Examen de Physique des Particules 1 — Corrig´e

UGA - Master 2 Physique Subatomique et Cosmologie 21 novembre 2018, dur´ee 3h

Examen de Physique des Particules 1 — Corrig´e

Particle Physics Booklet et notes de cours/TD autoris´es

Exercice 1 : La diffusione⁻e⁺→qq¯polaris´ee

Nous ´etudions dans la suite le processuse⁻(p1, h1) +e⁺(p2, h2)→γ^∗ →q(p⁰₁) + ¯q(p⁰₂).

Les fermions dans l’´etat initial sont polaris´es avec une h´elicit´eh1,h2 =fixe (h1, h2 ∈ {−1,+1}). Par cons´equent, aucune somme/moyenne sur les spins initiaux n’est effectu´ee. Par contre, les quarks ne sont pas polaris´es et il faut effectuer une somme sur les spins dans l’´etat final.

On utilise pour un (anti-)fermion polaris´e avec impulsion p, masse m et helicit´e fixe h = +1,−1 les operateurs de projection suivants :

u(p, h)¯u(p, h) = (p/+m)1

2(1−hγ5), (1)

v(p, h)¯v(p, h) = (p/−m)1

2(1 +hγ5). (2)

On retrouve les relations de fermeture usuelles lorsqu’on somme surh: X

h

u(p, h)¯u(p, h) = (p/+m), (3)

X

h

v(p, h)¯v(p, h) = (p/−m). (4)

Pour simplifier les calculs onn´egligera les masses des ´electrons et quarks.

a) Tracez le(s) diagramme(s) de Feynman (`a leading order) en indiquant toutes les informations pertinentes et donnez l’´el´ement de matriceMf i.

b) Calculez le carr´e de l’´el´ement de matrice|Mf i|²(en effectuant la somme sur les spins et couleurs des quarks) en fonction des variables de Mandelstam et des h´elicit´esh1, h2.

c) Pr´ecisez alors la section efficacedσ/dten fonction des, t, h1, h2.

d) D´eterminez les variables de Mandelstam dans le ref´erentiel du CMS et donnez la section efficace dσ/dΩ^∗ en fonction des, θ^∗, h1, h2 dans ce r´ef´erentiel.

e) Utilisez le r´esultat en c) ou d) pour obtenir la section efficace totaleσ(h1, h2).

f) Comment peut-on utiliser le r´esultat en e) pour obtenir la section efficace non-polaris´eeσ? Est- ce que le r´esultat pour σ ainsi obtenu correspond `a vos attentes ? Comparez avec le processus e⁻e⁺ →e⁻e⁺.

g) Trouvez la section efficace pour une exp´erience o`u 80% des ´electrons ont une h´elicit´e gauche (he⁻ = −1), 20% une helicit´e droite (he⁻ = +1), 60% des positrons une h´elicit´e droite (he⁺ = +1) et 40% une helicit´e gauche (he⁺ =−1).

Exercice 1a) Diagramme :

On a

−iMf i =

¯

us⁰₁(p⁰₁)ieeqγ^µvs⁰₂(p⁰₂)

−igµν

s

[¯vh2(p2)ieγ^νuh1(p1)]

Mf i =−e²eq

s

u¯s⁰₁(p⁰₁)γ^µvs⁰₂(p⁰₂)

[¯vh2(p2)γµuh1(p1)]

avecs= (p1+p2)². Exercice 1b)

M_{f i}^∗ =Mf i=−e²eq

s [¯uh1(p1)γνvh2(p2)]

¯

vs⁰₂(p⁰₂)γ^νus⁰₁(p⁰₁)

|Mf i|² = e⁴e²_q

s² {u¯s⁰₁(p⁰₁)γ^µvs⁰₂(p⁰₂)¯vs⁰₂(p⁰₂)γ^νus⁰₁(p⁰₁)}{¯vh2(p2)γµuh1(p1)¯uh1(p1)γνvh2(p2)}

|Mf i|² = X

couleurs

X

s⁰₁,s⁰₂

|Mf i|² =Nc

e⁴e²_q 4s² T r1µν

T r2µν

avec

Tr1µν

= Tr{γ^µp/⁰₂γ^νp/⁰₁}= 4(p⁰₂^µp⁰₁^ν+p⁰₁^µp⁰₂^ν −g^µνp⁰₁·p⁰₂) Tr2µν = Tr{γµp/₁(1−h1γ5)γνp/₂(1 +h2γ5}.

On a

Tr2µν = Tr{γµp/₁γνp/₂} −h1Tr{γµp/₁γ5γνp/₂}+h2Tr{γµp/₁γνp/₂γ5} −h1h2Tr{γµp/₁γ5γνp/₂γ5}

=: Tr2(1)

µν −h1Tr2(2)

µν +h2Tr2(3)

µν −h1h2Tr2(4) µν

En utilisant γ5γα = −γαγ5, γ₅² = 1 on voit facilement que Tr2(4) = Tr2(1),Tr2(3) = Tr2(2). Par cons´equent,

Tr2µν = (1−h1h2)Tr2(1)

µν + (h2−h1)Tr2(2) µν . La traceTr2(2) est anti-sym´etrique sous l’´echange deµ↔ν,

Tr2(2)

µν = Tr{γµp/₁γνp/₂γ5}=−4iµναβp^α₁p^β₂ =−Tr2(2) νµ, tandis queTr1 est sym´etrique tel queTr1µνTr2(2)

µν = 0.

La traceTr2(1)

est bien connue du cas non-polaris´e : Tr2(1)

µν = Tr{γµp/₁γνp/₂}= 4(p1µp2ν +p2µp1ν −gµνp1·p2).

On trouve finalement

|Mf i|²(h1, h2) = (1−h1h2)Nce²_q e⁴

4s²T r1µν

T r2(1)

µν = (1−h1h2) |Mf i|²(non-pol)

= (1−h1h2)Nce²_q4e⁴

s² (2p1·p⁰₁p2·p⁰₂

| {z }

=¹₂t²

+ 2p1·p⁰₂p2·p⁰₁

| {z }

=¹₂u²

)

= (1−h1h2)Nce²_q2e⁴ s²

t²+ (s+t)² avec les variables de Mandelstam

s= (p1+p2)² = (p⁰₁+p⁰₂)² = 2p1·p2 = 2p⁰₁·p⁰₂, t= (p1−p⁰₁)² = (p2−p⁰₂)² =−2p1·p⁰₁ =−2p2·p⁰₂, u= (p1−p⁰₂)² = (p2−p⁰₁)² =−2p1·p⁰₂ =−2p2·p⁰₁, s+t+u= 0.

Exercice 1c)

On a (en negligeant les masses des ´electrons et muons) dσ

dt(h1, h2) = 1

16πs²|Mf i|²(h1, h2) = (1−h1h2)dσ dt

non-pol

= (1−h1h2)Nce²_q2πα² s⁴

t²+ (s+t)² .

Exercice 1d)

Dans le r´eferentiel du CMS (en negligeant les masses des ´electrons et muons) : p1 = (E,0,0, E), p2 = (E,0,0,−E), E =

√s 2 ,

p⁰₁ = (E, Esinθ^∗,0, Ecosθ^∗), p⁰₂ = (E,−Esinθ^∗,0,−Ecosθ^∗), t=−s

2(1−cosθ^∗), u=−s

2(1 + cosθ^∗). On a

dσ

dΩ^∗ = dσ dt

dt

2πdcosθ^∗ = s 4π

dσ dt

= (1−h1h2)Nce²_qα²

4s(1 + cos²θ^∗).

Exercice 1e)

σ(h1, h2) = Z t+

t−

dt dσ

dt(h1, h2), t−=−s , t+ = 0

= (1−h1h2)Nce²_q2πα² s⁴

Z 0

−s

dt(t²+ (s+t)²)

| {z }

=²₃s³

= (1−h1h2)Nce²_q4πα² 3s

= (1−h1h2)σ0, avec la section efficace non-polaris´ee

σ0 =Nce²_q4πα² 3s .

Alternativement

σ(h1, h2) = 2π Z 1

−1

dcosθ^∗ dσ

dΩ^∗ = (1−h1h2)Nce²_qπα² 2s

Z 1

−1

dcosθ^∗(1 + cos²θ^∗)

| {z }

=⁸₃

= (1−h1h2)Nce²_q4πα²

3s = (1−h1h2)σ0. Exercice 1f)

Pour obtenir la section efficace non-polaris´ee il faut moyenner sur les helicit´es :

σ = 1 4

X

h1,h2

σ(h1, h2) = 1 4



σ(1,1)

| {z }

=0

+σ(−1,−1)

| {z }

=0

+σ(1,−1)

| {z }

2σ0

+σ(−1,1)

| {z }

=2σ0



=σ0

comme attendu !

Attention : h1, h2 ∈ {−1,1}! On peut dans cet exemple travailler avec des polarisations effectives h1 = h2 = 0 pour obtenir le r´esultat non-polaris´e. Par contre, c’est seulement possible parce que σ(h1, h2) = (1−h1h2)σ(unpol)avec un facteur de polarisation qui multiplie la section efficace non- polaris´ee. Dans d’autres processusσ(h1, h2)a une structure plus compliqu´ee et une telle d´emarche n’est pas possible.

Exercice 1g)

On trouve

σ= 20%∗60%σ(1,1)

| {z }

=0

+80%∗40%σ(−1,−1)

| {z }

=0

+20%∗40%σ(1,−1)

| {z }

2σ0

+80%∗60%σ(−1,1)

| {z }

=2σ0

= 1.12σ0.

Attention : h1, h2 ∈ {−1,1}! On peut dans cet exemple travailler avec des polarisations effectives h1 = 0.8(−1) + 0.2∗1 = −0.6, h2 = 0.6∗1 + 0.4(−1) = 0.2pour obtenir le r´esultat cherch´e. Par contre, c’est seulement possible parce que σ(h1, h2) = (1−h1h2)σ(unpol) avec un facteur de polari- sation qui multiplie la section efficace non-polaris´ee. Dans d’autres processusσ(h1, h2)a une structure plus compliqu´ee et une telle d´emarche n’est pas possible.

Exercice 2 : D´esint´egration du pion charg´e

On consid`ere la d´esint´egration du pion charg´e en leptons. L’amplitude de Feynman associ´ee `a ce pro- cessus est de la forme : |M^{f i}|² = Ak.p⁰, o`uA est une constante etk estp⁰ sont les quadri-impulsions sortantes (voir sch´ema).

l, p

¯ ν

, k π

, p

a) Pr´ecisez tous les modes de d´esint´egration duπ⁻ `a l’ordre le plus bas.

b) Rappelez la formule de l’espace de phasedΦ2 pour deux particules.

c) Donnez l’expression de la largeur partielle diff´erentielle de d´esint´egrationdΓπ⁻→l⁻¯νl. d) D´emontrez que pour un quadri-vecteurk = (k⁰, ~k)aveck² = 0:

Z 1

2Ed³~k= Z

d⁴k δ(k²)θ(k⁰)≡ Z

d⁴k δ+(k²) avecE ≡ω=|~k|.

e) D´eterminez les largeurs partielles de Γπ⁻→l⁻¯νl, en fonction de A et des masses du pion et du lepton. Vous pourrez utiliser le r´esultat de la question pr´ec´edente pour faire disparaˆıtre l’´energie et l’impulsion du neutrino de l’expression obtenue en (b).

f) En d´eduire analytiquement et num´eriquement les rapports d’embranchement du pion en muon et en ´electron, en supposant que la constanteAest identique pour les deux d´esint´egrations.

g) Comparez aux valeurs exp´erimentales. D’o`u vient la diff´erence observ´ee ?

Exercice 2a)

Les modes de d´esint´egration du pions sont limit´es par la cin´ematique. Le pion ´etant le hadron charg´e le plus l´eger seule l’interaction faible permet sa d´esint´egration. Finalement, les seules d´esint´egrations accessibles cin´ematiquement sontπ⁻→µ⁻ν¯µetπ⁻ →e⁻ν¯e.

Exercice 2b)

Pour deux particules finales d’impulsionsp⁰etk: dφ2 = (2π)⁴d³~p⁰d³~k

(2π)³2Ep⁰(2π)³2Ek

= d³~p⁰d³~k 16π²ElEν

Exercice 2c)

La largeur partielle de d´esint´egration dans le r´ef´erentiel au repos du pion, est : dΓ_π⁻→l⁻ν¯l = 1

2mπ|M^{f i}|²dφn= A 32π²mπ

k.p⁰ ElEν

δ⁽⁴⁾(p−p⁰ −k)d³~p⁰d³~k Les r´eponses aux questions4.bet4.cfigurent dans le PDG, paragraph 46 ”Kinematics”.

Exercice 2d)

Z

dkδ+(k²) = Z

dk⁰d³~kδ+(k0k⁰− |~k|²)

= Z

dk⁰d³~kδ+(k0k⁰−E²)

= Z

dk⁰d³~kδ(k0−E) 2E

=

Z d³~k 2E

On utilise ici la propri´et´e de la distribution de Dirac : δ(f(x)) =X

i

δ(x−ai)

|f⁰(ai)| o`uai d´esigne les zeros de la fonctionf. Dans le cas pr´esent :

δ+(k0k⁰−E²) =

δ(k0−E)

2E + δ(k0+E) 2E

θ(k⁰) = δ(k0−E) 2E , la distribution de Heavisideθ(k0)supprimant la contribution n´egativek0 =−E.

Exercice 2e)

En utilisant le r´esultat pr´ec´edent on proc`ede `a l’int´egration de la largeur diff´erentielle : Γπ⁻→l⁻ν¯l = Γl =

Z

dΓπ⁻→l⁻¯νl

= A

32π²mπ

Z k.p⁰ ElEν

δ⁽⁴⁾(p−p⁰−k)d³~p⁰d³~k

= A

16π²mπ

Z k.p⁰ El

δ⁽⁴⁾(p−p⁰−k)δ+(k²)d³~p⁰d⁴k

= A

16π²mπ

Z (p−p⁰).p⁰ El

δ+((p−p⁰)²)

Dans le r´ef´erentiel au repos du pion, les produits de 4-impulsion donnent :

pp⁰ =mπEl , (p−p⁰).p⁰ =mπEl−m²_l , (p−p⁰)² =m²_l +m²_π −2mπEl

L’´element diff´erentield³~p⁰, se r´e´ecrit en coordonn´ees sph´eriques : d³~p⁰ =|~p⁰|²d|~p⁰|dΩ = |~p⁰|EµdEµ avec|~p⁰|² =E_µ²−m² → |~p⁰|d|~p⁰|=EµdEµ.

Finalement, l’expression de la largeur devient : Γl = A

16π²mπ

Z

Elmπ −m²_l

E_l²−m²_l¹₂

δ+(m²_π+m²_l −2Elmπ)dEldΩ

= A

4πmπ

Z

Elmπ −m²_l

E_l²−m²_l¹₂

δ+(m²_π+m²_l −2Elmπ)dEl

= A

4πmπ

Z

Elmπ −m²_l

E_l²−m²_l¹₂ δ+

m²_π+m²_l 2mπ −El

1 2mπ

dEl

= A

8πm²_π

m²_π+m²_l

2 −m²_l m⁴_π+m⁴_l + 2m²_πm²_l 4m²_π −m²_l

¹₂

= A

8πm²_π

(m²_π −m²_l)² 4mπ

Soit finalement :

Γl = Amπ

32π

1− m²_l m²_π

2

Exercice 2f)

Puisque les seuls modes de d´esint´egration du pion sontπ⁻ → µ⁻ν¯µetπ⁻ → e⁻ν¯e, les rapports d’em- branchement sont donn´es par :

BRπ⁻→µ⁻ν¯µ = Γµ

Γµ+ Γe

= (m²_π −m²_µ)²

(m²_π−m²_µ)²+ (m²_π−m²_e)². de mˆeme :

BRπ⁻→e⁻ν¯e = Γe

Γµ+ Γe

= (m²_π −m²_e)²

(m²_π −m²_µ)²+ (m²_π −m²_e)².

L’application num´erique donne :

BRπ⁻→µ⁻ν¯µ = 0.1542 , BRπ⁻→e⁻¯νe = 0.8458 Exercice 2g)

Dans le PDG, on trouve :

BRπ⁻→µ⁻ν¯µ = 0.999877 , BRπ⁻→e⁻¯νe = 0.000123

L’hypoth`ese queAne d´epend pas de la particule est manifestement fausse. Pour cet exercice on ne s’est interess´e qu’`a la partie cin´ematique de la d´esint´egration, qui favorise l’´ecart de masse le plus grand entre particules initiales et finales. Cependant, la d´esint´egration en ´electron est d´efavoris´e par la violation de parit´e des interaction faible : la d´esint´egration du π⁻ conduit `a un lepton charg´e d’h´elicit´e droite. Plus la particule est l´eg`ere, plus son h´elicit´e ´equivaut `a sa chiralit´e, or l’interaction faible par courant charg´e ne se couple qu’aux fermions gauche. On pourrait dire que la d´esintegration du pion en muons estmoins interditeque celle-ci en ´electrons.

De fait on montre queAd´epend de la masse du fermion. En comparant les rapports ^BR_BR^{π−→µ−¯νµ}

π−→e−¯νe = ^Γ_Γ^µ

e, il vient :

_Γ

µ

Γe

mes.

_Γ

µ

Γe

cin.

≈ mµ

me

2

SoitAµ∝m²_µetAe ∝m²_e.

Information suppl´ementaire (hors concurrence)

Plus pr´ecisement l’´el´ement de matrice pour la d´esint´egration du pion charg´e est donn´e par :

−iMf i = GF

√2fπu(p¯ ⁰)(p/⁰+k/)(1−γ5)v(k),

o`uGF = 1.166·10⁻⁵ GeV⁻²est la constante de Fermi etfπ = 130MeV la constante de d´esint´egration du pion. (Attention : selon les conventionsfπpeut ˆetre multipli´e ou divis´e par√

2.) En utilisant l’´equation de Diracu(p¯ ⁰)p/⁰ =mlu(p¯ ⁰),k/v(k) = 0, l’amplitude peut encore ˆetre simplifi´e :

−iMf i= GF

√2fπmlu(p¯ ⁰)(1−γ5)v(k). On peut maintenant calculer le carr´e de l’amplitude :

|Mf i|² = G²_F

2 f_π²m²_lTr[(p/⁰+ml)(1−γ5)k/(1 +γ5)]

= G²_F

2 f_π²m²_lTr[(p/⁰+ml)k/(1 +γ5)²]

=G²_Ff_π²m²_lTr[(p/⁰ +ml)k/(1 +γ5)]

= G²_F

2 f_π²m²_lTr[p/⁰k/] = 4G²_Ff_π²m²_l k·p⁰. On trouve donc bien la forme|Mf i|² =Ak·p⁰ avecA= 4G²_Ff_π²m²_l ∝m²_l.