente pour toutx >0. Pourt≥0,x7→e⁻^xt² est dérivable et sa dérivée x 7→ −t²e⁻^xt² est continue en t. De plus, pour x ≥ a et t≥0, on a

| −t²e^−xt²| ≤ t²e^−at²^/2·e^−at²^/2 ≤Ce^−at²^/2

(4)

car la fonction t 7→ t²e⁻ât²^/2 est continue tendant vers 0 à l’infini donc bornée. En posant g(t) = C si t ∈[0; 1] et g(t) =Ce⁻ât/2 si t ≥1, on a donc, pour tout x > 0 et tout t≥0,| −t²e⁻^xt²| ≤g(t). Comme

Z T

1

g(t)dt = C[(−2/a)e⁻ât/2]^T₁ = (2C/a)(eâ/2−e⁻^{aT /2}) → (2C/a)eâ/2, lorsque T →+∞,g est intégrable sur [0; +∞[. Par le théorème de dérivation,F est dérivable sur [a; +∞[ et, pourx≥a, F^′(x) est donnée par la formule (1).

2. Soitx >0. Pour T >0, on a

− Z T

0

t²e⁻^xt²dt = Z T

0

t d dt

e^−xt² 2x

dt = h te^−xt²

2x iT

0 − 1

2x Z T

0

e⁻^xt²dt . (7) En passant `a la limite quandT →+∞dans (7), on obtientF^′(x) = (−1/(2x))F(x), car T e⁻^xT² →0 puisque x >0. On a donc montr´e (2).

3. Les solutions de l’´equation lin´eaire du premier ordre (2) sont lesKx^−1/2, pourK ∈R. Par le 2., F est l’une d’elles donc il existe un K ∈ R tel que, pour tout x > 0, F(x) =Kx⁻^1/2. Or F(1) =√

π/2 donc K =√ π/2.

Exercice 3 : Soit f : [0; 1]−→R définie par f(t) = (7−2t)⁻¹. Comme le dénominateur est strictement positif, f est bien définie et continue. Comme, pour tout n,

un =

n−1

X

k=0

f(k/n)1 n

(un)n est une somme de Riemann def. Par le cours, (un)n converge vers l’int´egrale de f sur [0; 1], c’est-`a-dire :

Z 1

0

(7−2t)⁻¹dt = [−(1/2) ln(7−2t)]¹₀ = (ln 7−ln 5)/2 = (1/2) ln(7/5). Pour tout n >0, on a

|vn − uv| =

n−1

X

k=0

k n⁴

= n(n+ 1)

2n⁴ = 1

2n²(1 + 1/n) → 0, quand n → ∞. Donc (v_n)_n converge vers la limite de (u_n)_n.

Exercice 4 :

1. Pour t ∈ [0; 1/2], f1(t) = t, pour t ∈ [1/2; 1], f1(t) = 1−t. On prolonge f1 par 1- périodicité surR. On a lim0⁺f1 = 0 et lim0⁻f1 = lim1⁻f1 = 0. Doncf1 est continue en 0. De même elle est continue en 1/2 et en 1. Ailleurs elle est aussi continue. De plus, elle n’est pas constante.

Pour t ∈ [0; 1/2], f2(t) = 1, pour t ∈ [1/2; 1], f2(t) = 0. On prolonge f2 par 1- p´eriodicit´e sur R.f2 est continue par morceaux mais pas continue en 1/2.

(5)

2. Comme f est continue, l’application G : y 7→ Ry

0 f(t)dt est dérivable de dérivée f, d’après le cours. Pour tout x, F(x) = G(x+ 1)−G(x) donc F est dérivable par composition et, pour tout x,F^′(x) = G^′(x+ 1)−G^′(x) = f(x+ 1)−f(x) = 0, par 1-périodicité.

3. Soit x ∈ R. En notant par n la partie enti`ere de x, x = n+δ avec δ ∈ [0; 1[. Soit u7→ϕ(u) = u−n. ϕ est C¹ donc on a, par changement de variables (cf. (4)),

F(x) =

Z x+1

x

f(t)dt =

Z ϕ(x+1)

ϕ(x)

f(ϕ(u))ϕ^′(u)du =

Z δ+1

δ

f(u−n)du

=

Z δ+1

δ

f(u)du ,

d’apr`es (3) avec p = −n. La fonction v 7→ ψ(v) = v −1 est aussi C¹ donc, par changement de variables (cf. (4)), on a

F(x) = Z 1

δ

f(u)du + Z δ+1

1

f(u)du = Z 1

δ

f(u)du +

Z ψ(δ+1)

ψ(1)

f(ψ(v))ψ^′(v)dv

= Z 1

δ

f(u)du + Z δ

0

f(v−1)dv = Z 1

δ

f(u)du + Z δ

0

f(v)dv = F(0), en utilisant (3) pour p = −1 et la relation de Chasles. On constate que F est constante donc dérivable de dérivée nulle.

(6)

Contrˆole continu du 27 mars 2012 (1h 15 min.).

Les documents, t´el´ephones, tablettes et calculettes sont interdits.

Interrogation notée sur 20, le barème est indicatif. Dans un exercice, on pourra utiliser les résultats des questions précédentes même si celles-ci n’ont pas été traitées.

Exercice 1. : (5,5 pt). Questions de cours.

1. SoitU etV des ouverts deR² etF :U −→V C¹ donnée parF(x;y) = (u(x;y);v(x;y)). Écrire la définition de la matrice jacobienne et du jacobien de F.

2. Donner sans justification le jacobien JF(r;θ;φ) au point (r;θ;φ) du changement en coordonnées sphériques F donné par

F(r;θ;φ) = (rcosθcosφ;rsinθcosφ;rsinφ) sur [0; +∞[×[0; 2π]×[−π/2;π/2].

3. Compléter l’énoncé suivant pour en faire un énoncé correct du cours : Soit Ω un compact quarrable de R². On note par A(Ω) son aire. Pour ..., on note par I(f,Ω) l’intégrale double de f sur Ω. On a

ZZ

Ω

f

≤ · · · ≤ A(Ω)· · · · . Si .... I(f,Ω) = 0, alors f = 0.

Exercice 2. : (3 pts). Soit D le cercle de R² de centre (0; 0) et de rayon 3.

Soit C le cylindre d´efini par {(x;y;z)∈R³;x² +y² ≤9 et z ∈[−3; 4]}.

1. Montrer que l’aireAdu disqueDest 9π.Indication: on pourra effectuer un changement de variables en polaires.

2. D´eterminer le volumeV du cylindre C.

Exercice 3. :(9 pts). Soit Ω ={(x;y;z)∈R³;x∈[1; 2], y ∈[−1/2; 1/2], z ∈ [e;e²] avec 1 ≤x+y≤2 et 1≤x−y ≤2} et

I = ZZZ

Ω

z(x²−y²) + (x−y)²ln(x+y)

·z lnz2

dxdydz . Soit F : [1; 2]³ −→Ω donn´ee par

F(u;v;w) = u+v

2 ;u−v 2 ;e^w

. 1

(7)

1. Montrer queF est bien définie (c’est-à-dire à valeurs dans Ω). Montrer que F est bijective.

2. Montrer queF estC¹ et que son jacobienJF vérifieJF(u;v;w) = −ê₂^w. 3. Montrer la bornitude de la fonction g donnée par

[1; 2]³ ∋(u;v;w) 7→ uve^w+v²lnu

· w²e^2w 2 ∈R. 4. En d´eduire que I est l’int´egrale triple de g sur le cube [1; 2]³. 5. Calculer explicitement I.

Exercice 4. : (3,5 pts). SoitR∈]0; 1[ etBR ={(x;y;z)∈R³;x²+y²+z² ≤ R²} la boule de centre (0; 0; 0) et de rayon R. Pour tout n ∈N, on pose

In = ZZZ

BR

x²+y²+z²n

dxdydz et

Jn = ZZZ

BR

x² + y² + z²n

· xy + e^xz − ychz

dxdydz . On rappelle que chz = (e^z+e⁻^z)/2.

1. Montrer que, poura ∈C tel que |a|<1, lim

n→∞

aⁿ n = 0.

2. Pour toutn, exprimerInen fonction den. Que peut-on dire de lim

n→∞In? 3. En d´eduire que lim

n→∞Jn existe et vaut 0.

2

(8)

Corrig´e du contrˆole continu du 27 mars 2012.

Exercice 1 :

1. La matrice jacobienne deF et son d´eterminant, le jacobien deF, sont :







∂u

∂x(x;y) ∂u

∂y(x;y)

∂v

∂x(x;y) ∂v

∂y(x;y)





 et

∂u

∂x(x;y) ∂u

∂y(x;y)

∂v

∂x(x;y) ∂v

∂y(x;y)

= ∂u

∂x

∂v

∂y−∂u

∂y

∂v

∂x

(x;y).

2. Le jacobien est J_F(r;θ;φ) = r²cosφ.

3. Pour f : Ω−→Kcontinue, on note par I(f,Ω) l’int´egrale double de f sur Ω. On a

ZZ

Ω

f ≤

ZZ

Ω

|f| ≤ A(Ω)· sup

(x;y)∈Ω

|f(x;y)|.

Si f : Ω−→Kcontinue et positive et si I(f,Ω) = 0, alors f = 0.

Exercice 2 :

1. Par d´efinition, l’aire du disque est A(D) =

ZZ

D

1dxdy = ZZ

(r;θ)∈[0;3]×[0;2π]

r drdθ ,

par la formule de changement de variables en polaires, que l’on peut appliquer puisque la fonction constante 1 est continue et la fonction 1×r est born´ee sur [0; 3]×[0; 2π]. Comme la fonction (r;θ) 7→ r est continu et D est un rectangle, on peut appliquer la formule de Fubini et obtenir :

A(D) = Z 3

0

Z 2π 0

r dθ dr =

Z 3 0

2πr dr = π[r²]³₀ = 9π . 2. Par d´efinition, le volume du cylindre est

V(C) = ZZZ

C

1dxdydz = Z 4

−3

ZZ

D

1dxdy dz ,

d’apr`es la formule de Fubini partielle, que l’on peut appliquer car 1 est continue et car Ω = {(x;y;z);z ∈ [−3; 4] et (x;y) ∈ Dz} avec Dz =D pour tout z. D’apr`es le 1., on obtientV(C) = 9π(4−(−3)) = 63π.

3

(9)

Exercice 3 :

1. Pour (u;v)∈[1; 2]², 1 = 2/2≤(u+v)/2≤4/2 = 2,−1/2 = (1−2)/2≤ (u −v)/2 ≤ (2−1)/2 = 1/2, (u +v)/2 + (u −v)/2 = u ∈ [1; 2], (u+v)/2−(u−v)/2 =v ∈[1; 2]. Comme l’exponentielle est croissante, on a, pour w∈[1; 2], e^w ∈[e¹;e²]. Donc F est bien d´efinie.

Soit G : Ω−→[1; 2]³ définie par G(x;y;z) = (x+y;x−y; lnz). G est bien définie car, dans Ω, x+y ∈ [1; 2], x−y ∈ [1; 2] et, comme ln est définie et croissante sur [e¹;e²], lnz ∈ [lne; lne²] = [1; 2]. Il suffit de montrer que F ◦G= IdΩ etG◦F = Id[1;2]³. Pour (u;v;w)∈[1; 2]³, G F(u;v;w)

= G((u+v)/2; (u−v)/2;e^w)

= (u+v)/2 + (u−v)/2; (u+v)/2−(u−v)/2; lne^w

= (u;v;w). Pour (x;y;z)∈Ω,

F G(x;y;z)

= F(x+y;x−y; lnz)

=

(x+y) + (x−y)

/2; (x+y)−(x−y)

/2;e^ln^z

= (x;y;z).

2. Les dérivées partielles de F existent et sont des fonctions continues de (u;v;w) comme composées de fonctions continues avec les projections continues (u;v;w) 7→u, (u;v;w) 7→v et (u;v;w) 7→w. F est donc de classe C¹. De plus,

JF(u;v;w) =

1/2 1/2 0

1/2 −1/2 0

0 0 e^w

= −e^w 2 , en appliquant la r`egle de Sarrus.

3. Pour tout (u;v;w)∈[1; 2]³,

|g(u;v;w)| ≤ |uv|w²

2 e^3w + v²w²

2 e^2w|lnu| ≤ 8e⁶ + 8e⁴ln 2. 4. Par 1. et 2.,F est une bijection de [1; 2]³ sur Ω, de classeC¹ et dont le

jacobien ne s’annule pas. En notantf la fonction à intégrer dansI, on af◦F · |JF|=g, la fonction bornée du 3. En effet, en remarquant que x²−y² = (x+y)(x−y),

f◦F · |JF|

(u;v;w) =

e^wuv+v²lnu

·e^ww²·

−e^w 2

= g(u;v;w). 4

(10)

Par la formule de changement de variables, I est l’intégrale triple de g sur le cube [1; 2]³ soit, par linéarité,

I = ZZZ

[1;2]³

uvw²e^3w

2 dudvdw + ZZZ

[1;2]³

v²w²e^2wlnu

2 dudvdw . Comme on int`egre sur un cube une fonction continue, on peut appliquer aux deux int´egrales la formule de Fubini totale pour obtenir I =I1+I2

avec

I1 = Z 2

1

Z 2 1

uvw²e^3w

2 du

dv dw

= 1

2 Z 2

1

u duZ 2 1

v dvZ 2 1

w²e^3wdw

= 1

2 Z 2

1

u du2Z 2 1

w²e^3wdw , I₂ =

Z 2 1

v²w²e^2wlnu

2 du

dv dw

= 1

2 Z 2

1

lnu duZ 2 1

v²dvZ 2 1

w²e^2wdw . On calcule les int´egrales simples restantes.

Z 2 1

u du = [u²/2]²₁ = 3/2, Z 2

1

v²dv = [v³/3]²₁ = 7/3, Z 2

1

lnu du = [ulnu−u]²₁ = 2 ln 2 − 2 + 1 = 2 ln 2 − 1. Enfin, pour p∈ {2; 3}, on a, par int´egrations par parties,

Z 2 1

w²e^pwdw = [w²e^pwp⁻¹]²₁ − 2p⁻¹ Z 2

1

we^pwdw

= (4e^2p−e^p)p⁻¹ − 2p⁻¹[we^pwp⁻¹]²₁ + 2p⁻² Z 2

1

e^pwdw

= (4e^2p−e^p)p⁻¹ − 2p⁻²(2e^2p−e^p) + 2p⁻³(e^2p −e^p)

= 2(2p⁻¹ − 2p⁻² + p⁻³)e^2p − (p⁻¹ − 2p⁻² + 2p⁻³)e^p. Pourp= 2, elle vaut (3e²−1)e²/4. Pourp= 3, elle vaut (26e³−5)e³/27.

D’o`u I₁ = (26e³−5)e³/24 et I₂ = 7(2 ln 2−1)(3e²−1)e²/24.

Exercice 4 :

5

(11)

1. Comme |a| ≤ 1, on a, pour tout n, |aⁿ/n| ≤ |a|ⁿ/n ≤ 1/n, qui tend vers 0 quand n → ∞. Par le th´eor`eme des gendarmes, limaⁿ/n= 0.

Autre argument : Comme |a| < 1, la suite g´eom´etrique (aⁿ) tend vers 0. Comme lim 1/n= 0, limaⁿ/n= 0 par produit.

2. On note fn la fonction à intégrer dans In. Elle est continue et, en notant par F le changement de variables en coordonnées sphériques et en posant Ω = [0;R]×[0; 2π]×[−π/2;π/2], la fonction gn donnée par

Ω∋(r;θ;φ)7→ fn◦F|JF|

(r;θ;φ) = r²ⁿ⁺¹cosφ

est continue et bornée. Par la formule de changement de variables en sphériques, In est l’intégrale triple degnsur Ω. Comme gn est continue et Ω est un parallélépipède rectangle, on peut appliquer la formule de Fubini totale et obtenir

In = Z R

0

Z π/2

−π/2

Z 2π 0

r²ⁿ⁺¹cosφ dθ dφ

dr

= 2π Z R

0

r²ⁿ⁺¹Z π/2

−π/2

cosφ dφ dr

= 2π[sinφ]^π/2₋_π/2 Z R

0

r²ⁿ⁺¹dr = 4πh r²ⁿ⁺² 2n+ 2

iR

0 = 4πR²ⁿ⁺² 2n+ 2 . Pour tout n >0,

In = 4πR²n 2n+ 2 · R²ⁿ

n = 2πR²

1 + 1/n · (R²)ⁿ n .

Le premier facteur tend vers 2πR² et, comme 0 ≤ R² < 1, le second terme tend vers 0, par le 1. Donc limIn existe et vaut 0.

Autre argument : (In) est 4π fois une sous-suite de la suite ((R²)ⁿ/n).

Comme 0≤R² <1, cette derni`ere converge vers 0 par 1. La sous-suite converge donc aussi vers 0. D’o`u limIn existe et vaut 0.

3. SurBR,|xy+e^xz−ychz| ≤ |xy|+e^xz+|y|chz ≤R²+e^(R²⁾+2Re^R =CR. Par le cours,

|J_n| ≤ ZZZ

BR

x² + y² + z²n

·

xy + e^xz − ychz

dxdydz ≤ C_RI_n et comme In→0, (Jn) tend vers 0 par le th´eor`eme des gendarmes.

Autre argument : On peut aussi remarquer que |Jn| ≤(R²)ⁿCRV(BR), que le majorant est une suite géométrique qui tend vers 0 puisque 0≤R² <1 et terminer avec le théorème des gendarmes.

6