Principes de la mécanique quantique

(1)

18 blocs pour apprendre la mécanique quantique et la physique statistique

Résonance magnétique

Structure des atomes

Physique des solides

Physique stellaire Principe du laser

Nature du "réel"

Le cours de physique

Mécanique quantique 7 blocs

Physique statistique 11 blocs

Voie A Voie B

+

M.Q.

+ P.S.

Idée clés de la description quantique d'un système physique :

Relations d'incertitude :

Principes de la mécanique quantique

! Etats du système

! "Observables" de ce système

! Evolution temporelle du système

Avec quel degré de précision peut-on espérer connaître plusieurs grandeurs physiques simultanément ?

1. Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique ?

Particule ponctuelle de masse m(non relativiste) Newton :

position et impulsion réelles

Physique newtonienne ou physique ondulatoire ?

Schrödinger : fonction d'onde complexe

Description probabiliste : ψ est continue et

Les concepts classiques cessent de s'appliquer quand : action caractéristique < constante de Planck h

action = longueur caractéristique x impulsion caractéristique avec :

(2)

"action"

a

Particules d'impulsion p

Description quantique en terme d'onde plane de longueur d'onde

Les phénomènes non classiques (diffraction) seront dominants si : λ ^{> a} ^{p a}^{< h}

λ = h / p

Diffraction d'un jet de particule par un trou

(de Broglie)

p a / h Taille de

l'ouverture (m) Vitesse

(m/s) Masse

(kg) Système

considéré

1 10¹¹ 10³⁴

10^-6 700

9 10^-31 Electron à travers

une fente

10^-4 10^-1

10^-16 Globule rouge

dans un capillaire

1 1

Homme passant 70 une porte

Mécanique quantique = physique des objets microscopiques Ordres de grandeur (h=6,63 10^-34J s)

Même type d'expérience menée avec des électrons, des molécules C₆₀

Expériences menées avec des atomes (néon)

action = taille * impulsion = taille * masse * vitesse

Superfluidité de l'hélium liquide à basse température (T < 2,3 K)

La physique quantique peut également être macroscopique

Supraconductivité de certains métaux à basse température

Caractère quantique marqué si :

distance entre voisins < longueur d'onde de de Broglie

(3)

• Particule ponctuelle

• Description d'un système quantique quelconque

2. Les principes de la mécanique quantique

Particule ponctuelle de masse mdans un état

Mesures sur une particule ponctuelle

x

Si on effectue une mesure de position sur un grand nombre de particules, toutes préparées dans le même état ψ, on peut tracer un histogramme :

N(x)

Mesure de position

( )

^{r t}^, ²

ψ ^! Le résultat n'est pas certain :

variable aléatoire de densité de probabilité

(

^r,t

)

²

ψ

position moyenne :

2 3

( , ) x =

∫

xψ r t^! d r x

( , )r t ψ ^!

Mesure d'impulsion

Mesures de position et mesures d'impulsion

Mesure de position

2 3 * 3

( , ) ( , ) ( , )

x =

∫

x ψ r t^! d r=

∫

ψ r t x^! ψ r t d r^!

2 3 * 3

( , ) ( , ) ( , )

r^! =

∫

r^! ψ r t^! d r=

∫

ψ r t r^! ^!ψ r t d r^!

A toute grandeur de la physique newtonienne , on associe un opérateur

Mesures (suite)

Action de l'opérateur position sur la fonction d'onde : multiplication par

Action de l'opérateur impulsion sur la fonction d'onde: dérivation par rapport à (gradient)

Opérateur moment cinétique : Action sur :

(4)

L'état d'un système quantique est caractérisé par un vecteur d'un espace de Hilbert

Particule ponctuelle : Atome d'hydrogène :

Fonctions de carré sommable Autres types de degrés de liberté : moment magnétique, spin, polarisation

Espaces de dimension finie

généralisation de Le vecteur est normé :

Formulation générale de la mécanique quantique

2 2

( )t ( )t ( )t ( )t 1

ψ = ψ = ψ ψ =

( )t ψ

Relation entre le formalisme et les quantités physiquement mesurables : A toute grandeur physique A, on associe un opérateur agissant dans l'espace de Hilbert

En dimension finie, est une matrice carrée

Les opérateurs associés aux grandeurs physiques sont hermitiens Observables

vecteur ligne matrice carrée vecteur colonne

Observables

On dispose désormais de sources délivrant des photons "un par un".

polarisation horizontale

polarisation verticale polarisation inconnue

Cube polariseur z

Espace à deux dimensions

Observable : composante de la polarisation le long de l'axe z 2 résultats possibles : εz=1 photon de pol. verticale

εz=0 photon de pol. horizontale

Notion qui sera approfondie lors de l'étude de l'expérience de Stern & Gerlach

Exemple : la polarisation d'un photon

Le principe énoncé pour une particule ponctuelle se généralise à tout système physique :

La valeur moyenne des résultats d'une mesure de A, effectuées sur un grand nombre de systèmes tous préparés dans l'état , vaut :

a N(a)

a₁ a₂ a₃ a₄

Mais quelles sont les résultats individuels possibles a_i et leur probabilité p_i? généralisation de

(réel)

Mesures individuelles

(5)

Principe :

• Dans une mesure de A, les seuls résultats possibles sont les valeurs propres a_αde .

• La probabilité de trouver la valeur propre a_α, de vecteur propre associé , est :

Mesures individuelles (2)

Ceci est bien cohérent :

Si la valeur propre est dégénérée, cette formule se complique un peu : où est le projecteur sur le sous-espace propre de a_α.

L'observable (particulièrement importante !) associée à l'énergie est l'hamiltonien.

pour une particule ponctuelle à 1D : Sandwich de Al Ga As – Ga As – Al Ga As

Potentiel électrostatique vu par un électron de conduction V(x) x

Un exemple concret : énergie d'un électron dans un puits quantique

avec

Une mesure de l'énergie de l'électron ne peut donner comme résultat qu'une des valeurs propres E_αde l'hamiltonien :

x V(x)

Spectre continu d'énergie : états asymptotiquement libres

Partie discrète du spectre : états liés

E_α

Le puits quantique (suite)

2 2

ˆ 2 ( )

2

H d V x

= − "m dx +

Spectre discret :

Etat fondamental (n=0) : fonction d'onde gaussienne avec

n=0 n=1 n=2 n=3

Un autre exemple : l'oscillateur harmonique

(6)

ω ^{/ 2}π= 6 10¹³Hz

Jet moléculaire

de CO

Electrons diffusés

E1 E2

Electrons incidents

x 3

0 1 2

Perte d'énergie E1-E2 (eV)

Courantélectroniquediffusé

Exemple : vibration d'une molécule (CO)

1,13 Å

Principe : équation de Schrödinger

Cette équation fait jouer un rôle particulier aux vecteurs propres de

Evolution temporelle des systèmes

• obtenir le vecteur à n'importe quel instant ultérieur grâce à :

• décomposer sur la base : avec

Si on a pu déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres E_α

alors, pour tout état initial , il suffit de :

( indépdt. du temps)

x V(x)

ψ0(x) ψ1(x)

Un exemple d'évolution : mouvement dans un puits carré Si l'état initial est

Pas de mouvement !

Si l'état initial est : alors

Modulation de à la pulsation

état stationnaire

3. Relations d'incertitude

(7)

a N(a)

a₁a₂a₃a₄

On considère Nsystèmes tous préparés dans le même état Valeur moyenne des résultats :

Avec quelle précision peut-on mesurer une observable ?

Variance :

Peut-on avoir un résultat certain, c'est-à-dire∆a = 0 ? Oui, si le système est dans un état propre de

On considère 2Nsystèmes tous préparés dans le même état

a N(a)

a₁a₂a₃a₄ b

N(b)

b₁b₂ b₃

Mesure de Asur Nsystèmes Mesure de Bsur Nsystèmes

Peut-on avoir simultanément∆a = 0 et∆b= 0 ?

Avec quelle précision peut-on mesurer deux observables ?

En général, non ! Plus précisément :

avec

x

2Nparticules dans le même état

détecteur

Mesure de la position selon x

Nparticules

Exemple d'application : position & impulsion

détecteur

Mesure de l'impulsion selon x

Nparticules

Commutateur

La relation générale donne alors :

Autre démonstration possible à partir des propriétés de la transformation de Fourier

Cette relation d'incertitude n'a rien à voir avec la résolution des

appareils de mesure, c'est-à-dire la largeur des canaux des histogrammes

Exemple d'application : position & impulsion (2)

(8)

Boulder, juin 1995 : 2000 atomes accumulés dans l'état fondamental d'un piège magnétique.

Une illustration de ces résultats : condensats de Bose-Einstein

On prépare les atomes avec un moment magnétique opposé à

Hamiltonien :

x

Si la température est assez basse, la majeure partie des atomes restants s'accumule dans l'état fondamental du piège (voir cours de Phy. Stat.) :

Refroidissement par évaporation

10⁷à 10⁹atomes 10³à 10⁶atomes

Mesure simultanée de xet z pour un grand nombre de systèmes quantiques (atomes) tous préparés dans le même état.

Observation expérimentale

z y x

Bobines de champ magnétique

Caméra CCD

Laser

Test de l'inégalité de Heisenberg

Un meilleur confinement selon xque selon zentraîne une dispersion en vitesse ∆v_xplus grande que ∆v_z

après

"temps de vol"

Atomes de sodium

z

x