Corrig´ e de l’examen final de physique statistique du 20/05/2016

L3 et Magist` ere de physique fondamentale Henk Hilhorst & Christophe Texier

Corrig´ e de l’examen final de physique statistique du 20/05/2016

1 Capacit´ e calorifique d’un solide amorphe

1/ z _n = 1 + e ^−βε

et Z =

N

Y

n=1

1 + e ^−βε

(syst` emes ind´ ependants).

Les syst` emes ` a deux niveaux sont fix´ es dans l’espace ⇒ pas de facteur 1/N ! 2/ Energie libre : ´ F = −k _B T ln Z = −k _B T

N

X

n=1

ln 1 + e ^−βε

Energie moyenne : ´ E

= − ∂ ln Z

∂β =

N

X

n=1

ε _n e ^βε

+ 1 . D’o` u la capacit´ e calorifique C V = ∂E

∂T = k B N

X

n=1

(βε n ) ² e ^βε

(1 + e ^βε

) ² . On peut encore ´ ecrire la capacit´ e calorifique comme une somme C _V = k _B P N

n=1 c(βε _n ), o` u c(x) = x/2 ch(x/2)

2

est reli´ ee ` a la capacit´ e calorifique d’un unique syst` eme ` a 2 niveaux.

Pour N = 1 syst` eme ` a 2 niveaux on obtient les comportements limites :

• C _V ' k _B (ε 1 /k _B T ) ² e ^−ε

^/k

^T pour T → 0 (le comportement C _V ∼ e ^−ε

^/k

^T est caract´ eristique d’un spectre gap´ e).

• La capacit´ e calorifique d´ ecroˆıt ´ egalement aux hautes temp´ eratures, C V ' k B (ε 1 /2k B T ) ² ∼ 1/T ² , ce qui est li´ e ` a l’existence d’une ´ energie maximale, i.e. traduit la saturation de l’´ energie ` a haute temp´ erature (` a haute temp´ erature, les deux ´ etats sont ´ equiprobables et E

' ε ₁ /2).

3/ Le membre de droite est la moyenne de f (y) par rapport ` a P (y). Selon le membre de gauche de cette ´ egalit´ e, on obtient cette moyenne ´ egalement en tirant des y _i au hasard de la loi P , en calculant pour chacun f (y i ), et en d´ eterminant la moyenne pour un nombre N de tirages qui devient infiniment grand.

Autrement dit : on utilise l’application du th´ eor` eme de la limite centrale (1/N ) P

i f (y i ) → f (y)

`

a des fluctuations O(1/ √

N ) → 0 pr` es.

4/ C _V = N k _B Z ∞

0

dε P (ε) (βε) ² e ^βε (1 + e ^βε ) ²

5/ On analyse le comportement de la capacit´ e calorifique ` a basse temp´ erature : C _V = N k B

β Z ∞

0

dη P η

β

η ² e ^η

(1 + e ^η ) ² = N k B

β Z ∞

0

dη

P (0) + η

β P ⁰ (0) + . . .

η ² e ^η (1 + e ^η ) ²

= N k B T P (0) Z ∞

0

dη η ² e ^η (1 + e ^η ) ²

| {z } coeff. num.

+ O(T ² )

On obtient donc un comportement lin´ eaire en temp´ erature, C _V ∝ T pour T → 0.

6/ (i) Ind´ ependamment du calcul de cet exercice, on voit sur la figure que la contribution des phonons ` a C <sub>V</sub> (le pointill´ e, pente = 3 en accord avec Debye), du moins dans le r´ egime des temp´ eratures de 0.25 ` a 0.5 K, est un ordre de grandeur plus petite que la capacit´ e calorifique totale mesur´ ee.

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(ii) On voit que C V se comporte en C V ∝ T ^α avec α = 1.22 ` a 1.30. Ceci s’approche du comportement lin´ eaire, C _V ∝ T (pente = 1), trouv´ e dans l’exercice. On peut qualifier cet accord de “satisfaisant” ou d’“insuffisant”, selon la pr´ ecision que l’on exige d’une th´ eorie.

2 Condensation de Bose-Einstein et fluctuations

A. Question de cours.– On retrouvait la distribution de Bose-Einstein n _λ = 1

β

∂ ln ξ _λ

∂µ = 1

e ^β(ε

^−µ) − 1

avec µ < ε 0 . On trouvera dans les notes de cours la d´ emonstration de Var(n _λ ) = 1

β ²

∂ ² ln ξ λ

∂µ ² = 1 β

∂n λ

∂µ = e ^β(ε

^−µ)

e ^β(ε

^−µ) − 1 2 = n _λ (1 + n _λ ) .

B. Condensation dans un puits harmonique.– On consid` ere N atomes ` a temp´ erature T dans un puits harmonique 3D.

1/ Si T diminue ` a N fix´ e, on a vu en TD qu’il existe une temp´ erature finie, T <sub>BE</sub> , ` a laquelle le potentiel chimique atteint sa limite sup´ erieure autoris´ ee, µ = ε ⁻ ₀ = 0 ⁻ . En dessous de cette temp´ erature, un nombre macroscopique de bosons s’accumulent dans l’´ etat individuel fonda- mental, i.e. n ₀ = O(N ).

2/ L’expression grand canonique pour le nombre moyen de bosons est N

= X

λ

n _λ

On admet qu’elle d´ ecrit ´ egalement la situation canonique ` a la limite thermodynamique, N

→ N . Si le spectre des ´ etats individuels est tr` es dense (d´ ecrit par une densit´ e d’´ etats), on peut remplacer la somme par une int´ egrale P

λ −→ R

dε ρ(ε). Pour T < T _BE , il faut cependant singulariser la contribution du fondamental, n 0 (T ), qui devient macroscopique, alors que le nombre moyen de bosons excit´ es N _e (T) s’exprime encore comme “un nombre macroscopique de contributions microscopiques” :

N = n ₀ (T ) + Z ∞

0

dε ρ(ε) 1

e ^βε − 1 pour T 6 T _BE (i.e. µ = 0) En utilisant l’annexe on obtient N _e (T ) = ζ(3)(k _B T / ~ ω) ³ .

T = T BE est la temp´ erature en de¸ ca de laquelle n 0 devient macroscopique ; cependant il peut encore ˆ etre consid´ er´ e microscopique ` a la transition, i.e. on peut ´ ecrire n <sub>0</sub> (T <sub>BE</sub> ) = 0 et N <sub>e</sub> (T <sub>BE</sub> ) = N d’o` u T BE =

N/ζ(3) 1/3

~ ω/k B .

3/ La fraction condens´ ee est n ₀ (T )/N = 1 − (T /T _BE ) ³ pour T 6 T _BE (et nulle au del` a).

4/ Fluctuations.

a/ La variance du nombre de bosons excit´ es est la somme des variances (les ´ etats sont ind´ ependants et le condensat joue le rˆ ole de r´ eservoir pour les bosons excit´ es)

∆N _e ² = X

λ>0

Var(n _λ ) = X

λ>0

n _λ (1 + n _λ ) = X

λ>0

e ^βε

(e ^βε

− 1) ² =

Z ∞

0

dε ρ(ε) e ^βε (e ^βε − 1) ² On a utilis´ e que µ = 0.

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b/ Une I.P.P. donne

∆N _e ² = 1 ( ~ ω) ³ β

Z ∞

0

dε ε

e ^βε − 1 = ζ (2) k B T

~ ω 3

= N ζ(2) ζ(3)

T T _BE

3

c/ Puisque N = n 0 + N e est fix´ e, on a Var(n 0 ) = Var(N − N e ) = Var(N e ). En collectant les r´ esultats nous d´ eduisons :

∆n ₀ n ₀ =

s ζ (2) N ζ(3)

τ ^3/2

1 − τ ³ avec τ

= T

T _BE . (7)

Les fluctuations relatives divergent en approchant la temp´ erature critique :

∆n 0

n 0

∼ 1

T BE − T pour T → T _BE ⁻

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

T/T

n

/N Δn

/n

Pour en savoir plus : cette analyse a ´ et´ e propos´ ee dans l’article :

H. David Politzer,

Condensate fluctuations of a trapped, ideal Bose gas

, Phys. Rev. A 54, 5048 (1996).

Une analyse plus soigneuse a ´ et´ e faite dans :

M. Holthaus, E. Kalinowski and K. Kirsten,

Condensate fluctuations in trapped Bose gases : canonical vs. microcanonical ensemble

, Ann. Phys. 270, 198 (1998).

3 Ferromagn´ etisme itin´ erant et mod` ele de Stoner

A. Gaz de fermions libres sans spin.– La densit´ e d’´ etats int´ egr´ ee est donn´ ee par le calcul semi-classique : Φ(ε) = _h ^V

4π

3 (2mε) ^3/2 , d’o` u la densit´ e d’´ etats par unit´ e de volume et par spin ρ(ε) = _4π ¹

2m

~

3/2 √ ε.

2/ A ` T = 0, l’´ energie de Fermi est donn´ ee en ´ ecrivant N = Φ(ε <sub>F</sub> ) d’o` u ε _F = _2m ^~

(6π ² n) ^2/3 . 3/ L’´ energie du gaz est donn´ ee par E 0 = V R ε

0 dε ρ(ε) ε, d’o` u E 0 (n) = 3

5 n ε F = 3(6π ² ) ^2/3 10

~ ² m n ^5/3 .

B. ´ Electrons en interaction dans l’approximation de champ moyen.

1/ [U ] = [´ energie] × [volume] d’o` u [`] = [longueur].

2/ Il suffit d’introduire n ↑ = n (1 + M )/2 et n ↓ = n (1 − M )/2 dans E (n ↑ , n ↓ ) = E 0 (n ↑ ) + E 0 (n ↓ ) + U n ↑ n ↓ .

3/ On suit une approche variationnelle : on a exprim´ e le param` etre M , qu’on a suppos´ e a priori non nul, puis on introduit un crit` ere (minimisation de l’´ energie) pour d´ eterminer le param` etre

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a posteriori. On se limitera ici au r´ egime M 1.

a/ En utilisant le d.l. on obtient

E (n ↑ , n ↓ ) = 2 E 0 (n/2) + 2 × 3 ⁴ (3π ² ) ^2/3 ~ ² n ^5/3 m

h

3(1 − ` n ^1/3 ) M ² + M ⁴ + O( M ⁶ ) i

b & c/ On voit donc que la densit´ e d’´ energie est de la forme E ' const+(· · · ) ^~

ⁿ _m

a M ² + M ⁴ o` u a = 3(1 − ` n ^1/3 ) peut changer de signe en fonction de la valeur de ` n <sup>1/3</sup> . La valeur critique de l’interaction est simplement reli´ ee ` a la densit´ e : ` _c = n ^−1/3 .

Si l’interaction est faible, ` < ` c , le minimum de l’´ energie est M = 0 : le m´ etal est dans une phase paramagn´ etique.

Si l’interaction est sup´ erieure au seuil, ` > ` _c , l’´ energie a deux minima en M = ± p

−a/2 6= 0 : le m´ etal est dans une phase ferromagn´ etique (il est aimant´ e en l’absence de champ magn´ etique ext´ erieur).

-1.0 -0.5 0.5 1.0ℳ

0.5 1.0 1.5

a>0

-1.0 -0.5 0.5 1.0ℳ

-0.1 0.1 0.2 a<0

Para Ferro

Remarque : au del` a de la transition de Stoner (` > `

), dans la phase ferromagn´ etique, le syst` eme “choisit”

un des deux minima (dans la pratique ce choix d´ epend de la fa¸ con dont le syst` eme passe la transition). Le syst` eme est alors dans un ´ etat qui brise la sym´ etrie M ↔ − M du probl` eme (le profil d’´ energie est sym´ etrique). Ce ph´ enom` ene de

brisure spontan´ ee de sym´ etrie

est g´ en´ erique et caract´ eristique de nombreuses transitions de phase.

d/ U c ∼ 1/ρ(ε F ).

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