Corrig´ e S´ erie 10 - R´ esonance et frottements

Physique avancée I 21 octobre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet

Corrig´ e S´ erie 10 - R´ esonance et frottements

1. Champ de bosses : le salaire de la peur

a) Le profil h(x) de la route est de la forme, h(x) = H

2 sin 2πx

L

, (1)

o`u H est la hauteur de la bosse (i.e. entre un creux et un sommet) etL est la longueur de la bosse.

Etant donn´e que le point de contact entre la roue et la route se d´eplace avec une vitesse horizontale constante v, la position horizontale de ce point de contact est x = vt. Ainsi, l’´equation du mouvement de ce point h(t) est de la forme

h(t) = H 2 sin

2πvt L

. (2)

b) Le mouvement horizontal a lieu `a vitesse constante v. Il reste donc `a ´etablir l’´equation du mouvement selon l’axe vertical Bilan des forces ext´erieures :

• Poids : P=Mg=−M gˆz,

• Force de rappel du ressort : F = −k(z−h(t))ˆz o`u la longueur du ressort `a vide est n´eglig´ee.

Loi du mouvement : ΣF^ext =P+F=Ma.

Selon l’axe ˆz, l’´equation du mouvement est donc donn´ee par  

−M g− k(z−h(t)) = Mz .¨ (3)

L’´equation du point de contact (2) implique que l’´equation du mouvement (3) peut ˆetre r´e´ecrite comme,

Mz¨+kz+M g =k H

2 sin (ωt) , (4)

o`u ω = 2πv L .

Corrig´e S´erie 10 - R´esonance et frottements 1/4

Physique avancée I 21 octobre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet

A l’aide du changement de variable

u=z+M g

k ⇒ u¨= ¨z , (5)

l’´equation diff´erentielle (4) s’´ecrit comme,

Mu¨+k u=kH

2 sin (ωt) , (6)

b) La solution de l’´equation (6) est de la forme

u(t) =u0sin (ωt) , (7)

comme indiqu´e dans l’´enonc´e. En substituant la solution (7) dans l’´equation (6), on d´etermine la forme de l’amplitude u0 des oscillations, i.e.

u₀ = H

2 1−^{M ω}_k² . (8)

Il y a trois comportements diff´erents pour u₀ correspon- dant `a des limites particuli`eres :

• Faibles amplitudes : lim

ω→0u₀ = H 2.

• R´esonance : lim

ω→ωr=√

k/m

u₀ =∞.

• Amplitude nulle : lim

ω→∞u₀ = 0.

La pulsation de r´esonnace vaut ω_r = rk

m. Le r´egime de comfort maximal corespond aux grandes pulsations, i.e. ω → ∞, et donc aux vitesses, i.e. v → ∞.

2. Excitation d’un oscillateur harmonique vertical R´ef´erentiel, rep`ere et syst`eme : On choisit comme r´ef´erentiel le tube dans lequel coulisse le piston et comme rep`ere l’axe de coordonn´ee vertical e<sub>z</sub> d’origine O dirig´e vers le bas. Le syst`eme est la masse m reli´ee au piston (dont l’´equation du mouvement est s(t) = s0cos (ωt)) par un ressort de constante de rappel k et de longueur `a vide l₀.

a) Bilan des forces ext´erieures :

• Poids : P=mg =mge_z,

• Force de rappel du ressort : F =

−k(z− l₀− s(t))e_z.

Loi du mouvement : ΣF^ext =P+F=ma.

Selon l’axe e_z, l’´equation du mouvement est donc donn´ee par

mg− k(z− l₀− s(t)) =mz .¨ (9)

Corrig´e S´erie 10 - R´esonance et frottements 2/4

Physique avancée I 21 octobre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet

b) A l’aide du changement de variable

u=z− l₀− mg

k ⇒ u¨= ¨z , (10)

l’´equation diff´erentielle (9) peut ˆetre mise sous la forme,

−ku+ks=m¨u ⇒ u¨(t) + k

mu(t) = k

ms(t) . (11)

Par comparaison des ´equations (10) et (11) avec l’´enonc´e, on en d´eduit l’expression des constantes c₁ et c₂ donn´ees dans l’´enonc´e, i.e.

c₁ = k

m et c₂ =−l₀ − mg

k . (12)

c) Comme indiqu´e dans l’´enonc´e, en r´egime stationnaire, la solution de l’´equation du mouve- ment (11) est de la forme

u(t) =u₀cos (ωt) , (13)

et le mouvement du piston est donn´e par,

s(t) =s₀cos (ωt) . (14)

En substituant les solutions (13) et (14) dans l’´equation du mouvement (11), on d´etermine la forme de l’amplitude u₀ des oscillations, i.e.

u₀ = s₀

1− ^mω_k² . (15)

Il y a trois comportements diff´erents pour u0 correspon- dant `a des limites particuli`eres :

• Faibles amplitudes : lim

ω→0u₀ =s₀.

• R´esonance : lim

ω→ωr=√

k/m

u₀ =∞.

• Amplitude nulle : lim

ω→∞u₀ = 0.

S

A  

La condition de r´esonance correspond `a la divergence de l’amplitudeA=u₀ des oscillations.

Ainsi, la pulsation de r´esonnance vautω_r = qk

m. 3. Freinage d’un bloc

R´ef´erentiel, rep`ere : On choisit comme r´ef´erentiel la surface et comme rep`ere le rep`ere cart´esien (O,e_x,e_z).

Bilan des forces ext´erieures :

• Poids : P=mg=−mge_z,

• R´eaction normale : N=Ne_z,

• Force de frottement cin´etique : F_f =

−µ_cNe_x,

Loi du mouvement : ΣF^ext =P+N+F_f =ma.

Corrig´e S´erie 10 - R´esonance et frottements 3/4

Physique avancée I 21 octobre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet

a) La loi vectorielle du mouvement s’ecrit alors en composantes polaires :

selon e_x : −µ_cN =m¨x , (16)

selon e_z : −mg+N = 0. (17)

L’´equation (17) est une ´equation de contrainte qui donne l’expression de la norme N de la r´eaction normale. L’´equation (16) est l’´equation du mouvement. En substituant l’´equation de contrainte (17) dans l’´equation du mouvement (16) celle-ci se r´eduit `a,

¨

x=−µ_cg . (18)

En int´egrant l’´equation du mouvement (18) par rapport au temps tout en tenant compte de la condition initiale ˙x(0) =v₀, on obtient une expression pour la vitesse, i.e.

˙

x(t) =−µ_cgt+v₀. (19)

En int´egrant l’expression (19) de la vitesse par rapport au temps tout en tenant compte de la condition initiale x(0) = 0, on obtient l’´equation horaire, i.e.

x(t) = −1

2µ_cgt²+v₀t . (20)

Lorsque le bloc s’arrˆete, au tempst =tf, sa vitesse est nulle, i.e.

˙

x(tf) = 0. (21)

Par cons´equent, en imposant la condition d’arrˆet (21) `a l’expression (19) de la vitesse, on en d´eduit le temps de freinage, i.e.

t_f = v₀

µcg . (22)

En substituant le temps de freinage (22) dans l’´equation horaire (20) on obtient la distance de freinage, i.e.

x_f = v₀²

2µ_cg . (23)

b) La variation d’´energie cin´etique ∆T lors du freinage correspondant `a un d´eplacement ∆r=

∆xe_x du bloc est due au travail de la force de frottement uniforme F_f =−µ_cmge_x, i.e.

∆T =W = Z

F_f ·dr =F_f · Z

dr =F_f ·∆r=−µ_cmg∆x , (24) o`u N = mg sur une surface horizontale. Le signe n´egatif est dˆu au fait que la force de frottement s’oppose au mouvement. La variation d’´energie cin´etique et le d´eplacement lors du freinage s’expriment respectivement comme,

∆T =T(tf)− T (0) , (25)

∆x=x(t_f)− x(0) , (26)

et satisfont les conditions initiales, T(0) = 1

2mv²₀ T(t_f) = 0, (27)

x(0) = 0 x(t_f) =x_f . (28)

En substituant d’abord les conditions (27) et (28) dans les d´efinitions (25) et (26), et en substituant ensuite celles-ci dans l’expression de la variation d’´energie cin´etique (24), on obtient l’expresion pour la distance de freinage, i.e.

x_f = v₀²

2µ_cg . (29)

qui est identique `a l’´equation (23). La 2^e m´ethode est nettement plus efficace !

Corrig´e S´erie 10 - R´esonance et frottements 4/4