I Changement de rep` ere

Universit´e Claude Bernard–Lyon I

Licence 3 de Math´ematiques : G´eom´etrie ´el´ementaire Ann´ee 2012–2013

Equations de sous-espaces ´

On se place le plus souvent dans un plan affine ou un espace affine de dimension 3, – euclidien lorsqu’il le faut – muni d’un rep` ere – orthonorm´ e lorsqu’il le faut – ou, ce qui revient au mˆ eme, dans R

ou R

– muni du produit scalaire euclidien si n´ ecessaire.

I Changement de rep` ere

1

On se place dans R

et on note (x, y) les coordonn´ ees d’un point du plan dans le rep` ere canonique.

Soient a, b, c, d, e, f six r´ eels. ` A quelle condition la formule ( x

= ax + by + e

y

= cx + dy + f

d´ efinit-elle un changement de rep` ere ? Lorsque c’est le cas, d´ ecrire le nouveau rep` ere dans le rep` ere canonique.

2

On se place dans R

affine, o` u n est un entier naturel non nul. Rappelons que l’on dit que (A

, A

, . . . , A

) est un rep` ere affine si (A

, −−−→

A

A

, . . . , −−−→

A

A

) est un rep` ere. Cette d´ efinition semble faire jouer un rˆ ole particulier ` a A

. Montrer que pour toute permutation σ de {1, . . . , n}, (A

, . . . , A

) est un rep` ere affine.

[On pourra commencer par des exemples en dimension 2 et 3, disons, (A

, A

, A

) en dimension 2 et (A

, A

, A

, A

) en dimension 3.]

II Equations ´

1

Equation d’une droite dans le plan ´

Soit A = (x

, y

) et B = (x

, y

) deux points distincts du plan. Montrer qu’un point M = (x, y) appartient ` a la droite (AB) si et seulement si

1 1 1

x

x

x y

y

y

= 0.

2

Equation d’un plan dans l’espace ´

a) Soit A = (x

, y

, z

) un point, u

= (a

, b

, c

) et u

= (a

, b

, c

) deux vecteurs non colin´ eaires. Montrer qu’un point M = (x, y, z) appartient au plan contenant A et engendr´ e par u

et u

si et seulement si

x − x

a

a

y − y

b

b

z − z

c

c

= 0.

b) En s’inspirant de 1

, exprimer une ´ equation du plan (ABC ) par l’annulation d’un d´ eterminant 4 × 4, o` u A = (x

, y

, z

), etc.

3

On fait tourner un rep` ere le long d’une ellipse... Pour t r´ eel, on pose : M =



 cos t sin t

t



 , e

=





− sin t cos t

1



 , e

=





− cos t

− sin t 0



 , e

=



 sin t

− cos t 1



 .

V´ erifier que R

= (M, e

, e

, e

) est un rep` ere. D´ eterminer, dans R

, une ´ equation cart´ esienne du plan passant par A = (−1, −2, 1) et ayant pour vecteur normal n = (1, 2, 3) (ici, A et n sont d´ ecrits dans le rep` ere canonique).

1

4

Soient m et n deux entiers non nuls. On se place dans R

. Soit A une matrice r´ eelle de taille m × n et B ∈ R

. Montrer que l’ensemble des points X ∈ R

du syst` eme AX = B est un sous-espace affine de R

.

Montrer r´ eciproquement que tout sous-espace affine F de R

est l’ensemble des solutions d’un syst` eme de cette forme (indiquer comment trouver, au moins en principe, A et B).

III Pr´ esentation param´ etrique et ´ equation cart´ esienne

1

Soient a, b, c, d quatre r´ eels avec (a, b) 6= (0, 0). Soit D l’ensemble des points (x, y) d´ efini par la condition :

(x, y) ∈ D ⇐⇒ ∃t ∈ R ,

( x = at + c y = bt + d.

Quelle est la nature de D ? En donner une ´ equation cart´ esienne.

2

Soient a, b, c trois r´ eels avec (a, b) 6= (0, 0). Donner une pr´ esentation param´ etrique de la droite d’´ equation ax + by + c = 0 dans R

.

3

Poser et r´ esoudre les mˆ emes questions pour une droite et un plan dans l’espace.

IV Incidence

1

Deux droites dans le plan

Soit deux droites D et D

d’´ equations

a

x + b

y + c

= 0 et a

x + b

y + c

= 0 dans le plan.

L’annulation de quel d´ eterminant caract´ erise-t-il le parall´ elisme de ces deux droites ? 2

Trois droites dans le plan

Ajoutons une troisi` eme droite D

d’´ equation a

x + b

y + c

= 0. Montrer que D

, D

et D

sont parall` eles ou concourantes si et seulement si

a

b

c

a

b

c

a

b

c

= 0.

3

Deux plans dans l’espace

Soit trois plans P

et P

d’´ equations a

x + b

y + c

z + d

= 0 et a

x + b

y + c

z + d = 0 dans l’espace. Montrer que P

et P

sont parall` eles ou confondus si et seulement si

rg

a

b

c

a

b

c

= 1 SSI

b

c

b

c

=

a

c

a

=

b

c

b

c

= 0.

4

Trois plans dans l’espace

Ajoutons un troisi` eme plan P

d’´ equation a

x + b

y + c

z = 0. Que traduit l’´ egalit´ e

a

b

c

a

b

c

a

b

c

= 0 ? 5

Quatre plans dans l’espace

Ajoutons un quatri` eme plan P

d’´ equation a

x + b

y + c

z + d

= 0. Que traduit l’´ egalit´ e

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

= 0 ?

1. On se donnea1,b1,c1 et on suppose que (a1, b1)6= (0,0). Idem pour les autres droites et plans.

2