MT09 - P04 - Partiel
Dur´ee 2 heures.
Seul le polycopi´e Scilabest autoris´e. Les machines `a calculer sont interdites.
La r´edaction est tr`es importante, r´edigez et justifiez clairement vos r´eponses ou d´emonstrations ! On peut utiliser le r´esultat des questions que l’on n’a pas trait´ees
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R´edigez chaque exercice sur une copie s´epar´ee.
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Questions de cours (bar`eme approximatif : 6 points) CHANGER DE COPIE
1. Quand a-t-on existence et unicit´e de la solutionx du syst`eme Ax=b, o`u A est une matrice deMn,n(IR) et b∈IRn?
2. Calculer pas `a pas la d´ecomposition LU de la matrice
A=
2 1 −2 4 5 −3
−2 5 3
.
Cette matrice admet-elle une d´ecomposition LDL>?
3. A quelles conditions une matrice A admet-elle une d´ecomposition de Choleski ? ´Enoncer le th´eor`eme correspondant.
4. D´efinir le rayon spectral d’une matrice carr´eeA. Expliquer le lien entre rayon spectral et une norme matricielle que l’on pr´ecisera.
5. Soit{t0, t1, t2, t3} une famille de quatres r´eels distincts.
(a) Donner la base de Lagrange (L0,L1,L2,L3) associ´ee `a cette famille.
(b) Soit{y0, y1, y2, y3}quatres r´eels. Trouver un polynˆomeptel quep(ti) =yi,∀i= 0, . . . ,3.
(c) Montrer qu’il existe un unique polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3 poss´edant la propri´et´e pr´ec´edente.
Exercice 1 (bar`eme approximatif : 7 points) CHANGER DE COPIE
1. SoitA∈ Mn,n(IR) une matrice triangulaire sup´erieure bidiagonale, c’est-`a-dire de la forme
d1 s1 0 . . . 0 0 d2 s2 . .. ... ... . .. ... . .. 0 ... . .. ... dn−1 sn−1 0 . . . 0 dn
(a) ´Ecrire un algorithme pour r´esoudre le syst`eme Ax = b, avec b ∈ IRn donn´e, et cal- culer sa complexit´e (on pr´ecisera le nombre de multiplications/divisions, et le nombre d’additions/soustractions).
(b) ´Ecrire la proc´edureScilabcorrespondante :
function [x]=bidiag(d,s,b)
2. Soit u une fonction 3 fois continˆument d´erivable. A l’aide d’un d´eveloppement de Taylor de u(x+h), montrer qu’une approximation de u0(x) est donn´ee par
u0(x)≈ u(x+h)−u(x)
h . (1)
Pr´eciser l’ordre de grandeur de l’erreur commise en rempla¸cantu0(x) par cette approximation.
3. Soitf etgdeux fonctionsC∞connues, etαune constante donn´ee. On recherche une fonction ud´efinie sur [0,1], de classeC2, solution de l’´equation diff´erentielle
u0(x) +g(u(x)) = f(x) pour x∈[0,1[,
u(1) = α. (2)
Pour r´esoudre ce probl`eme, on discr´etise le segment [0,1]. n´etant donn´e, on d´efinit h= n1 et on posexk=kh, pourk= 0, . . . , n.
(a) On note vk une approximation de u(xk). En ´ecrivant (2) en chaque point xk, puis en utilisant l’approximation (1) pour approcheru0(x), ´ecrire le syst`eme v´erifi´e par les (vk).
On le mettra sous la formeF(v) = 0 o`u v= (v0, . . . , vn−1)>.
(b) D´ecrire les ´etapes principales de l’algorithme de Newton pour r´esoudre ce probl`eme. On explicitera en particulier la matrice du syst`eme `a r´esoudre `a chaque it´eration.
4. On dispose des fonctionsScilabsuivantes :
– function [x]=bidiag(d,s,b) de la question 1b.
– function [F]=calcule-F(v)calculant F(v).
– function [DF]=calcule-DF(v)calculant DF(v).
Ecrire une fonction´ Scilab
[v,k]=Newton(v0,eps,Nmax)
mettant en œuvre l’algorithme de Newton dans la cas d’une matriceDFtriangulaire sup´erieure bidiagonale, et o`u
– vest la solution (si on a converg´e) de F(v) = 0, – kest le nombre d’it´erations effectu´ees,
– v0 est un vecteur initial,
– epsest la pr´ecision utilis´ee pour le test d’arrˆet. On pourra tester par exemple si kv(k+1)−v(k)k22
kv(k+1)k22
< ε, – Nmax est un nombre maximum d’it´erations.
Pour arrˆeter l’ex´ecution de la fonction en cas de convergence, vous pouvez utiliser la com- mandereturn.
Lorsque le nombre maximal d’it´erations est atteint avant que la pr´ecision voulue ne soit obtenue, afficher un message d’erreur signalant que la m´ethode de Newton n’a pas converg´e.
5. Apr`es ex´ecution de la fonction pr´ec´edente, en supposant que la m´ethode a converg´e, comment obtient-on la valeur approch´ee de u(0) ?
Exercice 2 (bar`eme approximatif : 7 points) CHANGER DE COPIE Les questions 1, 2 et 3 sont ind´ependantes..
1. (a) Soientαetβdeux complexes avec|α| 6= 1 etf la fonction d´efinie surCparf(z) =αz+β.
Soitu la suite d´efinie par r´ecurrence parun+1=f(un) et u0 ∈C. Montrer que
|un+k−un| ≤ |α|n1− |α|k
1− |α| |u1−u0|, k >0.
En d´eduire que, sous certaines conditions (que l’on explicitera) sur α et β, cette suite est convergente et pr´eciser sa limite.
(b) Soient (α1, β1) et (α2, β2) deux couples v´erifiant les conditions pr´ec´edemment trouv´ees.
Soientu1 etu2 les suites construites `a partir de (α1, β1) et (α2, β2) de limitesl1 etl2. A quelles conditions peut-on dire queu1 converge plus vite versl1 queu2 vers l2?
2. Pour r´esoudre le syst`eme lin´eaireAx=bavec A=
1 2 2 3
etb= 3
5
,
on consid`ere la m´ethode it´erative suivante
x(k+1) =B(ω)x(k)+g(ω), k≥0, avec x(0) donn´e, o`uω est un param`etre r´eel et
B(ω) = 1 4
2ω2+ 2ω+ 1 −2ω2+ 2ω+ 1
−2ω2+ 2ω+ 1 2ω2+ 2ω+ 1
.
Expliquer pourquoi on doit n´ecessairement prendre g(ω) = I−B(ω)
A−1b= 1
2 −ω
1 2 −ω
.
Pour quelles valeurs deω, cette m´ethode est-elle convergente ? D´eterminer le meilleur choix deω, c’est-`a-dire celui pour lequel la suitex(k) converge le plus vite possible.
3. SoitA une matrice de Mn,n(IR) et b∈IRn.
(a) Donner la d´efinition d’une norme matricielle subordonn´ee `a une norme vectorielle.
On veut montrer que
kAk1 = max
1≤j≤n n
X
i=1
|aij|. i. Montrer que
kAxk1
kxk1 ≤ max
j=1,... ,nkAjk1.
ii. En choisissant un vecteur x particulier, montrer que l’on a l’´egalit´e. En d´eduire le r´esultat recherch´e.
(b) On d´ecompose la matrice Asous la forme A=D−E−F avec – Dmatrice diagonale,
– E triangulaire inf´erieure, – F triangulaire sup´erieure.
Soitω un param`etre r´eel. On consid`ere la suite de vecteurs de IRn d´efinie par la donn´ee dex0 et par
(D−ωE)x(k+1)=Dx(k)+ω
b+ (−D+F)x(k) . Cette suite correspond `a une relaxation de la m´ethode de Gauss-Seidel.
i. Donner une condition n´ecessaire et suffisante de convergence de cette suite.
ii. Vers quoi converge-t-elle si cette condition est satisfaite ?
iii. Comment choisir le param`etreωpour que la convergence soit le plus rapide possible (on ne demande pas de calculerω) ?
