DROITES ET PLANS DE L ESPACE.
I. Positions relatives.
1. Positions relatives de deux droites.
Deux droites d1 et d2 de l’espace sont :
soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires
Deux droites coplanaires peuvent être sécantes ou parallèles. Deux droites non coplanaires ne sont
pas sécantes.
2. Positions relatives d'une droite et d'un plan.
Une droite et un plan de l’espace sont :
soit sécants soit parallèles
Leur intersection est alors d et P sont strictement parallèles d est contenue dans P un point
3. Positions relatives de deux plans.
Deux plans de l’espace sont :
soit sécants soit parallèles
P1 P1
d
P2 P2
Leur intersection est alors une droite Propriétés (admises) :
Par deux points de l'espace, il passe une unique droite.
Par trois points de l'espace, il passe un unique plan.
Si un plan contient deux points A et B, il contient tous les points de la droite (AB).
Si d est une droite et A un point n'appartenant pas à d, alors il existe un unique plan contenant A et d.
d1 d2
d1 d2
d1
d2
d
P d
P
II. Parallélisme dans l espace.
Toutes les propriétés et tous les théorèmes sont admis.
Théorème 1 : Si une droite est parallèle à une droite d'un plan, alors elle est parallèle à ce plan.
Si d est parallèle à et si est contenue dans P, alors d est parallèle à P
Théorème 2 : Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Si P et Q sont parallèles et si R coupe P selon la droite D, alors R coupe Q selon une droite D et D est parallèle à D.
Théorème 3 : Si une droite est parallèles à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur droite d’intersection.
Si la droite D est parallèle aux plans P et Q et si les plans P et Q se coupent selon la droite , alors D est parallèle à .
Théorème 4 : Si deux droites sécantes d’un plan P sont parallèles à un même plan Q, alors les plans P et Q sont parallèles.
Si D1 et D2 sont deux droites sécantes du plan P, toutes deux parallèles au plan Q, alors les plans P et Q sont parallèles.
Théorème 5 (théorème du toit) : (sera démontré dans un prochain chapitre) : Si d et d sont deux droites parallèles contenues respectivement dans deux plans sécants P et Q, alors d et d' sont parallèles à la droite d'intersection de P et Q.
Si D est contenue dans le plan P Si D est contenue dans le plan P
Si D et D sont parallèles Si P et P se coupent selon une droite
Alors D et D sont parallèles à .
