D´ebut de l’´epreuve

Universit´e de Cergy-Pontoise.

Examen d’approfondissements, 2 juin 2017, 2 heures.

Les documents, t´el´ephones, tablettes et calculettes sont interdits. On rappelle que, sauf mention contraire explicite, toute r´eponse devra ˆetre justifi´ee. Des r´eponses correctes mal justifi´ees peuvent certes rapporter des points mais pas le maximum. Dans un exercice, on pourra utiliser les r´esultats des questions pr´ec´edentes mˆeme si celles-ci n’ont pas ´et´e trait´ees. La note sera sur 20. Le bar`eme est indicatif. L’´epreuve comporte4 exercices sur 2 pages.

D´ebut de l’´epreuve.

Exercice 1. : (6 points). On consid`ere le syst`eme diff´erentiel (E) d’inconnue Y :R−→

R² donn´ee par

∀t∈R, Y⁰(t) = A·Y(t) + 2 e^−t

3e^3t

, o`uA = 3 2

1 −1

−1 1

.

1. SoitZ :R−→R² la fonction de classeC¹ donn´ee par

∀t∈R, Z(t) = −1 4e^−t

5 3

+ e^3t

1−3t 3t+ 1

. Montrer que Z est une solution du syst`eme (E).

2. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel sans second membre associ´e (E₀) qui est donn´e par : ∀t∈R, Y⁰(t) = A·Y(t).

3. En d´eduire l’ensemble S des solutions du syst`eme (E).

Exercice 2. : (4 points). D´eterminer la limite sup´erieure des suites (u_n)n∈N^∗ et (v_n)n∈N

d´efinies par

u_n = ln(n⁷)

n + 3−2n

7 +n , v_n = (−1)ⁿeⁿ + sin

(2n+ 3)π 4

.

Exercice 3. : (5 points). Pour n ∈ N^∗, on consid`ere les fonctions f_n : [0; 1] −→ R et gn: [0; 1]−→R d´efinies par

f_n(t) = t

n et g_n(t) = n ln 1 + tⁿ·n⁻¹ .

1. Montrer que la suite de fonctions (f_n)n∈N^∗ converge simplement sur [0; 1] vers une fonction f : [0; 1]−→R que l’on pr´ecisera.

2. Pour n∈N^∗ fix´e, d´eterminer la valeur de sup

t∈[0;1]

|f_n(t)| qui est d´efini par sup

t∈[0;1]

|f_n(t)| := sup

|f_n(t)|; t ∈ [0; 1] .

En d´eduire que la suite de fonctions (fn)n∈N^∗ converge uniform´ement sur [0; 1] vers la fonction f.

1

3. Pour n∈N^∗ etc∈]0; 1], montrer que sup

t∈[0;c]

|g_n(t)|, qui est d´efini par sup

t∈[0;c]

|g_n(t)| := sup

|g_n(t)|; t∈[0;c] , vautg_n(c).

4. Montrer que la suite de fonctions (g_n)n∈N^∗ converge simplement sur [0; 1] vers une fonction g : [0; 1]−→Rque l’on pr´ecisera.

5. Soit c ∈]0; 1[. Montrer que (gn)n∈N^∗ converge vers g, uniform´ement sur [0;c]. La convergence est-elle uniforme sur [0; 1] ? Justifier la r´eponse.

Exercice 4. : (6 points). Vrai ou faux ? R´epondreavec justification.0,25 point par r´eponse correcte, les points entre parenth`eses pour la justification.

1. L’intervalle ]−2; +∞[ est ouvert.(0,25 point).

2. L’adh´erence de ]1; 9] est [1; 9]. (1,25 point).

3. −3 appartient `a l’int´erieur ˚A de l’ensemble A=]−4;−2]∪ {2−n⁻¹;n ∈N^∗}.(0,5 point).

4. 0 est un point d’accumulation de l’ensemble B =]− ∞;−1[∪{n⁻¹ln(n);n ∈ N^∗}.

(1,25 point).

5. Une fonction convexef :]−1; 1[−→Rest deux fois d´erivable et sa d´eriv´ee seconde est positive sur ]−1; 1[. (0,25 point).

6. L’exponentielle de la matrice

A =

0 1 1 0

est donn´ee par

exp(A) = 1 2

e+e⁻¹ e−e⁻¹ e−e⁻¹ e+e⁻¹

. (1 point).

Fin de l’´epreuve.

2