18 blocs pour apprendre la mécanique quantique et la physique statistique
Résonance magnétique
Structure des atomes
Physique des solides
Physique stellaire Principe du laser
Nature du "réel"
Le cours de physique
Mécanique quantique
7 blocs Physique statistique
11 blocs
Voie A Voie B
+
M.Q.
+ P.S.
Note : les fichiers pdf des diapositives ainsi que les infos du cours sont disponibles à l'adresse http://www.enseignement.polytechnique.fr/physique/
cours 2ème année mécanique quantique transparents
Idée clés de la description quantique d'un système physique :
Relations d'incertitude :
Principes de la mécanique quantique
¾ Etats du système
¾ "Observables" de ce système
¾ Evolution temporelle du système
Avec quel degré de précision peut-on espérer connaître plusieurs grandeurs physiques simultanément ?
1.
Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique ?
Particule ponctuelle de masse m (non relativiste) Newton :
position et impulsion réelles
Physique newtonienne ou physique ondulatoire ?
Schrödinger : fonction d'onde complexe
Description probabiliste : ψ est continue et
Les concepts classiques cessent de s'appliquer quand : action caractéristique < constante de Planck h
action = longueur caractéristique x impulsion caractéristique
avec :
a
Particules d'impulsion p
Diffraction d'un jet de particule par un trou
"action"
Description quantique en terme d'onde plane de longueur d'onde
Les phénomènes non classiques (diffraction) seront dominants si : λ > a p a < h
λ = h / p (de Broglie)
action caractéristique : pa
à comparer à la cte. de Planck : h
p a / h Taille de
l'ouverture (m) Vitesse
(m/s) Masse
(kg) Système
considéré
1 10
1110
3410
-6700
9 10
-31Electron à travers
une fente
10
-410
-110
-16Globule rouge
dans un capillaire
1 1
Homme passant 70 une porte
Mécanique quantique = physique des objets microscopiques Ordres de grandeur (h=6,63 10
-34J s)
Même type d'expérience menée avec des électrons, des molécules C
60Expériences menées avec des atomes (néon)
action = taille * impulsion = taille * masse * vitesse
Superfluidité de l'hélium liquide à basse température (T < 2,3 K)
La physique quantique peut également être macroscopique
Supraconductivité de certains métaux à basse température
Caractère quantique marqué si :
distance entre voisins < longueur d'onde de de Broglie
• Particule ponctuelle
• Description d'un système quantique quelconque
2.
Les principes de la mécanique quantique
Particule ponctuelle de masse m dans un état
Mesures sur une particule ponctuelle
x
Si on effectue une mesure de position sur un grand nombre de particules, toutes préparées dans le même état ψ , on peut tracer un histogramme :
N(x)
Mesure de position
( ) r t ,
2ψ G Le résultat n'est pas certain :
variable aléatoire de densité de probabilité
( r,t )
2ψ
position moyenne :
2 3
( , ) x = ∫ x ψ r t G d r x
( , ) r t ψ G
Mesure d'impulsion
Mesures de position et mesures d'impulsion
Mesure de position
2 3 * 3
( , ) ( , ) ( , )
x = ∫ x ψ r t G d r = ∫ ψ r t x G ψ r t d r G
2 3 * 3
( , ) ( , ) ( , )
r G = ∫ r G ψ r t G d r = ∫ ψ r t r G G ψ r t d r G
A toute grandeur de la physique newtonienne , on associe un opérateur
Mesures (suite)
Action de l'opérateur position sur la fonction d'onde : multiplication par
Action de l'opérateur impulsion sur la fonction d'onde : dérivation par rapport à (gradient)
Opérateur moment cinétique :
Action sur :
L'état d'un système quantique est caractérisé par un vecteur d'un espace de Hilbert
Particule ponctuelle : Atome d'hydrogène :
Fonctions de carré sommable Autres types de degrés de liberté : moment magnétique, spin, polarisation Espaces de dimension finie
généralisation de Le vecteur est normé :
Formulation générale de la mécanique quantique
2 2
( ) t ( ) t ( ) ( ) t t 1
ψ = ψ = ψ ψ =
( ) t ψ
( ) t ψ
Relation entre le formalisme et les quantités physiquement mesurables : A toute grandeur physique A, on associe un opérateur agissant dans l'espace de Hilbert
En dimension finie, est une matrice carrée
Les opérateurs associés aux grandeurs physiques sont hermitiens Observables
vecteur ligne matrice carrée vecteur colonne
Observables
On dispose désormais de sources délivrant des photons "un par un".
polarisation horizontale
polarisation verticale polarisation inconnue
Cube polariseur z
Observable : composante de la polarisation le long de l'axe z 2 résultats possibles : ε
z=1 photon de pol. verticale
ε
z=0 photon de pol. horizontale
Notion qui sera approfondie lors de l'étude de l'expérience de Stern & Gerlach
Exemple : la polarisation d'un photon
Espace à deux dimensions, de base { V , H }
état de polarisation quelconque : ψ = α V + β H
Le principe énoncé pour une particule ponctuelle se généralise à tout système physique :
La valeur moyenne des résultats d'une mesure de A, effectuées sur un grand nombre de systèmes tous préparés dans l'état , vaut :
a N(a)
a
1a
2a
3a
4Mais quels sont les résultats individuels possibles a
iet leur probabilité p
i? généralisation de
(réel)
Mesures individuelles
Principe :
• Dans une mesure de A, les seuls résultats possibles sont les valeurs propres a
αde .
• La probabilité de trouver la valeur propre a
α, de vecteur propre associé , est :
Mesures individuelles (2)
Si la valeur propre est dégénérée, cette formule se complique un peu : où est le projecteur sur le sous-espace propre de a
α.
L'observable (particulièrement importante !) associée à l'énergie est l'hamiltonien.
pour une particule ponctuelle à 1D : Sandwich de Al Ga As – Ga As – Al Ga As
Potentiel électrostatique vu par un électron de conduction V(x) x
Un exemple concret : énergie d'un électron dans un puits quantique
avec
Une mesure de l'énergie de l'électron ne peut donner comme résultat qu'une des valeurs propres E
αde l'hamiltonien :
x V(x)
Spectre continu d'énergie : états asymptotiquement libres
Partie discrète du spectre : états liés
E
αLe puits quantique (suite)
2 2
ˆ
2( )
2
H d V x
= − = m dx +
Spectre discret :
Etat fondamental (n=0) : fonction d'onde gaussienne avec
n=0 n=1 n=2 n=3
Un autre exemple : l'oscillateur harmonique
ω / 2π = 6 10
13Hz
Jet moléculaire
de CO
Electrons diffusés
E 1 E 2
Electrons incidents
x 3
0 1 2
Perte d'énergie E1-E2 (eV)
Courantélectroniquediffusé