Troisi` eme Exercice - Int´ egrales - 4 points

Universit´ e de Cergy-Pontoise Janvier 2009

L1-SV Math´ ematiques pour les Sciences L1

Premi`ere session - Dur´ee 2 heures, documents et calculatrices interdits

Premier Exercice - Nombres complexes - 5 points

Soitule nombre complexeu=√ 3 +i.

1. Calculeru²,u³ et _u¹.

2. Montrer queuest une des solutions de l’´equation : z²−2√

3z+ 4 = 0 Quelle est l’autre solution ?

3. Mettre usous forme trigonom´etrique. En d´eduire la valeur deu⁶.

Deuxi` eme Exercice - Fonctions - 5 points

Soitf la fonction d´efinie par :

f(x) = x−1 lnx

1. Justifier que l’ensemble de d´efinition def estD=]0,1[∪]1,+∞[.

2. Calculer les limites suivantes :

x→0limf(x), lim

x→1f(x), lim

x→+∞f(x) 3. On poseg(x) =f(x²). Calculer la d´eriv´ee def puis la d´eriv´ee deg.

Troisi` eme Exercice - Int´ egrales - 4 points

(questions ind´ependantes)

1. Calculer les int´egrales suivantes

I= Z 3

0

xdx x²+ 1

J = Z ^π₂

0

cos(3x)dx 2. Calculer, au moyen d’une int´egration par parties, l’int´egrale

K= Z e

1

x³lnxdx

Quatri` eme Exercice - ´ Equations diff´ erentielles - 6 points

1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle

y⁰⁰+ 2y⁰−3y= 0 2. On consid`ere maintenant l’´equation diff´erentielle :

(x+ 1)y⁰+ 2y=x+ 1 (E) (a) R´esoudre l’´equation sans second membre surI=]−1,+∞[.

(b) Trouver une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete surI, par la m´ethode de variation de la constante.

(c) Trouver toutes les solutions de l’´equation (E).