Dans un exercice, on pourra utiliser les r´esultats des questions pr´ec´e- dentes mˆeme si celles-ci n’ont pas ´et´e trait´ees

Universit´e de Cergy-Pontoise.

L2M, Examen d’approfondissements, 16 mai 2018 (3h.).

Les documents, t´el´ephones, tablettes et calculettes sont interdits.

On rappelle que, sauf mention contraire explicite, toute r´eponse devra ˆetre justifi´ee. Des r´eponses correctes mal justifi´ees peuvent certes rapporter des points mais pas le maximum. Dans un exercice, on pourra utiliser les r´esultats des questions pr´ec´e- dentes mˆeme si celles-ci n’ont pas ´et´e trait´ees. Les quatres exercices sont ind´ependants. Le bar`eme sur 45 est indicatif. Note sur 20, obtenue en divisant par 2 le nombres de points.

Rappels de cours : SoitEune partie deR. Un pointx∈Rest un point d’accumulation deE si, pour tout voisinage deV dex, l’intersection (V \ {x})∩E est non vide. Un point a de E est un point isol´e de E s’il existe un voisinage W de a tel que l’intersection (W \ {a})∩E soit vide.

R´esultats admis : on pourra utiliser sans d´emonstration les r´esultats suivants : R0. sin(π/3) =√

3/2 et cos(π/3) = 1/2.

R1. Soit I un intervalle de R, f : I −→ R une fonction continue, D une partie infinie de N et une suite r´eelle born´ee u :D −→I. Alors l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite f ◦u= (f(u_n))n∈D est l’image par f de l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite u= (u_n)n∈D, c’est-`a-dire

VA(f ◦u) = f VA(u) .

R2. Soit I un intervalle de R, f : I −→ R une fonction continue et croissante, D une partie infinie de N et une suite r´eelle born´ee u:D−→I. Alors la limite sup´erieure de la suite f◦u= (f(u_n))n∈D est l’image parf de la limite sup´erieure de la suiteu= (u_n)n∈D, c’est-`a-dire

lim sup

n→∞

f un

= f

lim sup

n→∞

un

.

R3. Soit u: N −→R une suite r´eelle telle que les suites (u_4p)p∈N, (u_4p+1)p∈N, (u_4p+2)p∈N

et (u_4p+3)p∈N convergent vers`<sub>0</sub>,`₁,`<sub>2</sub> et`₃, respectivement. Alors l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite uest constitu´e des valeurs `0,`1, `2 et`3, c’est-`a-dire

VA(u) =

`<sub>0</sub>, `₁, `<sub>2</sub>, `₃ .

R4. Soit I un intervalle de R et f : I −→ R. La fonction f est convexe sur I si et seulement si, pour tout a∈I, l’application

I \ {a} −→ R x 7−→ ^f(x)−f(a)_x−a est croissante.

R5.La fonction Arctan :R−→]−π/2;π/2[ est d´erivable surRet Arctan⁰(t) = (1+t²)⁻¹.

D´ebut de l’´epreuve.

Exercice 1. : (8 pts).R´esoudre le syst`eme diff´erentiel lin´eaire (E) d’inconnueY :R−→

R², o`u

Y(t) =

x₁(t) x₂(t)

, donn´e par

∀t∈R,







x⁰₁(t) = ³₂x₁(t) − ³₂x₂(t) + e^−2t, x⁰₂(t) = −³₂x1(t) + ³₂x2(t) − e^3t.

Exercice 2. : (10 pts). On consid`ere les suites r´eelles v = (v_n)n∈N, w = (w_n)n∈N, x= (x_n)_n∈N et y= (y_n)_n∈N^∗ d´efinies par

v_n = sinπ 3 +nπ

2

, w_n = exp 1 +v_n+v_n² ,

x_n = ln

3n+ 1 5n+ 2

1 +

3 + 8v_n

−7

et y_n = exp

nln 3n+ 2(−1)ⁿ

−nln(2n) .

1. Montrer que

VA(v) = n

−

√3 2 ; −1

2; 1 2;

√3 2

o . Que valent lim infv et lim supv ?

2. D´eterminerVA(w).

3. Calculer lim supx.

4. D´eterminer lim sup√ⁿ y_n.

Exercice 3. : (14 pts). Soit g₁ :R−→R etg₂ :R−→Rdonn´ees par g₁(x) = x⁴ + 4x³ + 30x² − 17x + 3 et g₂(x) =

Z x 0

Arctan (t)dt . 1. Montrer que g₁ et g₂ sont convexes sur R.

2. Soit f : R −→ R une fonction convexe. Pour a ∈ R, soit ϕ_a : R\ {a} −→ R la fonction donn´ee par

ϕ_a(x) = f(x)−f(a)

x−a . (1)

a. Soita ∈R. Montrer que la fonction ϕ_a admet une limite en −∞, not´ee lim

−∞ϕ_a, qui appartient `a R∪ {−∞}. Montrer que la fonction ϕ_a admet une limite en +∞, not´ee lim

+∞ϕ_a, qui appartient `aR∪ {+∞}.

b. Soit a∈R. Montrer que lim

−∞ϕ_a = lim

−∞ϕ₀ et lim

+∞ϕ_a= lim

+∞ϕ₀.

c. On suppose quef estk-lipschitzienne pour unk ≥0. Montrer que lim

−∞ϕ₀ ∈R, lim+∞ϕ₀ ∈Ret −k ≤lim

−∞ϕ₀ ≤lim

+∞ϕ₀ ≤k.

d. On suppose que lim

−∞ϕ₀ ∈ R et lim

+∞ϕ₀ ∈ R. Soit k ≥ max(|lim

−∞ϕ₀|;|lim

+∞ϕ₀|).

Poura < b, montrer que

lim−∞ϕ₀ ≤ f(b)−f(a)

b−a ≤ lim

+∞ϕ₀. (2)

(Indication : on pourra utiliser 2.b.) En d´eduire que f estk-lipschitzienne.

3. Soitϕ₀ la fonction donn´ee par (1) avecf =g₁ eta = 0. D´eterminer lim

−∞ϕ₀ et lim

+∞ϕ₀. 4. Soitϕ₀ la fonction donn´ee par (1) avecf =g₂ eta = 0. D´eterminer lim

−∞ϕ₀ et lim

+∞ϕ₀. (Indication : on pourra utiliser une int´egration par parties.)

5. La fonctiong₁ est-elle lipschitzienne ?

6. Montrer queg₂est lipschitzienne et d´eterminer le minimum de l’ensemble desk ∈R⁺ tels que g₂ est k-lipschitzienne.

Exercice 4. : (13 pts). On consid`ere la partieA de R d´efinie par A =

p + 1

q; p∈Z, q∈N^∗

.

1. Montrer 1/2 est un point isol´e de A. Montrer que 7/2 est un point isol´e de A.

2. Montrer que 0 est un point d’accumulation de A.

3. Montrer que Z⊂A.

4. Montrer que, pour toutp∈Z, pest un point d’accumulation de A.

5. Soitp∈Z etq ∈Navec q≥2. Montrer que p+ (1/q) est un point isol´e de A.

6. Montrer que A est ferm´ee.

7. Quel est l’int´erieur ˚A deA ? 8. La partieA est-elle compacte ?

9. D´eterminer l’ensemble A⁰ des points d’accumulation de A.

Fin de l’´epreuve.