Universit´e Pierre et Marie Curie
Corrig´ e examen LM216
14 Juin 2010
Exercice 1 : On peut par exemple utiliser le changement de variable sph´eriquex=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z =rcosθ. Parcourir l’ensemble E revient `a faire varier (r, θ, φ) dans [0,1]× [0, π/2]×[0, π/2].
a) Par ce changement de variable on a
|E| =R R R
E1dxdydz=R1 0
Rπ/2 0
Rπ/2
0 r2sinθ dφ dθ dr
= π2 R1 0
Rπ/2
0 r2sinθ dθ dr = π2 R1
0 r2dr= π6.
b) On remarque que par symm´etrie des variables x, y et z dans la d´efinition de E on a I = J =K. On calcule par exemple
K =R R R
Ez dxdydz =R1 0
Rπ/2 0
Rπ/2
0 r3sinθcosθ dφ dθ dr
= π4R1 0
Rπ/2
0 r3sin(2θ)dθ dr= π4 R1
0 r3dr = 16π.
Exercice 2 : On peut par exemple utiliser la formule de la divergence Z
Γ
g(x, y)·n(x, y)ds = Z
Ω
div(g(x, y))dxdy
a) Dans le cas pr´esent on a div(g(x, y)) = 2, et par cons´equent F = 2|Ω|.
b) On trouve ais´ement |Ω|=π/2 (demi-disque unit´e). Par cons´equentF =π.
Exercice 3 : a) En remarquant que xy6 12(x2+y2) on peut ´ecrire x2+y2−xy> 1
2(x2+y2).
Par cons´equent x2 +y2 −xy est un polynˆome strictement positif sur l’ouvert U, on peut la composer la fonction ln.
b) La fonction ln est C∞ sur ]0,+∞[ et la fonction f ainsi obtenue est de classe C∞ par composition.
c) Cherchons les points critiques def surU. On voit que ∇f(x, y) = (x2+y2x−y2−xy,x2+y2y−x2−xy). Par cons´equent le gradient est nul si et seulement si 2x−y= 2y−x= 0. Ce syst`eme n’admet que (0,0) comme solution et par cons´equent il n’y a pas de point critique dans U. Commef est de classeC1 surU ses extr´emas locaux devraient ˆetre des points critiques, et on en d´eduire que f n’a pas d’extr´emas locaux sur U.
d) L’ensemble A est compact et f est continue, par cons´equent elle admet un maximum et un minimum global sur A. Comme A ⊂ U ces points ne sont pas des points critiques, ce qui implique qu’ils sont n´ecessairement situ´es sur la fronti`ere de A, c’est `a dire sur les cercles de rayon 1 ou √
2.
e) On cherche `a appliquer le th´eor`eme des fonctions implicites. Pour cela il faut la condition
∂f
∂y(x0, y0)6= 0 c’est `a dire 2y0 −x0 6= 0. Comme d’autre part l’´equation f(x, y) = 0 ´equivaut
`
a x2 +y2−xy = 1, les seuls points o`u on ne peut pas appliquer le th´eor`eme sont les points (2y0, y0) avec (2y0)2+y20−2y02 = 1 c’est `a direy0 =±√13. A l’exception des points (√23,√13) et (−√2
3,−√1
3), on peut donc affirmer que pour tout point (x0, y0) ∈E, il existe deux intervalles ouverts I et J contenant respectivement x0 et y0, et une fonction g de classe C1 allant de I dans J telle que pour tout (x, y)∈I×J on a
f(x, y) = 0⇔y =g(x).
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LM216A Albert Cohen
