Master Physique & Physique Numérique Mécanique Quantique
David Viennot
Table des matières
Sur les origines de la mécanique quantique 5
1 Fondements de la mécanique quantique 7
1.1 Postulats, états et observables . . . 7
1.1.1 Notions d’états et d’observables en physique classique . . . 7
1.1.2 L’expérience des trous d’Young et l’espace des états . . . 7
1.1.3 Complétude topologique de l’espace des états . . . 9
1.1.4 Complétude algébrique dans l’espace des états . . . 9
1.1.5 L’expérience des trous d’Young et les observables . . . 11
1.1.6 Sur les probabilités quantiques . . . 13
1.1.7 Sur la non-commutativité des observables . . . 13
1.1.8 Règles de quantification canonique . . . 15
1.2 Interprétations de la mécanique quantique . . . 16
1.2.1 La parabole du chat de Schrödinger et l’interprétation de l’École de Copenhague . . . 16
1.2.2 Les autres interprétations de la mécanique quantique . . . 16
1.3 Observables et transformations . . . 18
1.3.1 Domaine d’un opérateur . . . 18
1.3.2 Transformations . . . 19
1.3.3 Opérateur hermitien vs autoadjoint . . . 21
2 Position, impulsion, moment cinétique et énergie en mécanique quantique 23 2.1 États préparables, accessibles et non-normalisables . . . 23
2.2 Les représentations continues . . . 24
2.2.1 La représentation|xi . . . 24
2.2.2 La représentation|pi . . . 25
2.3 Analyse spectrale . . . 27
2.3.1 Spectre d’une observable . . . 27
2.3.2 Calcul fonctionnel . . . 29
2.3.3 La résolvante . . . 30
2.4 Théorie du moment cinétique . . . 30
2.4.1 Le spin . . . 30
2.4.2 Moments cinétiques atomiques et moléculaires . . . 32
2.4.3 Composition de moments cinétiques . . . 34
3 Dynamique quantique 37 3.1 L’équation de Schrödinger . . . 37
3.1.1 De l’équation stationnaire à l’équation dépendante du temps . . . 37
3.1.2 Le paradoxe de Zénon quantique . . . 39
3.1.3 Courants et flux de probabilités . . . 39
3.2 L’opérateur d’évolution . . . 40
3.2.1 Définition et propriétés . . . 40
3.2.2 Représentation de Heisenberg . . . 42
3.2.3 Intégrales de chemin . . . 43
3.3 Régimes soudain et adiabatique . . . 45
3
4 Théorie des perturbations 47
4.1 Perturbations stationnaires . . . 47
4.1.1 Méthode de Rayleigh-Schrödinger . . . 47
4.1.2 Méthode de Wigner-Brillouin . . . 48
4.1.3 Cas dégénéré . . . 49
4.2 Perturbations dépendantes de temps . . . 51
4.2.1 Couplage interne au spectre pur point . . . 51
4.2.2 Couplage entre le spectre pur point et le continuum : la règle d’or de Fermi . . . 52
5 Théorie de la seconde quantification 55 5.1 Systèmes de particules discernables . . . 55
5.2 Systèmes de particules indiscernables : cas des bosons . . . 56
5.3 Systèmes de particules indiscernables : cas des fermions . . . 58
5.4 Discussion sur le rôle de la seconde quantification . . . 58
Sur les origines de la mécanique quantique
À la fin du XIXème siècle, la physique repose sur deux piliers, la mécanique Newtonienne et la théorie électromagnétique de Maxwell. Quatre phénomènes posaient alors problème dans ce cadre théorique :
– les expériences de Michelson-Morley n’ont pu mettre en évidence la vitesse de la Terre dans la référentiel de l’éther (support physique hypothétique des ondes électromagnétiques)ce problème sera résolu par Einstein en 1905 par l’introduction de la théorie de la relativité restreinte;
– le spectre expérimental du rayonnement d’un corps noir ne coïncidait pas avec la théorie qui prévoyait une divergence dans l’ultraviolet (divergence conduisant à une quantité infinie d’énergie émise par le corps ⇐⇒ la catastrophe ultraviolette) ;
– les atomes ne devraient pas être stables, l’électron en orbite autour du noyau devant perdre continuel- lement de l’énergie par radiation électromagnétique, il devrait s’effondrer en spirale sur le noyau au cours du temps ;
– l’observation de spectres d’émission et d’absorption de la lumière par la matière sous forme de suites de raies fines était en contradiction avec la théorie qui prévoyait des bandes continues d’émission ou d’absorption.
Pour expliquer les trois derniers problèmes, trois théories concurrentes furent proposées :
– La théorie des quanta :En 1900, pour expliquer le rayonnement du corps noir, Max Planck pro- pose que l’énergie électromagnétique n’est pas émise de façon continue mais par paquet d’énergien~ω (n ∈ N∗). ~ω étant le quantum d’énergie insécable pouvant être émis. En 1905, pour expliquer l’ef- fet photoélectrique, Albert Einstein propose que la lumière est constituée de particules individuelles (photons) transportant un quantum d’énergie ~ω. En 1913, pour expliquer le spectre et la stabilité de l’atome d’hydrogène, Niels Bohr propose que les orbites circulaires de l’électron ne peuvent pas avoir un rayon quelconque, mais que seules une quantité dénombrable d’orbites sont autorisées. Cette hypothèse revient à quantifier suivant une suite{En20}n∈N∗ les énergies accessibles à l’atome. En 1916, Arnold Sommerfeld généralise le modèle de Bohr aux orbites elliptiques. En 1917, Albert Einstein gé- néralise l’approche de Borh-Sommerfeld à tout système intégrable. En 1925, Wolfgang Pauli propose que deux fermions identiques ne peuvent occuper un même état d’énergie quantifiée afin d’expliquer par une structure en couches électroniques les propriétés chimiques des atomes polyélectroniques.
– La mécanique ondulatoire : En 1923, Louis de Broglie postule que les particules matérielles sont associées à une onde (comme l’onde électromagnétique est associée aux photons). En 1926, Erwin Schrödinger postule l’équation fixant l’onde de de Broglie d’une particule matérielle. En 1927, Walter Heitler utilise l’équation de Schrödinger pour expliquer la formation des liaisons covalentes. En 1928, Linus Pauling généralise les travaux de Heitler à tout type de liaison chimique.
– La mécanique des matrices :En 1925, Werner Heisenberg, Max Born et Pascual Jordan formulèrent une description de la mécanique à l’échelle microscopique fondée sur le remplacement des observables classiques par des matrices. La quantification de l’énergie étant associée au spectre de la matrice remplaçant l’observable énergie. La notion de trajectoire de phase y ait totalement absente.
Suite à des découvertes dans le domaine des mathématiques (analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs) ; en 1930, Paul Adrien Maurice Dirac prouve que les trois théories sont en fait trois aspects d’une unique théorie cohérente,la mécanique quantique; dans laquelle les matrices de Heisenberg sont généralisées en opérateurs qui ont pour vecteurs propres les fonctions d’onde de Schrödinger et pour spectre les suites de la théorie des quanta de Borh-Sommerfeld.
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Chapitre 1
Fondements de la mécanique quantique
1.1 Postulats, états et observables
1.1.1 Notions d’états et d’observables en physique classique
La pratique de la physique suppose l’intervention de deux entités, le système physique étudié, et l’observa- teur qui l’étudie. La modélisation d’une théorie physique doit donc faire intervenir des objets qui caractérisent ces deux entités. Le système physique va être caractérisé par desétats, c’est à dire des quantités mathé- matiques décrivant les propriétésintrinsèques du système. L’intervention de l’observateur, qui effectue des mesures sur le système, va être caractérisée par desobservables, c’est à dire des quantités mathématiques qui vont décrire les résultats des mesures effectuées sur le système en fonction de l’état de celui-ci. Par exemple en mécanique classique, si l’on ne considère qu’une particule, celle-ci sera caractérisée par sa posi- tion dans l’espace et par son impulsion :(x, y, z, px, py, pz), un état est donc un point deR6. Les observables seront alors des fonctions deR6qui évaluées en un point donnent le résultat d’une mesure sur une particule caractérisée par ce point. Les notions d’observable et d’état sont souvent confondues en mécanique classique du fait que la position et l’impulsion sont aussi des observables : l’observable position suivant l’axexest la fonctionfx telle quefx(x, y, z, px, py, pz) =x, ce que l’on interprète par “si on mesure la position (action de l’observable fx) de la particule qui se trouve dans l’état (x, y, z, px, py, pz) le résultat de la mesure sera x”.
Un autre exemple est l’observable énergie cinétique, qui est la fonctionEK(x, y, z, px, py, pz) = p
2 x+p2y+p2z
2m ;
(métant la masse de la particule).
1.1.2 L’expérience des trous d’Young et l’espace des états
Afin d’établir la structure du modèle de la mécanique quantique, considérons l’expérience des trous d’Young avec des particules matérielles. On dispose d’une source émettant une particule à la fois, envoyée sur écran percé de deux trous. Les particules heurtent ensuite un écran qui fait apparaître une tâche au niveau du point d’impact, mesurant ainsi la position des particules après le passage des trous.
On observe que les points d’impact se répartissent aléatoirement sur l’écran tout en formant une figure d’interférences caractérisée par des franges sombres (peu d’impacts) et des franges brillantes (beaucoup d’impacts). Si on bouche l’un des trous, les impacts se répartissent toujours de façon aléatoire mais sans reproduire une figure d’interférence.
Interprétation :
1. la figure d’interférences étant caractéristique d’un phénomène ondulatoire, on en déduit que les particules ne sont pas que des objets ponctuels mais qu’elles sont associées à une onde, c’est la dualité onde- corpuscule de de Broglie. C’est la réciproque de l’interprétation de l’effet photoélectrique qui veut que les ondes électromagnétiques soient composées de photons. L’état d’une particule sera donc caractérisé par une fonction d’ondeψ(x, y, z).
2. les impacts se répartissant suivant un processus aléatoire, on en déduit que la mesure de la position des particules est gouvernée par une loi de probabilité associée à la figure d’interférences. Il existe donc une loi de probabilitéρ(x, y, z)telle queρ(x, y, z)dxdydzsoit la probabilité de trouver la particule dans une cube de volumedxdydzdont l’un des sommets se trouve au point (x, y, z). Ou en d’autres termes, siD ⊂R3
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est une région de l’espace, alorsRRR
Dρ(x, y, z)dxdydzest la probabilité de trouver la particule dans cette région.
3. soitψ1 la fonction d’onde de la particule lorsqu’elle passe par le trou 1 sachant que le trou 2 est bouché, et ψ2 la fonction d’onde dans le cas réciproque. Lorsque aucun des trous n’est bouché, la présence de la figure d’interférences induit que la fonction d’onde n’est niψ1 ni ψ2 maisψ ∝ψ1+ψ2 (il faut deux sources d’ondes — les trous — pour produire des interférences). Les particules étant émises une à une, on en déduit qu’une unique particule se trouve dans un état où elle est passée à la fois par le trou 1 et par le trou 2, c’est une superposition d’états (ou un chat de Schrödinger). On en déduit donc que l’espace des états a une structure d’espace vectoriel (puisque l’on doit pouvoir additionner deux états).
4. soitρ1 la loi de probabilité associée àψ1,ρ2 celle associée àψ2; etρla densité de probabilité associée à ψ∝ψ1+ψ2. On doit avoirρ(x, y, z) = ρ1(x, y, z) +ρ2(x, y, z) + 2 cos(χ12(x, y, z))où le terme cos(χ12) est la modulation nécessaire pour décrire la figure d’interférences. La présence de ce terme est typique de la structure du corps des nombres complexes : ∀z1, z2 ∈C, |z1+z2|2 =|z1|2+|z2|2+ 2 cos(arg(z1z2)).
L’espace vectoriel des états est donc construit sur le corpsC.
En combinant tous ces points, on en déduit qu’un état d’une particule est une fonction ψ de l’espace à valeurs dans C telle que ρ(x, y, z) = R |ψ(x,y,z)|2
R3|ψ(x,y,z)|2dxdydz soit la densité de probabilité de présence de la particule. On doit donc avoirR
R3|ψ(x, y, z)|2dxdydz <∞. D’où
Postulat 0(Espace des états (forme faible)). L’espace des états d’un système régi par la mécanique quantique est représenté par un espace pré-Hilbertien, c’est à dire un C-espace vectoriel muni d’un produit scalaire hermitien.
Un produit scalaire hermitien étant défini par :
Définition 1(Produit scalaire hermitien). Soit H unC-espace vectoriel. Un produit scalaire hermitien est une applicationh.|.i:H × H →C(une application qui à deux vecteurs associe un scalaire) telle que
– elle est linéaire à droite et antilinéaire à gauche :
∀ψ, φ, χ∈ H, α, β∈C, hψ|αφ+βχi=αhψ|φi+βhψ|χi hαψ+βφ|χi= ¯αhψ|χi+ ¯βhφ|χi – elle est hermitienne :
∀ψ, φ∈ H hψ|φi=hφ|ψi – elle est définie positive
kψk2=hψ|ψi ≥0 kψk2=hψ|ψi= 0 ⇐⇒ ψ= 0
La nécessité d’équiper l’espace des états d’un produit scalaire et non simplement d’une norme provient des postulats qui vont suivre.
L’espace pré-Hilbertien en question pour une particule seule semble êtreL2(R3, dxdydz)l’espace des fonctions deR3(l’espace physique) à valeurs dansCet de carré intégrable, c’est à dire telles queR
R3|ψ(x, y, z)|2dxdydz <
∞. La fonction ψ ∈ L2(R3, dxdydz) est interprétée comme l’amplitude de probabilité de présence de la particule, ainsi la probabilité de trouver la particule dans une portion Ω de l’espace est égale à P(Ω) = R
Ω|ψ(x, y, z)|2dxdydz si on a normé la fonction d’onde, i.e.R
R3|ψ(x, y, z)|2dxdydz= 1. Le produit scalaire dansL2(R3, dxdydz)est
hψ|φi= Z
R3
ψ∗(x, y, z)φ(x, y, z)dxdydz
On notera néanmoins un problème, il existe des fonctions non-nulles ψ ∈ L2(R3, dxdydz) telles que kψk= 0, par exemple la fonction :
ψ(x, y, z) =
(0 si(x, y, z)6= (0,0,0) 1 si(x, y, z) = (0,0,0)
On note K ={ψ ∈ L2(R3, dxdydz),kψk = 0}. K est composé de fonctions qui ne différent de la fonction identiquement nulle que sur un “ensemble discret” de points (on dit que ces fonctions sont nulles presque partout). D’autre part, l’interprétation physique d’une fonction d’onde en tant qu’amplitude de probabilité
1.1. POSTULATS, ÉTATS ET OBSERVABLES 9
de présence, fait que deux fonctions qui ne différent que sur un “ensemble discret” de points (deux fonctions égales presque partout) ont le même sens physique, car∀Ω⊂R3,R
Ω|ψ|2dτ =R
Ω|φ|2dτ si ψ−φ∈K. Dans L2(R3, dτ)on ne doit donc pas faire de différence entre deux fonctions qui ne différent que par l’addition d’une fonction deK. En d’autres termes on doit prendre la relation d’équivalence ψ∼φ ⇐⇒ ψ−φ∈K comme une égalité au sens physique. On note L2(R3, dxdydz) = L2(R3, dxdydz)/K l’espace des fonctions de carré intégrable dans lequel on ne distingue pas les fonctions égales presque partout.L2(R3, dxdydz)est bien un espace pré-Hilbertien qui est le bon espace des états.
1.1.3 Complétude topologique de l’espace des états
Supposons que l’on puisse procèder à une expérience pour déterminer l’état d’un système quantique.
Notonsψ0le résultat d’une première estimation de celui-ci. À partir de ce résultat, on affine les mesures pour obtenir une meilleure estimation que l’on noteψ1. On suppose que l’on peut procéder ainsi indéfinement et toujours améliorer l’estimation sur l’état. On a alors une suite d’estimations(ψn)n. On se donne une précision ǫ >0 que l’on veut atteindre. On atteint cette précision à lanǫ occurence si les mesures ne “bougent” plus au delà de la précision souhaitée après le rangnǫ:
∀n > p≥nǫ, kψn−ψpk ≤ǫ (∗)
Si c’est le cas, on peut dire queψn pourn≥nǫ est une approximation àǫprès deψ⋆ l’état réel du système.
Cet étatψ⋆ existe au sens où un système physique a forcément un état. On a envie d’écrire que
n→lim+∞ψn=ψ⋆
qui doit signifier que
n→lim+∞kψn−ψ⋆k= 0
Le problème est que dans un espace pré-Hilbertien de dimension infinie, E, il existe des suites (ψn)n qui
∀ǫ >0vérifient(∗)(on dit qu’il s’agit de suites de Cauchy) mais qui n’ont pas de limite dansE (6 ∃ψ⋆∈ E tel quelimn→+∞kψn−ψ⋆k= 0). Une telle situation n’aurait pas de sens physique, les mesures expérimentales y seraient convergentes (elles se stabilisent à ǫ près) sans que le système se trouve dans un état existant.
Il faut donc restreindre les espaces des états à des espaces pré-Hilbertiens dans lesquels toutes les suites de Cauchy ont une limite. De tels espaces sont dit topologiquement complets, et on les appelle des espaces de Hilbert.
Postulat 1(Espace des états (forme forte)). L’espace des états d’un système régi par la mécanique quantique est représenté par un espace de Hilbert, c’est à dire unC-espace vectoriel muni d’un produit scalaire hermitien et topologiquement complet pour la norme induite par ce produit scalaire.
Les espaces pré-Hilbertiens de dimension finie sont automatiquement topologiquement complets, de plus les espacesL2sont topologiquement complets (et constituent les exemples fondamentaux d’espace de Hilbert de dimension infinie).
Quelques exemples d’espace des états : – particule sur un axe :H=L2(R, dx)
– particule dans une boîte 1D [0, L] : H = {ψ ∈ L2([0, L], dx), ψ(0) = ψ(L) = 0} (les conditions aux bords assurent que la fonction d’onde ne “s’échappe pas” de la boîte.
– particule dans un cristal périodique 1D de maille [0, L] : H={ψ ∈L2([0, L], dx), ψ(0) = ψ(L)} (les conditions aux bords assurent la périodicité).
– rotateur rigide (molécule diatomique rigide) :H=L2(S2,dθdϕ4π )(S2 est la sphère représentant toutes les directions que peut prendre le rotateur,(θ, ϕ)est un système de coordonnées sphériques surS2).
1.1.4 Complétude algébrique dans l’espace des états
Définition 2(Base (orthonormée)). Soit Hun espace de Hilbert. On appelle base de cet espace un ensemble ordonné dénombrable de vecteurs linéairement indépendants(φn)n=1,...,dimH tel que
∀ψ∈ H,∃cn ∈C, ψ=
dimH
X
n=1
cnφn
(tout état peut se décomposer en une superposition d’états de la base). La base est dite orthonormée si
∀n, p hφn|φpi=δnp
Dans le cas d’une base orthonormée,ψ=PdimH
n=1 cnφn⇒cn=hφn|ψi. On rappelle qu’un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant si
X
n
αnφn= 0⇒ ∀n, αn= 0
En dimension finie, pour qu’un ensemble orthonormé soit une base, il faut et il suffit que le nombre d’éléments de cet ensemble soit égale à la dimension de H. En dimension infinie, il n’est pas suffisant de trouver une infinité de vecteurs orthonormés pour que ce soit une base. Un contre-exemple trivial : si(φn)n∈N
est une base orthonormée alors(φ2p)p∈Nest un ensemble infini de vecteurs orthonormés mais n’est pas une base (car les vecteurs à indice impaireφ2p+1ne peuvent se décomposer sur cet ensemble). Lorsqu’il y a dans un ensemble de vecteurs orthonormés suffisamment d’éléments pour générer totalementH, on dit que l’ensemble est algébriquement complet. Pour des espaces de Hilbert de dimension finie ou de la formeL2(M, dτ)(avec M =Rℓou toute sous-variété deRℓ, avecℓ <+∞) il existe toujours des bases orthonormées.
Propriété 1(Propriétés utiles). Quelques propriétés vérifiées dans un espace de Hilbert équipable d’une base orthonormée :
• Inégalité triangulaire :∀φ, ψ∈ H
kψ+φk ≤ kψk+kφk
• Règle du parallélogramme : ∀φ, ψ∈ H
kψ+φk2+kψ−φk2= 2kψk2+ 2kφk2
• Inégalité de Cauchy-Schwarz : ∀φ, ψ∈ H
|hφ|ψi| ≤ kψk · kφk
• Théorème de Pythagore : (φ1, ..., φn)orthonormé non-complet (n≤dimH),∀ψ∈ H kψk2=
Xn
i=1
|hφi|ψi|2+kψ− Xn
i=1
hφi|ψiφik2
• Inégalité de Bessel :(φ1, ..., φn)orthonormé non-complet (n≤dimH),∀ψ∈ H Xn
i=1
|hφi|ψi|2≤ kψk2
• Identité de Perseval :(φi)i=1,...,dimH une base orthonormée, ∀ψ∈ H kψk2=
dimXH
i=1
|hφi|ψi|2
• Relation de fermeture : (φi)i=1,...,dimH une base orthonormée,∀ψ, χ∈ H hχ|ψi=
dimXH
i=1
hχ|φiihφi|ψi
Preuve : On s’intéresse à l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Soit le vecteurχ=ψ−hφ|ψikφk2φ.
hχ|χi ≥0 ⇐⇒ kψk2+|hψ|φi|2
kφk2 −hφ|ψi
kφk2 hψ|φi −hφ|ψi
kφk2 hφ|ψi ≥0
⇐⇒ kψk2−|hφ|ψi|2 kφk2 ≥0
⇐⇒ kψk2kφk2≥ |hφ|ψi|2 Les preuves des autres propriétés sont laissées en exercice.
1.1. POSTULATS, ÉTATS ET OBSERVABLES 11
Nous allons maintenant revenir à l’interprétation probabiliste des états.ψ∈ Hreprésente la loi générale de probabilité lorsque le système est dans l’état décrit parψ. Mais pour pouvoir faire des calculs de probabilités, il faut considérer des règles qui à un événement “élémentaire” associe sa probabilité de survenue lorsque le système est dans l’étatψ. On a donc besoin de considérer des applications qui aux états associent des amplitudes de probabilité (pour ces événements élémentaires), donc de considérer des applicationsℓ:H →C (la probabilité étant donnée par|ℓ(ψ)|2 aveckψk= 1). Afin d’être cohérent avec la superposition d’états et la physique des interférences, ces applications doivent être linéaires (ℓ(αψ+βφ) =αℓ(ψ) +βℓ(ψ)). Enfin si on reprend la discussion de la section précédente sur la complétude topologique, silimn→+∞ψn =ψ⋆ (au sens oùlimn→+∞kψn−ψ⋆k= 0) alorslimn→+∞ℓ(ψn) =ℓ(ψ⋆)(les probabilités approchées doivent tendrent vers les probabilités réelles). Finalement l’ensemble des ces lois qui permettent de définir les probabilités des événements élémentaires sont
Définition 3(Fonctionnelles linéaires continues). On appelle fonctionnelle (ou forme) linéaire continue de H, une application linéaire ℓ : H → C qui est continue sur H au sens où ℓ(ψn) → ℓ(ψ⋆) si ψn → ψ⋆. L’ensemble des fonctionnelles linéaires deHest notéH∗ et s’appelle le dual algébrique de H.
Remarque : en dimension finie (dimH<+∞) la continuité est automatiquement assurée, il n’est donc pas nécessaire de la vérifier.
H∗ est aussi un espace de Hilbert, il a donc aussi un dual algébrique qui n’est autre que H lui-même : H∗∗ =H. Un résultat très important pour manipuler en pratique les fonctionnelles linéaires continues (les applications donnant les amplitudes de probabilités élémentaires) :
Théorème 1 (Théorème de Riesz).
∀ℓ∈ H∗,∃!ηℓ∈ H, tel que∀ψ∈ H ℓ(ψ) =hηℓ|ψi
Autrement dit, les fonctionnelles linéaires continues sont des produits scalaires partiels avec un état de H:
ℓ=hηℓ|.i ≡ hηℓ|
Il est d’usage de noter ce produit scalaire partiel uniquement par le membre de gauche du crochet (hηℓ|). De la même façon, un vecteur de Hétant une fonctionnelle linéaire continue de H∗, il est d’usage de le noter également comme un produit scalaire partiel :
ψ=h.|ψi ≡ |ψi
Les notationsψ et |ψi sont équivalentes du fait queH∗∗ =H.hηℓ| est appelé unbra et |ψiest appelé un ket(cette terminologie vient de la coupure du mot “braket” – crochet en anglais –). Le système de notation est appelénotations de Dirac.
Il est bien important de comprendre que si un ket un état quantique, ce n’est pas le cas d’un bra. Un bra est une application (donc quelque chose qui demande à être évaluée sur un état) qui fournit des amplitudes de probabilités.
1.1.5 L’expérience des trous d’Young et les observables
Reprenons l’expérience des trous d’Young, mais cette fois avec un détecteur de particules au niveau du trou 1. On sait à quel instant la source émet une particule si bien que si le détecteur donne une réponse positive, on sait que la particule est passée par le trou 1, sinon, on sait qu’elle est passée par le trou 2. Il n’y a donc que deux états “fondamentaux” par rapport à cette expérience, l’état dans lequel la particule est passée par le trou 1 que l’on va noter|1i, et|2il’état pour lequel elle est passée par le trou 2. L’espace de Hilbert est donc simplementC2, et du fait de la superposition d’états, on peut avoir un état|ψi=α|1i+β|2i tel que|α|2+|β|2= 1. Le produit scalaire est défini dans ce cas par
∀|ψi= ψ1
ψ2
,|φi=
φ1
φ2
∈C2, hψ|φi= ψ∗1 ψ∗2 φ1
φ2
=ψ1∗φ1+ψ2∗φ2
On place la source de telle sorte qu’il y ait “classiquement” une chance sur 3 pour que la particule passe par le trou 1 et 2 chances sur 3 pour qu’elle passe par le trou 2. Conformément aux résultats précédents, on a donc|ψi= √13|1i+q
2 3|2i.
Résultat de l’expérience : on mesure dans1/3 des cas une particule passant par 1 et dans2/3des cas une particule passant par 2, et sur l’écran final, on n’observe pas de figure d’interférences. Si on change les coefficients de la superposition d’états, les lois de probabilité changent en conséquence, ainsi si on fait en sorte de mettre la source de telle sorte que la particule ne puisse passer que par le trou 1, le détecteur donnera une réponse positive à chaque fois, et négative à chaque fois si on fait en sorte que la particule ne passe que par le trou 2.
Interprétation :
1. l’absence de figure d’interférences indique que le fait de mesurer la position de la particule à la sortie des trous a détruit la superposition d’états.
2. les statistiques des mesures de passage par un trou ou l’autre correspondant à la loi de probabilité de la superposition d’états, on en déduit que le fait de mesurer par quel trou passe la particule projette l’état de celle-ci soit sur|1isoit sur|2isuivant un processus aléatoire tel queP(1) =|h1|ψi|2etP(2) =|h2|ψi|2. 3. soitAl’observable associée au détecteur de particules.An’a que deux réponses, 1 s’il détecte une particule, 0 sinon. Le fait que la réponse est toujours positive si la particule passe par le trou 1, indique que l’évaluation deA sur|1idoit donner 1. De même l’évaluation de A sur|2idoit donner 0. Ainsi A peut être vue comme un opérateur tel que A|1i =|1i et A|2i = 0, et donc A a pour matrice dans la base (|1i,|2i):
1 0 0 0
. Les résultats possibles sont les valeurs propres deA, et les états sans superposition et donc sans processus aléatoire,|1iet|2i, sont les états propres associés.
D’où
Postulat 2 (Observables). Les observables, c’est à dire les grandeurs physiques mesurables expérimentale- ment sont décrites par des opérateurs agissant sur l’espace des états.
On noteL(H)l’ensemble des opérateurs d’un espace de HilbertH(ensemble des endomorphismes deH, i.e. applications linéaires deHdansH).
Postulat 3(Résultats d’une mesure). La mesure d’une grandeur physique associée à un opérateurAne peut donner qu’une valeur propre de cet opérateur. Si αest une valeur propre de A nα fois dégénérée, associée aux vecteurs propres{|α, ii}i=1,...,nα, alors la probabilité de trouverαcomme résultat de la mesure de Asur un système dans l’état ψest donnée parP(α) =Pnα
i=1|hα, i|ψi|2.
On noteSp(A)l’ensemble des valeurs propres deA(que l’on appelle le spectre deA).
Postulat 4(Principe de projection de Born). Si une mesure d’une observableAsur un système dans l’étatψ a donné comme résultatα, alors après la mesure, le système se trouve dans l’état √Pnα 1
j=1|hα,j|ψi|2
Pnα
i=1hα, i|ψi|i, αi, où{|α, ii}i=1,...,nα sont l’ensemble des états propres caractérisés par la valeur propre αde A(états pour les- quels, la probabilité de trouverαcomme résultat est 1).
Revenons à l’interprétation de H∗. |ℓφ(ψ)|2 =|hφ|ψi|2 peut s’interpréter comme la probabilité de tran- sition de ψ vers φ due à une mesure dont φ est état propre de l’observable associée (les transitions d’un état vers un autre sont les événements élémentaires que l’on n’avait pas vraiment définis dans la section précédente).
Soit(φn)n=1,...,dimH une base orthonormée. Dans les notations de Dirac, la décomposition d’une obser- vable A ∈ L(H) sur la base est (modulo quelques précautions en dimension infinie dont on parlera plus tard) :
A=
dimXH
n,p=1
hφp|Aφni|φpihφn|
NB : on note souvent hψ|A|φi à la place de hψ|Aφi. |ψihφ| = ψ⊗ℓφ est une application qui fait agir la fonctionnelle linéaire continuehφ|et multiplieψ par le résultat :
|ψihφ|χi=ℓφ(χ)ψ=hφ|χi|ψi
Ce sont les opérateurs les plus simples. Les opérateurs de la forme Pφ =|φihφ| aveckφk = 1 sont appelés projecteurs orthogonaux de rang 1. P = Pn
i=1Pφi avec (φi)i=1,...,n<dimH orthonormée, sont appelés pro- jecteur orthogonaux de rang n. Un projecteur vérifie P2 = P P = P. Enfin si on considère une base (un
1.1. POSTULATS, ÉTATS ET OBSERVABLES 13
ensemble orthonormé complet), on trouve l’opérateur identité (que l’on écrit par abus de notation 1) :
1 =
dimXH
i=1
|φiihφi|
Cette expression est souvent utilisée comme une reformulation de la relation de fermeture :
hχ|ψi=hχ|1|ψi=hχ|
dimH
X
i=1
|φiihφi|
!
|ψi=
dimH
X
i=1
hχ|φiihφi|ψi De même la décomposition deA∈ L(H)peut être obtenue en écrivant queA= 1A1.
1.1.6 Sur les probabilités quantiques
Les probabilités que l’on utilise en mécanique quantique sont différentes des probabilités statistiques usuelles (comme celles utilisées en mécanique statistique classique). Les probabilités statistiques usuelles vérifient ce que l’on appelle les axiomes de Kolmogorov, en particulier elles sont disjonctives :
p(A) =p(AsachantB)p(B) +p(Asachant nonB)p(non B)
Dans l’expérience des trous d’Young, prenons comme événementsA=”la particule se trouve au point(x, y, z) àdxdydz près” etB=”la particule passe par le trou 1”. On a alors
p(AsachantB) =|ψ1(x, y, z)|2dxdydz p(Asachant non B) =|ψ2(x, y, z)|2dxdydz p(B) =p(nonB) = 1
2 et
p(A) = 1
2|ψ1(x, y, z)|2dxdydz+1
2|ψ2(x, y, z)|2dxdydz+ cos
arg(ψ1(x, y, z)ψ2(x, y, z)) dxdydz Les termes d’interférences ondulatoires rendent les probabilités quantiques non disjonctives :
p(A) =p(AsachantB)p(B) +p(Asachant nonB)p(nonB) +interférences
Les probabilités quantiques ne satisfont donc pas à la théorie usuelle des probabilités, c’est pour cela qu’en mécanique quantique on utilise peu le formalisme de celle-ci y préférant celui des espaces de Hilbert.
1.1.7 Sur la non-commutativité des observables
L’un des aspects les plus importants de la mécanique quantique est la conséquence de la non-commutativité des observables, en général pour deux observablesA, B∈ L(H)on a
[A, B] =AB−BA6= 0 [A, B]est appelé commutateur deAetB.
Soit{ai}i= Sp(A)et{bj}j = Sp(B)les valeurs propres deAetBque l’on supposera toutes non-dégénérées (la généralisation aux cas dégénérés ne pose pas de difficultés). On note{φai}iet{φbj}jles vecteurs propres associés. Ces deux ensembles de vecteurs sont différents, car sinon
∀i, (AB−BA)φai = A(biφi)−B(aiφi)
= biAφi−aiBφi
= biaiφi−aibiφi
= 0
où on a notéφi =φai=φbi. Cette dernière relation étant vraie pour tout vecteurφi, l’ensemble de vecteurs étant une base de H, on aurait alors AB−BA = 0. Donc si les opérateurs ne commutent pas, les deux
ensembles de vecteurs propres sont nécessairement différents.
Soitψ∈ Hun état quelconque. Les vecteurs propres formant une base deHon a ψ=X
i
ca,iφai =X
j
cb,jφbj ca,i, cb,j∈C
avec X
i
|ca,i|2=X
j
|cb,j|2= 1
Supposons que l’on mesure l’observable Asans avoir fait de mesure surB, la probabilité d’obtenir comme résultat ai est de |ca,i|2. Supposons maintenant qu’on mesure tout d’abord l’observable B, et que l’on ait trouvé comme résultatbj. Alors d’après la règle de projection de Born, après cette mesure l’état du système est
ψaprès =φbj =X
i
hφai|φbjiφai
Si on mesure maintenantA, la probabilité de trouverai est maintenant de|hφai|φbji|26=|ca,i|2 puisque ca,i=X
j
cb,jhφai|φbji
Ainsi le résultat de la mesure deAdépend du fait que l’on ait ou pas mesurerB avantA. Les résultats des mesures dépendent de l’ordre dans lequel on procède à celles-ci.
On note hAiψ la moyenne de l’observable A dans l’état ψ (la moyenne des résultats que l’on pourrait obtenir pondérée de la probabilité de survenue de ceux-ci, c’est la moyenne des résultats si on fait une série de mesures sur un grand ensemble de systèmes identiques qui n’interfèrent pas entre eux, tous dans l’état ψ) :
hAiψ = hψ|Aψi
= X
i
|ca,i|2ai
On note∆Aψ l’écart-type des résultats des mesures deA(la dispersion moyenne des résultats autour de la moyenne), que l’on considère comme l’incertitude sur le résultat deA :
∆Aψ=q
hA2iψ− hAi2ψ
Propriété 2 (Relation d’incertitude de Heisenberg). Soient A, B ∈ L(H) deux observables hermitiennes (i.e.hψ|Aφi=hAψ|φipour toutψ, φ). Alors les incertitudes surAet B sont reliées par la relation
∆Aψ∆Bψ≥ 1
2|h[A, B]iψ|
Preuve : On poseA′=A− hAietB′=B− hBi. Soitφ= (A′+ıxB′)ψavecx∈R.
hφ|φi ≥0 ⇐⇒ hψ|(A′−ıxB′)(A′+ıxB′)|ψi ≥0
⇐⇒ h(A′)2i+ıxh[A, B]i+x2h(B′)2i ≥0
Le polynôme h(B′)2ix2+hı[A, B]ix+h(A′)2i doit donc toujours être positif, ce qui nécessite qu’il ne présente pas de racine réelle ou une seule racine double. Son discriminant doit donc vérifier
∆≤0 ⇐⇒ hı[A, B]i2−4h(B′)2ih(A′)2i ≤0
ıhψ|[A, B]|ψi=−ıhψ|[B, A]|ψi =ıhψ|[A, B]|ψi ⇒ hı[A, B]i ∈R. En remarquant queh(A′)2i=hA2i − hAi2, la propriété est démontrée.
La signification de cette propriété est la suivante : soitγ= infψ,kψk2=11
2|h[A, B]iψ|. On suppose queγ >0 (ce n’est pas toujours le cas). Alors si on s’arrange pour trouver un étatψtel que∆Aψsoit très petit, alors
∆Bψ≥∆Aγψ est très grand. Si on veut avoir des mesures de très grandes précisions surA, alors elles seront très dispersées surB (et réciproquement). On parle alors deprincipe d’incertitude de Heisenberg.
1.1. POSTULATS, ÉTATS ET OBSERVABLES 15
1.1.8 Règles de quantification canonique
Soit une particule d’espace de Hilbert H=L2(R3, dxdydz). Comment trouve t-on les observables quan- tiques pertinentes pour le système ? Il faut passer des observables classiques qui sont connues vers leurs équivalentes quantiques, un procédé que l’on appelle quantification. Un tel procédé n’est pas naturel, la mécanique quantique est plus fondamentale que la mécanique classique qui n’est qu’une approximation de celle-ci. Le passage naturel est donc du quantique vers le classique et non l’inverse. Mais comme nous vivons à une échelle où l’approximation classique est pleinement justifiée, on ne connaît en premier lieu que les observables classiques. Il faut donc un moyen de procéder à la quantification. Pour ce faire il existe une règle dite de quantification canonique :
Le principe est le suivant
V(x, y, z, t) 7→ V(x, y, z, t)×
~
p 7→ −ı~~∇
oùV est une fonction de l’espace et du temps et~p=m~v laquantité de mouvementclassique.
Ainsi pour une particule de masse m et charge q dans un champ électromagnétique de potentiels (V, ~A), l’hamiltonien classique
H(~x, ~p) = 1
2m(~p−q ~A(~x))2+qV(~x)
devient l’hamiltonien quantique (l’observable énergie)H ∈ L(L2(R3, dτ))qui agissant sur un état donne Hψ(~x) = 1
2m(−ı~~∇ −q ~A(~x))2ψ(~x) +qV(~x)ψ(~x) En l’absence de potentiel magnétiqueA~ =~0on trouve
Hψ=−~2
2m∆ψ+qV ψ
On ne sait pas justifier les règles de quantification canonique, la seule chose que l’on puisse dire est que de les appliquer fournit des résultats cohérents avec l’expérience. Ce n’est bien sûr pas très satisfaisant, et la recherche d’une théorie de quantification est un sujet très actif dans la recherche contemporaine. Aucune des théories de quantification proposée jusqu’à présent n’est pleinement satisfaisante.
On notera que la règle de quantification canonique est porteuse d’un problème connu commel’ambiguïté de quantification. Soit H =L2(R, dx). Les observables quantiques xˆ ∈ L(H) et pˆ= −ı~d
dx ∈ L(H) ne commutent pas :
[ˆx,p]ψ(x)ˆ = xˆˆpxψ(x)−pˆxxψ(x)ˆ
= −ı~xψ′(x) +ı~ d
dx(xψ(x))
= −ı~xψ′(x) +ı~ψ(x) +ı~xψ′(x)
= ı~ψ(x)
On a donc[ˆx,p] =ˆ ı~1(toujours en notant l’opérateur identité par1). Au passage nous voyons que le principe d’incertitude de Heisenberg est pour ces observables
∆ˆx∆ˆp≥ ~ 2
quelque soit l’état considéré (ceci constitue le principe d’incertitude de Heisenberg “historique”).
Revenons au problème de quantification. Considérons l’observable classique A(x, p) = xp. En mécanique classique les observables commutent, doncA(x, p) =xp=px= 12(xp+px) =.... Quelle est alors la bonne observable quantique : A1 = ˆxˆp, A2 = ˆpˆx, A3 = 12(ˆxˆp+ ˆpˆx), etc ? Du fait de la non-commutativité de xˆ avecpˆelles sont toutes différentes. Il n’y a pas de réponse simple à cette question, c’est suivant le contexte et l’expérience que l’on trouve la bonne observable quantique. C’est là l’ambiguïté de quantification. Une
“bonne” théorie de la quantification devrait éviter cet écueil.
1.2 Interprétations de la mécanique quantique
1.2.1 La parabole du chat de Schrödinger et l’interprétation de l’École de Co- penhague
L’interprétation de la mécanique quantique, en particulier de la structure d’espace vectoriel et du principe de projection de Born, est généralement étudiée à travers la parabole du chat de Schrödinger. Il s’agit de l’expérience de pensée suivante : On dispose d’un noyau d’Uranium, d’un détecteur de radio-activité, d’une fiole de poison, d’un chat et d’une boîte. On place dans la boîte, le noyau, le chat, et un dispositif chargé de briser la fiole de poison si le détecteur mesure la désintégration du noyau. On ferme la boîte et on suppose que pendant la durée de l’expérience, il y a une chance sur deux pour que l’uranium se désintègre. Lorsqu’on ouvre la boîte, on a donc une chance sur deux de trouver le chat en vie, et une chance sur deux de le trouver mort. Il y a donc deux états propres :|vieiet|morti.
La question est quel est l’état du chat juste avant l’ouverture de la boîte ? Suivant la structure d’espace vectoriel, appelé aussi principe de superposition, celui-ci s’écrit formellement :
|boîte ferméei= 1
√2(|viei+|morti)
et suivant le principe de projection de Born, à l’ouverture de la boîte, on mesure l’état du chat, ce qui le projette dans l’un des deux états. C’est l’interprétation de la superposition d’états qui pose problème.
L’école d’interprétation dominante, dite école de Copenhague, considère qu’il faut interpréter littéralement la superposition d’états : le chat est à la fois mort et vivant, la nature ignore le principe du tiers exclu et il est possible qu’un système présente simultanément deux états incompatibles (orthogonaux dans l’espace de Hilbert).
À ce stade, il convient de bien distinguer les probabilités quantiques des probabilités statistiques. En physique statistique, on dirait que tant que la boîte est fermée il y a une distribution d’étatsptelle quepvie= 12 et pmort = 12. Cette distribution d’états n’est pas une propriété intrinsèque de la Nature, elle modèlise notre méconnaissance du système, c’est à dire le fait qu’il manque au physicien de l’information. Il y a donc de l’information cachée dans la boîte. En mécanique classique, on dirait que l’état du chat dans la boîte est soit vivant soit mort, l’information nous est cachée (le principe du tiers exclu s’applique donc). En mécanique quantique, il n’y a pas d’information cachée dans la boîte, on connaît l’état du chat :|boîte ferméei =
√1
2(|viei+|morti). La règle de projection de Born, est un processus aléatoire intrinsèque qui change l’état du chat lorsque l’on observe celui-ci. Les probabilités quantiques ne modélisent pas un manque d’information. Les expériences d’Aspect portant sur le paradoxe EPR et les inégalités de Bell prouvent qu’il n’a pas d’information cachée locale en mécanique quantique (c’est à dire d’information cachée dans la boîte du chat de Schrödinger) ; cf. cours d’optique quantique d’E. Lantz.
1.2.2 Les autres interprétations de la mécanique quantique
L’interprétation de Copenhague n’est pas sans poser différents problèmes, en particulier en ce qui concerne le principe de projection de Born. Qu’est-ce qui définit une mesure capable de projeter l’état ? Le chat n’est-il pas en mesure de mesurer lui-même son état et ainsi de le projeter alors que la boîte est encore fermée ? Faut- il l’intervention de la conscience pour projeter l’état (le chat a t-il suffisamment de conscience) ? Ce problème est représenté par la parabole de l’ami de Wigner. Wigner réalise une expérience de chat de Schrödinger dans un laboratoire fermé. Un ami de Wigner se tient à la porte du laboratoire. La question est cette fois quel est l’état de Wigner quand la boîte est ouverte mais que la porte du laboratoire est fermée. L’application naïve des principes de la mécanique quantique donne pour état à Wigner
|porte ferméei= 1
√2(|Wigner voit le chat vivanti+|Wigner voit le chat morti)
État qui sera projeté dans l’un des deux états propres lorsque la porte du laboratoire sera ouverte. La para- bole de l’ami de Wigner a conduit à proposer une interprétation “relationniste” où la mécanique quantique ne décrit pas les propriétés d’un objet mais la relation entre deux objets (le système et l’observateur). La réalité est alors “relative” au choix de l’observateur (un peu comme la vitesse en mécanique classique est relative au choix de référentiel). La fonction d’onde est alors interprétée comme la description des correlations entre l’observateur et le système observé.
1.2. INTERPRÉTATIONS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 17
Les paradoxes de l’interprétation de l’école de Copenhague ont conduit certains physiciens à proposer d’autres types d’interprétations. Dans l’interprétation des mondes parallèles d’Everett, il existe deux mondes paral- lèles, l’un dans lequel le chat est vivant dans la boîte fermée, l’autre dans lequel il est mort. Lorsqu’on ouvre la boîte, on découvre simplement dans lequel des deux mondes on se trouve. Dans cette interprétation, il y a une information cachée, mais elle n’est pas dans la boîte, elle est reportée dans l’ensemble de l’univers. Cette interprétation est compatible avec les inégalités de Bell, car il n’est pas possible de tester ces inégalités sur l’ensemble de l’univers (car il faut être extérieur au système pour les tester). Par contre pour expliquer les interférences, on doit supposer que lors des superpositions d’états, les mondes parallèles associés ne sont pas séparés et interferfèrent les uns avec les autres, ce qui engendre de nouveaux paradoxes.
La dualité onde-corpuscule de de Broglie pose également des problèmes d’interprétation. Ainsi deux parti- cules indiscernables ne sont pas séparables (leurs fonctions d’onde “fusionnent”). Du coup la notion même de particule individuelle n’est pas claire. Cette question a donné lieu à deux cadres d’interprétation. L’interpré- tation de l’onde pilote de Bohm-de Broglie suppose qu’il existe deux entités physiques distinctes, la particule bien corpusculaire qui “flotte” sur un “fluide de probabilités” parcouru par l’onde associée par le principe de dualité. Ainsi dans l’expérience des trous d’Young, l’onde passe par les deux trous et interfère, alors que la particule, “emportée par celle-ci”, ne passe que par un trou. Mais l’ensemble des particules reforment bien la figure d’interférence car elles sont portées par l’onde (dont les “courants” ne peuvent les porter vers les franges sombres). Cette interprétation n’est pas libre de paradoxes. Si le fluide de probabilité est bien décrit par une équation hydrodynamique, celle-ci est gouvernée par un potentiel non local (associé à l’information caché de la théorie, les “forces quantiques” agissant sur le fluide). Ainsi dans l’expérience des trous d’Young, les courants de probabilité sont modifiés non-localement par la présence d’un détecteur de particules au niveau d’un trou.
L’autre cadre proposé suite à la dualité onde-corpuscule est la famille des interprétations non ontologiques.
Il s’agit de considérer que l’ontologie n’a pas de sens en physique quantique, c’est à dire que les objets (les essences) n’ont pas de réalité. Ainsi le terme de particule ne reflète aucune réalité objective. Il s’agit là d’interprétations idéalistes (au sens de Kant ou de Berkeley), une réalité unique indépendante peut exister mais elle est essentiellement inconnaissable.
L’interprétation des histoires consistantes de Griffiths consiste à ne pas considérer les événements individuel- lement, mais toute la chaîne temporelle d’événements, appelée “une histoire”. Considérant toutes les histoires cohérentes (consistantes) avec les informations connues, on peut interpréter la mécanique quantique en élimi- nant les paradoxes de l’école de Copenhague. Le prix à payer étant justement la définition de la consistance qui interdit de poser certaines questions (dites inconsistantes). Le fait que des questions naturelles soient inconsistantes constitue alors un nouveau paradoxe. La question “Quel est l’état du chat lorsque la boîte est encore fermée ?” est l’une de ces questions inconsistantes que l’on n’aurait pas le droit de poser.
Il existe beaucoup d’interpétations, toutes sont porteuses de paradoxes. Changer d’interprétation ne fait que déplacer le problème. C’est aussi pour cela que beaucoup de physiciens choisissent une interprétation instrumentaliste : “la physique n’a avoir qu’avec la prédiction expérimentale et ne dit rien sur la réalité de la Nature”.
Les différentes interprétations peuvent être caractérisées par quatre questions :
– L’interprétation est-elle déterministe ? Le comportement des systèmes quantiques est-il par nature aléa- toire ou déterminé par l’influence de quelque chose de non mesurable (comme le fluide de probabilité) ? – Y a t-il de l’information cachée non-locale (hors de la boîte) ?
– La fonction d’onde a t-elle une réalité objective (est-ce une essence, un objet physique “concret”) ou n’est-ce qu’un intermédiaire mathématique ?
– La réalité est-elle unique ou existe t-il plusieurs réalités (mondes parallèles, histoires parallèles) ? Interprétations Déterministe Information Réalité de la Unicité de
cachée non-locale fonction d’onde la réalité
Copenhague non non non oui
Mondes parallèles oui oui non non
Onde pilote oui (mais non local) oui oui oui
Histoires consistantes agnostique non agnostique non
Relationnisme non non oui non
Idéalisme agnostique agnostique non oui
Instrumentalisme agnostique agnostique agnostique agnostique
1.3 Observables et transformations
1.3.1 Domaine d’un opérateur
Considérons l’espace des étatsH=L2(R, dx)(particule sur un axe). Soit ψ(x) = √ 1 1+x2. Z +∞
−∞ |ψ(x)|2dx= Z +∞
−∞
dx
1 +x2 = [arctanx]+−∞∞=π <+∞ ψ∈L2(R, dx)est donc bien un état admissible. Mais considérons la fonctionxψˆ :
ˆ
xψ(x) =xψ(x) = x
√1 +x2 Z +∞
−∞ |xψ(x)ˆ |2dx= Z +∞
−∞
x2dx 1 +x2 =
Z +∞
−∞
1 +x2−1
1 +x2 dx= [x−arctanx]+−∞∞= +∞
Doncxψˆ 6∈L2(R, dx). L’action de l’opérateurxˆsur l’étatψn’est pas un état (car on ne peut le normer pour en faire une amplitude de probabilité). On ne devrait donc pas avoir le droit de faire agir ˆxsur ψ. Pour chaque observable, il faut restreindre l’espace des états aux états admissibles.
Définition 4(Domaine). Soit A∈ L(H)un opérateur. On appelle domaine de Ale sous-espace de H: DomA={ψ∈ H tel queAψ∈ H}
DomA est un espace pré-Hilbertien mais il n’est pas nécessairement topologiquement complet, lorsque c’est le cas on dit queAest un opérateur fermé. Lorsqu’on définit une observable, on doit donner l’expression de son opérateur mais aussi le domaine sur lequel il est defini. On peut bien sûr pour un opérateur donné chercher le domaine maximal sur lequel on peut l’étendre. Ainsi les domaines maximaux des opérateurs position et impulsion dansL2(R, dx)sont
Domˆx={ψ∈L2(R, dx)| Z +∞
−∞
x2|ψ(x)|2dx <∞}
Domˆp={ψ∈L2(R, dx)|ψ est dérivable, Z +∞
−∞ |ψ′(x)|2dx <∞}
Dans certains espaces de Hilbert, les domaines des opérateurs doivent inclure des conditions aux bords.
Ainsi dans L2([0,1], dx), pˆ peut être défini sur le domaine {ψ ∈ L2([0,1], dx)|ψ′ ∈ L2([0,1], dx), ψ(0) = ψ(1)} (conditions aux limites périodiques) ou sur {ψ ∈L2([0,1], dx)|ψ′ ∈ L2([0,1], dx), ψ(0) = ψ(1) = 0} (conditions aux limites strictes).pˆdéfini sur le premier domaine est un opérateurdifférent depˆdéfini sur le second domaine.
Définition 5(Norme d’un opérateur). Soit A∈ L(H)un opérateur. On appelle norme de Ala quantité kAk= sup
ψ∈H,ψ6=0
kAψk
kψk = sup
ψ∈H,kψk=1kAψk
Un opérateurAest dit bornésikAk<+∞. On note B(H)l’ensemble des opérateurs bornés.
Le norme d’un opérateur mesure l’effet maximal qu’a celui-ci sur les états. Par définition on a A∈ B(H) ⇐⇒ DomA=H
En dimension finie tous les opérateurs sont bornés, donc tous les domaines sont la totalité de l’espace de Hilbert.
Par construction on akAψk ≤ kAk · kψk.
Quelques précautions à prendre avec les opérateurs non-bornés :
1.3. OBSERVABLES ET TRANSFORMATIONS 19
– la notation de Dirac A = P+∞
i,j=1hφi|Aφji|φiihφj| avec (φi)i=1,...,∞ base de H reste valide (si ∀i, φi∈DomA) mais on n’a pas le droit de l’appliquer à des vecteursψ6∈DomAcar la série ne converge pas :
ψ6∈DomA⇒ X∞
i,j=1
|hφi|Aφjihφj|ψi|2= +∞
– le commutateur [A, B] de deux opérateurs non-bornés est defini seulement sur le domaine conjoint Dom(AB)∩Dom(BA).
Définition 6(Adjoint d’un opérateur). SoitA∈ L(H). On appelle adjoint deA, l’opérateur notéA† défini sur le domaine
DomA† ={ψ∈ H|∃Cψ ∈R+∗,∀φ∈DomA,|hψ|Aφi| ≤Cψkφk}
et tel que∀ψ∈DomA†,∀φ∈DomA
hψ|Aφi=hA†ψ|φi
Le rôle des adjoints est de renverser le point de vue : avec les opérateurs directs on transforme les états par action des opérateurs puis on mesure les amplitudes de probabilité dont les fonctionnelles n’ont pas changé ; alors qu’avec les adjoints on transforme les fonctionnelles puis on fait agir le résultat de ces transformations sur les états qui sont resté inchangés. Le théorème de Riesz entraîne que l’adjoint est aussi un opérateur.
La définition deDomA† est posée pour que l’inégalité de Cauchy-Schwarz soit vérifiée avecφetA†ψassurant queA†ψ∈ H.
Remarque sur les notations de Dirac :
hψ|Aφi=hA†ψ|φi=hψ|A|φi
⇒A|φi=|Aφi hψ|A=hA†ψ|
Définition 7(Opérateur hermitien). Un opérateurA∈ L(H)est dit hermitien siDomA⊂DomA† et
∀ψ∈DomA, Aψ=A†ψ On noteA⊂A†.
Les opérateurs hermitiens sont les observables physiques naturelles car leur action est symétrique dans le passage des vecteurs aux fonctionnelles. On verra un peu plus loin pourquoi ces opérateurs sont les plus importants en physique. Néanmoins la dissymétrie des domaines peut être gênante, on introduit alors la nouvelle définition :
Définition 8(Opérateur autoadjoint). Un opérateurA∈ L(H)est dit autoadjoint siDomA= DomA† et
∀ψ∈DomA, Aψ=A†ψ On noteA=A†.
Exemple : les projecteurs orthogonaux sont des opérateurs autoadjoints,P†=P. Un opérateur hermitien borné est autoadjoint carDomA= DomA†=H(∀ψ,|hψ|Aφi| ≤ kψk · kAφk ≤ kψk · kAk · kφk).
1.3.2 Transformations
Jusqu’ici on n’a considéré que deux types d’entités, les états qui décrivent les propriétés intrinsèques des systèmes quantiques et les observables qui décrivent les actions de mesures par l’observateur. Mais il y a un troisième type d’entités, les transformations qui correspondent à une modification non active sur le système (modifications qui n’affectent pas intrinséquement le système), comme transporter le système d’un point vers un autre, ou tourner le système. Une transformation va être décrite par un opérateurU tel queU ψsoit l’état du système après la transformation si avant celle-ci il était dans l’étatψ. Le point important est que si on transforme le système on ne change pas les probabilités. On doit donc avoir|hU φ|U ψi|2=|hφ|ψi|2 (si on “tourne” simultanément le système et l’instrument qui permet d’évaluer les probabilités de transition, on ne change pas le résultat de l’évaluation).
Définition 9(Opérateurs unitaires). Un opérateurU ∈ L(H) est dit unitaire si
∀ψ, φ∈ H, hU φ|U ψi=hφ|ψi On noteU(H) l’ensemble des opérateurs unitaires.
Il est clair que
U ∈ U(H)⇒U†=U−1 Une transformation est un opérateur unitaire1.
SoitAψun vecteur après action d’une observableA. Si on transforme le résultat parU ∈ U(H)on a U Aψ=U AU−1U ψ= (U AU†)U ψ
“Tourner” Aψ est équivalent à tourner le système U ψ, “tourner” l’appareil de mesure U AU† et faire agir l’observable “tournée”. L’opérateur transformé est doncU AU†. Si on transforme le système sans transformer l’instrument de mesure on aAU ψet si on fait la transformation inverse après avoir fait agir l’observable, on trouveU†AU ψ.U†AU est donc aussi un opérateur transformé. Il conviendra lorsqu’on parlera d’opérateur transformé de bien distinguer le cas où on transforme simultanément système et instrument de mesure du cas où on tourne seulement l’un des deux.
Il faut noter que très souvent on n’a pas une transformation unique mais en ensemble de transformations dont “l’amplitude” est définie par un paramètre (comme pour les rotations autour d’un axe, où le paramètre est l’angle de rotation) :
Définition 10 (Groupe continu de transformations unitaires à un paramètre). On appelle groupe continu de transformations à un paramètre, un ensembleG={Uλ∈ U(H), λ∈R} tel que
• U0= 1
• UλUµ=Uλ+µ
• U−λ=Uλ† =Uλ−1
• ∀φ∈ H,limλ→µk(Uλ−Uµ)φk= 0(∀µ∈R).
On peut considérer l’opérateur suivant :
A=ı~ dUλ
dλ
λ=0
qui est appelé générateur du groupe de transformations.
Propriété 3. Soit Uλ∈ L(H)une famille d’opérateurs inversibles dérivable. Alors dUλ−1
dλ =−Uλ−1dUλ
dλ Uλ−1 Preuve :
Uλ−1Uλ= 1⇒ dUλ−1
dλ Uλ+Uλ−1
dUλ
dλ = 0
On a donc
A† = −ı~ dUλ−1 dλ
λ=0
= −ı~
−Uλ−1dUλ
dλ Uλ−1
λ=0
= ı~U0−1 dUλ
dλ
λ=0
U0−1
= A puisqueU0= 1.Aest donc hermitien.
1. On notera qu’en toute rigueur, puisque la condition physique est|hU φ|U ψi|2=|hφ|ψi|2, ce sont les opérateurs unitaires à une phase près (on dit projectivement unitaires) que l’on devrait considérer. On n’insistera néanmoins pas sur ce point ici.
