Universit´ e de Cergy-Pontoise Mai 2009
M2 Licence MPI Premi` ere ann´ ee
Premi`ere session - Dur´ee 3 heures, documents interdits
Premier exercice - 3 points
SoitA l’ensemble des matrices deM2(R) d´efini par : A =
M ∈ M2(R)| ∃(a, b)∈R2, M = a b
b a
1. Montrer que la somme de deux ´el´ements deA est un ´el´ement de A. V´erifier queA est un groupe pour l’addition. Quel est l’´el´ement neutre pour l’addition ?
2. Montrer que le produit de deux ´el´ements de A est un ´el´ement deA et v´erifier que A contient la matriceI2=
1 0 0 1
.
3. En conclure que (A,+,×) est un anneau.
Second Exercice - 3 points
Pour (a, b)∈R2, on consid`ere le polynˆome
P(X) =X4+ 2X3+aX2+ 4X+b
1. `A quelle condition sur (a, b) le nombre−1 est-il racine du polynˆomeP(X) ?
2. CalculerP0(−1). Montrer que−1 est racine double deP(X) si et seulement sia= 3 etb= 2.
3. En d´eduire une factorisation de
X4+ 2X3+ 3X2+ 4X+ 2.
et donner toutes ses racines complexes.
Probl` eme 1 - 7 points
SoitEun espace vectoriel de dimension 4, de baseB= (e1, e2, e3, e4). On consid`ere l’endomorphisme f deE dont la matrice dans la baseB est :
D=
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 0
1. D´eterminer le noyau def. On v´erifiera qu’il est de dimension 2 et on en donnera une base (e01, e02).
2. Quel est le rang def?
3. Soient e03 le vecteur dont les coordonn´ees dans la base B sont
1 1 1 1
et e04 le vecteur dont les
coordonn´ees dans la baseBsont
1
−1
−1 1
. D´eterminerf(e03) etf(e04).
4. Montrer queB0= (e01, e02, e03, e04) est une base deE et ´ecrire la matrice de passage deB `aB0. 5. ´Ecrire la matrice de l’endomorphismef dans la baseB0. On s’efforcera de faire le moins de calcul
possible.
Probl` eme 2 - 7 points
1. SoitAla matrice deM3(R) donn´ee par :
A=
0 0 1 1 0 0 0 1 0
CalculerA2 et v´erifier queA3=I3. 2. On d´efinit une matriceB par :
B=A2+A+I3
CalculerB.
3. On d´efinit l’ensemble des matricesC par :
C ={C∈ M3(R)|CB=BC= 0}
(o`u 0 d´esigne la matrice nulle deM3(R).) Montrer queA−I3est un ´el´ement deC. 4. Montrer queC est un sous-espace vectoriel deM3(R).
5. Montrer queBC= 0 si et seulement si la somme des ´el´ements de chaque colonne deC est nulle. `A quelle condition a t-onCB= 0 ?
6. Trouver tous les ´el´ements deC. Donner une base de C.
