Corrig´ e S´ erie 23 - Cin´ ematique relativiste
1. Transformations de Lorentz
a) L’intervalle d’espace-temps ∆s2 est d´efini comme la diff´erence entre l’intervalle temporel c2∆t2 et l’intervalle spatial ∆x2 = ∆x2+ ∆y2+ ∆z2, i.e.
∆s2 =c2∆t2− ∆x2 =c2∆t2− ∆x2− ∆y2− ∆z2 , (1) o`u la vitesse de la lumi`ere c est une constante physique qui a ´et´e introduite pour que l’intervalle d’espace-temps s’exprime en unit´es physiques d’espace. Soit deux ´ev´enements E1 etE2param´etris´es par les quadrivecteurs (ct1, x1, y1, z1) et (ct2, x2, y2, z2) respectivement dans un r´ef´erentiel R. L’intervalle d’espace-temps ∆s2 entre ces deux ´ev´enements dans le r´ef´erentiel R s’´ecrit,
∆s2 =c2(t2− t1)2− (x2− x1)2− (y2− y1)2− (z2− z1)2 . (2) On consid`ere un autre r´ef´erentiel R0 qui se d´eplace avec une vitesse de norme v constante dans la direction ex par rapport au r´ef´erentielR.
x z y
x’
y’
z’
v
R R’
Dans le r´ef´erentiel R0 les ´ev´enements E1 et E2 sont param´etris´es par les quadrivecteurs (ct01, x01, y01, z01) et (ct02, x02, y20, z20) respectivement. L’intervalle d’espace-temps ∆s02 entre ces deux ´ev´enements dans le r´ef´erentiel R0 s’´ecrit,
∆s02 =c2(t02− t01)2− (x02− x01)2− (y20 − y01)2− (z02− z01)2 , (3) o`u la vitesse de la lumi`ere est ind´ependante du choix de r´ef´erentiel.
Pour un ´ev´enement E param´etris´e par le quadrivecteur (ct, x, y, z) dans le r´ef´erentiel R et par le quadrivecteur (ct0, x0, y0, z0) dans le r´ef´erentielR0, les composantes des quadrivecteurs sont reli´ees par une transformation de Lorentz de vitesse v dans la direction ex, i.e.
ct0 =γ(ct− βx) x0 =γ(x− βct) y0 =y
z0 =z
(4)
o`u
β ≡ v
c et γ ≡ 1
q 1− vc22
.
En utilisant la transformation de Lorentz (4) pour les ´ev´enementsE1 et E2, et l’identit´e γ2 1−β2
= 1 , (5)
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l’intervalle d’espace-temps (3) devient,
∆s02 =c2(t02−t01)2 − (x02−x01)2− (y02− y10)2− (z20 − z10)2
=γ2
c(t2−t1)− β(x2 −x1)2
− γ2
(x2−x1)− βc(t2−t1)2
− (y2− y1)2− (z2− z1)2
=γ2c2(t2−t1)2− 2γ2βc(t2−t1) (x2−x1) +γ2β2(x2−x1)2
− γ2(x2−x1)2+ 2γ2β(x2−x1)c(t2−t1)− γ2β2c2(t2−t1)2− (y2− y1)2− (z2− z1)2
=γ2 1−β2
c2(t2−t1)2− γ2 1−β2
(x2 −x1)2− (y2− y1)2− (z2− z1)2
=c2(t2−t1)2− (x2−x1)2− (y2− y1)2− (z2− z1)2 (6) En comparant les ´equations (3) et (6), on en conclut que l’intervalle d’espace-temps est invariant du choix de r´ef´erentiel (i.e. un invariant relativiste), i.e.
∆s02 = ∆s2 . (7)
En r´ealit´e, la d´efinition (1) d’intervalle d’espace-temps a ´et´e soigneusement choisie afin d’ˆetre un invariant relativiste. Elle est d´efinie au signe pr`es. En effet, l’oppos´e de l’intervalle
∆s2 est aussi un invariant relativiste. Le choix de ce signe est une convention. Les physiciens des particules privil´egient la d´efinition (1) alors que les astrophysiciens et les cosmologues privil´egient son oppos´e !
b) La transformation de Lorentz peut ˆetre ´ecrite sous forme matricelle comme,
ct0
x0 y0 z0
=
γ −βγ 0 0
−βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ct
x y z
. (8)
Le d´eterminant de la transformation vaut ∆ = γ2(1− β2) = 1. Par cons´equent, la trans- formation matricielle inverse vaut,
ct
x y z
=
γ βγ 0 0
βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ct0
x0 y0 z0
. (9)
La transformation de Lorentz inverse s’´ecrit donc comme,
ct=γ(ct0+βx0) x=γ(x0 +βct0) y=y0
z =z0
(10)
ce qui revient `a changer le signe deβ et de la vitessev de d´eplacement entre les r´ef´erentiels.
Si le r´ef´erentielR0se d´eplace avec une vitessevdans la directionexpar rapport au r´ef´erentiel R alors n´ecessairement le r´ef´erentiel R se d´eplace avec une vitesse −v dans la direction ex par rapport au r´ef´erentiel R0!
c) Soit v, v0 et v00 la norme des vitesses du centre de masse P de l’objet par rapport aux r´ef´erentielsR,R0etR00respectivement. Le r´ef´erentielR0se d´eplace par rapport au r´ef´erentiel R avec une vitesse de norme constante u dans la direction ex. De mani`ere similaire, le r´ef´erentiel R00 se d´eplace par rapport au r´ef´erentiel R0 avec une vitesse de norme constante u0 dans la direction ex.
!
x!
z! y!
x’!
z’! y’!
u!
R! R’!
x’’!
z’’! y’’!
u'!
R’’! P!
Les lois de transformation des vitesses entre les r´ef´erentielsR etR0 et les r´ef´erentielsR0 et R00 sont donn´ees par
v0 = v − u 1− vuc2
, (11)
v00 = v0− u0 1− vc0u20
. (12)
L’objet est au repos dans le r´ef´erentiel R00, i.e.
v00 = 0 . (13)
L’´equation (12) implique alors que,
v0 =u0 . (14)
En substituant l’´equation (14) dans l’´equation (11), celle-ci devient, u0 = v− u
1− vuc2
. (15)
Ainsi, la vitesse v du centre de masse P de l’objet par rapport au r´ef´erentiel R, qui est identique `a la vitesse du r´ef´erentiel R00 par rapport au r´ef´erentiel R, s’exprime comme,
v = u+u0 1 + uuc20
. (16)
2. Contraction relativiste d’une barre
a) Dans le r´ef´erentiel R de la barre, la projection de la barre sur l’axe Ox est de longueur lx et sa projection sur l’axe Oy est de longueur ly tel que l2 = lx2 +l2y. L’angle θ de la barre par rapport `a l’axe horizontal Ox est d´efini comme,
tanθ = ly
lx . (17)
Dans le r´ef´erentielR0 de l’observateur qui se d´eplace selon l’axe horizontal avec une vitesse de norme v, l’obsevateur ne verra pas de changement de longueur dans la direction y. Par cons´equent, la projection de la barre selon l’axeOy dans ce r´ef´erentiel est ´egale `a sa valeur dans le r´ef´erentiel au repos de la barre, i.e.
ly0 =ly . (18)
Soit x1 et x2 les coordonn´ees d’abscisse des extr´emit´es de la barre dans R, et x01 et x02 les coordonn´ees d’abscisse des extr´emit´es de la barre dans R0. La projection de la barre selon l’axeOx dans le r´ef´erentielR vautlx =x2− x1, et la projection de la barre selon l’axe Ox
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dans le r´ef´erentiel R0 vaut l0x = x02 − x01. On d´esire mesurer la longueur de la barre dans le r´ef´erentiel R0 de l’observateur `a un temps t0 donn´e. On doit donc utiliser l’inverse de la transform´ee de Lorentz (x0 = γ(v) (x− vt)) obtenue en permutant les coordonn´ees (x, t) et (x0, t0) et en changeant le signe de la vitesse relative v entre les r´ef´erentiels R etR0, i.e.
x=γ(v) (x0+vt0) , (19)
o`u γ(v) = γ(−v). En utilisant la transform´ee de Lorentz (19) `a un temps t0 = t01 = t02 donn´e,
lx =x2− x1 =γ(v) (x02+vt0)− γ(v) (x01+vt0) =γ(v) (x02− x01) = γ(v)l0x . (20) Dans le r´ef´erentiel R0, l’observateur voit la barre faire un angle θ0 par rapport `a l’axe horizontal Oxd´efini comme,
tanθ0 = l0y
lx0 =γ(v)ly
lx =γ(v) tanθ . (21)
En utilisant l’expression explicite (γ(v) = q
1− vc22
−1
) du facteur γ(v), on trouve la norme de la vitesse v de l’observateur, i.e.
v =c r
1− tan2θ
tan2θ0 . (22)
b) L’expression γ(v) = q
1− vc22
−1
implique que
γ(v)≥1 . (23)
En utilisant l’´equation (21), la condition (23) devient,
tanθ0 ≥tanθ . (24)
Etant donn´e 0< θ < π2, la condition (24) implique que
θ0 ≥θ . (25)
3. El´ement d’hypervolume
a) Les dimensions spatio-temporelles (c∆t,∆x,∆y,∆z) de la boˆıte evalu´ees dans le r´ef´erentiel R o`u elle se d´eplace `a une vitesse de normev constante dans la direction ex sont li´ees aux dimensions spatio-temporelles (c∆t0,∆x0,∆y0,∆z0) dans son r´ef´erentiel au repos R0 par la transformation de Lorentz, i.e.
c∆t0 =γ(c∆t− β∆x)
∆x0 =γ(∆x− βc∆t)
∆y0 = ∆y
∆z0 = ∆z
(26)
En utilisant les r´esultats de l’exercice un, on ´ecrit la transformation de Lorentz inverse comme,
c∆t=γ(c∆t0 +β∆x0)
∆x=γ(∆x0+βc∆t0)
∆y= ∆y0
∆z= ∆z0
(27)
En relativit´e restreinte, deux ´ev´enements simultan´es ou immobiles dans un r´ef´erentiel ne sont pas per¸cus comme tels dans un autre r´ef´erentiel qui se d´eplace `a vitesse constante par rapport au premier. Par cons´equent, les dimensions spatiales et les intervalles de temps ne sont pas des invariants, seuls les intervalles d’espace-temps (1) sont des invariants.
Les dimensions “propres” (∆x0,∆y0,∆z0) de la boˆıte dans le r´ef´erentiel R0 sont d´efinies par une r`egle au repos dans le r´ef´erentiel R0. Les dimensions (∆x,∆y,∆z) de la boˆıte dans le r´ef´erentiel R sont alors mesur´ees `a un instant pr´ecis dans R, i.e.
∆t= 0 . (28)
Par cons´equent, de la transformation de Lorentz (26), on tire la relation de contraction des longueurs (i.e. γ >1), i.e.
∆x= 1
γ ∆x0 . (29)
Un intervalle de temps “propre” c∆t0 de la boˆıte est d´efini par une horloge au repos dans le r´ef´erentiel R0 et situ´ee `a une position pr´ecise, i.e.
∆x0 = 0 . (30)
Par cons´equent, de la transformation de Lorentz inverse (27), on tire la relation de dilatation du temps (i.e. γ >1), i.e.
∆t=γ∆t0 . (31)
Finalement, des relations (26), (29) et (31), on d´eduit que l’´el´ement d’hypervolume est un invariant, i.e.
c∆t∆x∆y∆z =c∆t0∆x0∆y0∆z0 . (32) On constate que la contraction des longueurs (29) compense la dilatation du temps (31) de sorte que l’´el´ement d’hypervolume est un invariant !
