Mécanique Quantique

Mécanique Quantique

Said Ouannasser

Université Mohamed Premier Faculté Pluridisciplinaire de Nador

Département de Physique

Plan du cours

Introduction

Chapitre 1: Les origines de la théorie quantique

Chapitre 2: Fonction d’onde et équation de Schrödinger

Chapitre 3: Les bases mathématiques de la mécanique quantique Chapitre 4: Formulation générale de la mécanique quantique

Introduction

La physique classique et ses limites

La physique classique a régné en maître depuis que le physicien Isaac Newton en a énoncé ses fondements. Trois siècles de développements mathématiques en ont fait une théorie et un cadre quasi universel. Cette physique est capable d’expliquer le mouvement des planètes du système solaire, le mouvement d’objets chargés dans un champ électrique et/ou magnétique, le comportement des fluides...

Cependant, vers la fin du 19^ème siècle quelques expériences restaient sans explications, parmi lesquelles on peut citer:

1) le rayonnement du corps noir 2) l’effet photoélectrique

3) le spectre atomique

Introduction

La naissance de la mécanique quantique

La physique quantique est née en 1900 lorsque le physicien allemand Max Planck publie les résultats de ses recherches sur le rayonnement du corps noir. Dans cet article, il introduit une nouvelle constante fondamentale de la physique qu’il désigne par h, qu’on nomme aujourd’hui la constante de Planck.

La mécanique quantique est la section de la physique théorique qui traite les lois du mouvement des particules à l’échelle microscopique: les atomes, les molécules et les particules encore plus petites.

la mécanique quantique a apporté des explications à des phénomènes jusqu’alors inexplicables et a permis de nombreux progrès scientifiques et technologiques.

Chapitre 1

Les origines de la théorie quantique

Le rayonnement du corps noir

Qu’est ce qu’un corps noir ?

Un corps noir est un corps idéal capable d’absorber toutes les ondes électromagnétiques qu'il recevrait, sans en réfléchir ni en transmettre.

Porté à une température T, le corps noir émet plus de radiations que n’importe quel autre corps porté à la même température.

Dans la nature, il n'existe pas de corps avec les caractéristiques requises, mais en laboratoire, il est possible de construire des modèles qui, dans des conditions déterminées, sont capables d'en simuler fidèlement le comportement.

Le rayonnement du corps noir

Modèle du « corps noir »

i) l'objet réel qui peut décrire le corps noir est l'intérieur d'un four percé d'un petit trou laissant s'échapper une fraction du rayonnement interne.

ii) Les parois de l'intérieur de l'enceinte émettent un rayonnement à toutes les longueurs d’ondes.

iii) Cette émission est due à l'agitation des atomes: chaque atome se comporte comme un dipôle ou oscillateur.

iv) la répartition de la quantité d'énergie en fonction de la longueur d’onde (ou de la fréquence) s'appelle: le spectre du corps noir.

Le rayonnement du corps noir

Modèle du « corps noir »

Le rayonnement du corps noir

Le spectre des ondes électromagnétiques

0.1 A 10 A 0.1 m^{0.4 m 0.7 m} 1 mm 1 cm 1 m 1 km

X





Longueur d’onde croissante

Énergie croissante

Le rayonnement du corps noir

Le spectre du corps noir

Densité spectrale d’énergie ρ(ν) du “rayonnement du corps noir” en fonction de la fréquence pour T = 4000 K et T = 6000 K.

ρ (ν )

Fréquence ν (Hz)

T = 6000 K

T= 4000 K

Infrarouge Visible Ultra violet

Le rayonnement du corps noir

Traitement classique

Que ce soit dans le cadre de la mécanique classique ou dans le cadre de la nouvelle interprétation (mécanique quantique), les constituants de la paroi (atomes ou molécules) du corps noir se comportent comme des oscillateurs harmoniques.

Dans le cas d’un traitement classique du corps noir, Rayleigh et Jeans ont appliqué la statistique de Maxwell-Boltzman. La densité d’énergie rayonnée par un corps noir, selon Rayleigh et Jeans, a pour expression:

: Nombre d’oscillateurs : Energie moyenne par unité de fréquence d’un oscillateur

2

8

( , ) T k T

 c

  

2

8

 c

B

Le rayonnement du corps noir

Traitement classique

On constate un désaccord entre la théorie et l’expérience pour les hautes fréquences. Cet échec porte encore le nom de

« catastrophe ultra-violette »

ρ (ν )

Fréquence ν (Hz)

T = 6000 K

T= 4000 K

Infrarouge Visible Ultra violet

Résultat classique de Rayleigh-Jeans à T = 6000K

Le rayonnement du corps noir

Traitement quantique

En 1900, Max Planck postula que les oscillateurs qui composent le corps noir étaient quantifiés:

1. L'échange d'énergie entre atomes et radiation, c'est-à-dire la quantité d'énergie émise ou absorbée par un oscillateur est proportionnelle à la fréquence de celui-ci

∆E = h

2. Un oscillateur ne peut posséder une énergie quelconque mais doit occuper un état discret d'énergie

E_n = nh h: constante de Planck.

Le rayonnement du corps noir

Traitement quantique

En appliquant ces postulats, Planck trouve pour la densité spectrale d’énergie, l’expression :

: Nombre d’oscillateurs : Energie moyenne par unité de fréquence d’un oscillateur

En comparant à l'expérience, Planck obtenait pour h la valeur:

h = 6.55 10^27 erg. sec.

Une valeur précise et aujourd'hui admise est:

h = 6.626196.10^27 erg. sec. = 6.626196.10^34 j.s

2

8

( , )

1

B

h k T

T h

c e





  



2

8

 c

1

B

h k T

h

e





Le rayonnement du corps noir

Conclusion

Le rayonnement thermique ou encore rayonnement du corps noir apportait la première preuve irréfutable d’échec de la physique classique. En effet, les théories classiques du rayonnement n’ont pas permis de comprendre le spectre du corps noir.

Afin de rendre compte des expériences sur le rayonnement du corps noir on a été amené à remplacer l'image classique d'un continuum d'états d'oscillateurs par un ensemble discret d'états quantiques. Ces postulats, introduits par Max Planck en 1900, sont à la base de la théorie quantique du rayonnement.

L’effet photoélectrique

Lorsqu’on éclaire la surface d’un métal avec une lumière de longueur d’onde suffisamment courte (fréquence suffisamment grande), on constate que celui-ci émet des électrons qui à leurs tour donne naissance à un courant électrique. Ce phénomène, qui a été découvert par Hertz en 1887, s’appelle l’effet photoélectrique.

L’effet photoélectrique

Dispositif expérimental

L’expérience consiste à placer une photocathode (Métal) à l’intérieur d’une enceinte sous vide et dont les parois sont transparentes. Une différence de potentiel est établie entre la photocathode et une anode collectrice. Sous l’action d’un rayonnement de longueur d’onde appropriée, des électrons sont arrachés au métal et un photo-courant ( I_ph ) s’établit.

Métal

Lumière

L’effet photoélectrique

L’effet photoélectrique se produit lorsque la fréquence ν de la lumière incidente est supérieure à une fréquence ν₀ (seuil photoélectrique).

Si ν est inférieure à ν₀ aucun électron n’est arraché du métal.

Lors de l’émission des électrons par effet photoélectrique, chaque électron acquiert (gagne) une énergie cinétique:

ν₀ ν

I_ph

(

)

E

 h   

Condition de l’effet photoélectrique

L’effet photoélectrique

L’interprétation de l’effet photoélectrique a été donnée par Einstein en 1905: un rayonnement (de fréquence ) est constitué par des photons (grains d’énergie) dont chacun transporte une énergie E = hν.

Lorsqu’un photon tombe sur le métal, son énergie se répartit selon le bilan suivant (équation d’Einstein):

W₀ = hν₀ : Travail d’extraction, c’est l’énergie nécessaire pour extraire un électron E_C : Energie cinétique fournie à l’électron

Interprétation quantique

0 C

h   W  E

Le spectre atomique et le modèle de Bohr

Spectre de l’hydrogène

Un autre problème se posait à la physique, celui des raies spectrales des atomes. Le phénomène est le suivant: les atomes n'émettent de la lumière qu'à certaines longueurs d'onde (ou fréquences) particulières.

Comme exemple, nous présentons sur cette figure, le spectre d’émission des éléments suivants:

i) Hydrogène ii) Hélium

iii) Sodium

Le spectre atomique et le modèle de Bohr

Dans le cas de l'atome d'hydrogène, la longueur d'onde λ de la lumière émise obéit à la règle de Rydberg:

On peut classer le spectre d’émission de l’atome d’hdrogène en 5 séries d’émission suivant la valeur de n:

n = 1 : série de Lyman n = 2 : série de Balmer n = 3 : série de Paschen n = 4 : série de Brackett n = 5 : série de Pfund

 ^{ R}

n

^ m

1 ( 1 1 )

 



RH cons te de Rydberg n et m ^*avec n m

: tan

Spectre de l’hydrogène

Le spectre atomique et le modèle de Bohr

Spectre de l’hydrogène

Le spectre atomique et le modèle de Bohr

L'étude du spectre des atomes était une discipline très importante, mais relativement ignorée des physiciens, à tel point que jusqu'au début du 20^ème siècle, on ne disposait pas de modèle décrivant l'atome de façon suffisamment complète.

En 1912 N. Bohr a connaissance de ces problèmes, de la quantification de la lumière par Planck et Einstein et enfin, tout récemment il vient d'apprendre les règles de Balmer. Il conçoit alors un modèle atomique dont lequel les orbites de l'électron dans l'atome n'obéissent pas aux lois de la physique classique, mais à des règles de quantification.

Modèle de Bohr

Le spectre atomique et le modèle de Bohr

i) Trajectoire classique de l’électron

Dans l'atome d'hydrogène un électron de charge négative gravite à une vitesse v autour d'un proton de charge positive. Cet électron est soumis au potentiel coulombien:

V r e

r

2

0

( ) ^{ } 4 

+

Proton

Electron

v

Modèle de Bohr

2 2

0 2

4

v e

m r  r

  

La relation fondamentale de la dynamique s’écrit:

Le spectre atomique et le modèle de Bohr

ii) Hypothèse quantique

La condition de quantification de Bohr impose que le produit du périmètre de la trajectoire circulaire (2πr) par la quantité de mouvement p =mv est un multiple de la constant de Planck h, soit:

avec Le nombre n est un entier naturel.

Cette relation indique que le moment cinétique orbital L = mvr de la trajectoire circulaire de l’électron est quantifié.

mvr n 

2 h

 

Modèle de Bohr

Le spectre atomique et le modèle de Bohr

On obtient le système d’équations suivant:

De ces deux équations, on en déduit facilement des solutions pour r et v qui dépendent du nombre n :

Rayon de Bohr a me

2 0

0 2

4

n 

n

r n n a

me v e

n

2 2 0 2

2 0 2

0

4 1

4





  



 



Modèle de Bohr

2 2

0 2

4

v e

m r r

mvr n



  



 



Le spectre atomique et le modèle de Bohr

En introduisant ces solutions dans l'expression de l'énergie totale de l’électron, on obtient:

Ry est appelée constante (ou énergie) de Rydberg. Elle correspond physiquement à l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène. Le calcul numérique donne: Ry = 13.6 eV.

Modèle de Bohr

2 4 4

2

2 2 2 2 2 2

0 0 0

4

2 2 2 2

0

1 1 1

2 4 2 (4 ) (4 )

1

2 (4 )

n n

n

e me me

E mv

r n n

me Ry

n n

  



   

   

Le spectre atomique et le modèle de Bohr

Comme pour la lumière, les niveaux d'énergie de l'électron dans l'atome sont quantités. Les états stationnaires ne peuvent prendre que certains niveaux d'énergies, discrets:

E₁ < E₂< … < E_n< … < 0

Si l’électron passe d’un niveau n à un niveau m plus élevé, il absorbe un photon d’énergie:

hν = E_m - E_n

Si l’électron passe d’un niveau n à un niveau m plus bas, il émet un photon d’énergie:

hν = E_n - E_m

Ceci explique tout simplement le spectre des atomes

Conclusion

Chapitre 2

Fonction d’onde et équation

de Schrödinger

Ondes et particules

Dualité onde-corpuscule: cas de la lumière

D’après l’hypothèse de quantification, la lumière (qui est une onde) présente aussi un aspect corpusculaire: l’onde est constituée de particules appelées «

photons »

Chaque photon est caractérisé par:

: Pulsation

: Vecteur d’onde de module

: :

E h p k

 

 

 

 

Energiedu photon Quantité de mouvement

  2 

k 2 

 

k

Ondes et particules

Dualité onde-corpuscule: cas de la matière

A toute particule de masse m et de quantité de mouvement , est associée une onde de matière qui peut s’écrire sous la forme:

La longueur d’onde associée à la particule est appelée :

« longueur d’onde de de Broglie »

p mv   ^{( , ) r t}

( )

( , ) r t Ae

 

h h

p mv

  

Ondes et particules

Interprétation probabiliste

i) Toute l’information sur une particule donnée est contenue dans la fonction d’onde associée à cette particule.

ii) La notion de trajectoire n’a pas de sens en physique quantique et on adopte le point de vue probabiliste.

iii) La probabilité de trouver la particule dans un volume dV est donnée par:

iv) La probabilité de trouver la particule n’importe où dans l’espace est égale à 1:

« Condition de normalisation de la fonction d’onde » r t

( , )



( , ) ( , ) 2

dP r t 



( , ) r t

dV 1

 



Equation de Schrödinger

Evolution dans le temps: particule libre

On considère une particule libre de masse m et dont l’énergie cinétique classique a pour expression:

D’après le principe de dualité onde corpuscule, cette particule d’énergie et d’impulsion est parfaitement décrite par une fonction d’onde plane d’expression:

2

2 E p

 m

( )

( , ) r t Ae

 

E   p  k

Equation de Schrödinger

Evolution dans le temps: particule libre

En dérivant par rapport au temps, on obtient:

En calculant ( : laplacien), on obtient:

« Equation d’évolution d’une particule libre»

( , ) r t ( , )

i E r t

t

  

 ^

( , ) r t



2

( , ) ( , )

2 r t E r t

m  



 

( , )

( , )

2

i r t r t

t m

  

 ^

^

( , ) r t



 

Equation de Schrödinger

Evolution dans le temps: particule dans un potentiel

L’objectif principal de Schrödinger a été de généraliser l’équation d’évolution d’une particule libre au cas d’une particule plongée dans un potentiel.

Lorsque la particule est plongée dans un potentiel , on obtient la relation :

qu’on peut aussi écrire sous la forme:

( , )

( , ) ( ) ( , )

2

i r t r t V r r t

t m

   

 ^{   }

( ) V r

( , )

( ) ( , ) 2

i r t V r r t

t m

  



 

     

 

Equation de Schrödinger

Evolution dans le temps: particule dans un potentiel

En introduisant l’opérateur hamiltonien H d’expression:

on obtient la relation:

Cette équation, qui décrit le mouvement des particules dans l’espace et dans le temps, a été mise en évidence par Schrödinger en 1926. Elle représente l’analogue quantique de la relation fondamentale de la dynamique introduite par Newton.

2

( )

H 2 V r

  m  

( , )

( , )

i r t H r t

t

  

 ^

Equation de Schrödinger

Etats stationnaires

Dans un grand nombre de problèmes physiques, la particule est soumise à un potentiel qui ne dépend pas du temps. Dans ce cas, la fonction d’onde peut être mise sous la forme d’un produit :

: Fonction spatiale; : Fonction temporelle

En introduisant cette forme dans l’équation de Schrödinger, on obtient:

( ) V r

( , ) r t



( , ) r t ( ) ( ) r t

   

( ) r

  ( ) t

( ) 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2

i t r V r r

t t r m

   

  

 

     

 

Equation de Schrödinger

Etats stationnaires

L’équation précédente se scinde en deux équations suivantes:

La première équation (partie temporelle) a pour solution:

où A est une constante.

2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

i t

t t E

r V r r E r

m

  

 

  

  

 

   



( ) t A e

 

Equation de Schrödinger

Etats stationnaires

La deuxième équation (partie spatiale) doit satisfaire l'équation aux dérivées partielles:

On l’écrit sous la forme:

« équation aux valeurs propres de H »

Les fonctions solutions de cette équation et les énergies E correspondantes sont appelées respectivement états propres et valeurs propres de H.

2

( ) ( ) ( ) ( )

2 r V r r E r

m   

   

( ) ( )

H r   E  r

( ) r



Equation de Schrödinger

Etats stationnaires

Les fonctions d'onde solutions de l'équation de Schrödinger prennent donc la forme:

Une fonction d'onde de cette forme est appelée solution stationnaire, ou état stationnaire de l'équation de Schrödinger.

Il est important de noter que la densité de probabilité de cette fonction d’onde est indépendante du temps:

( , ) r t ( ) r e

  

2 2

( , ) r t ( ) r

  

Equation de Schrödinger

Principe de superposition

Soient et deux fonctions d’onde d’une particule.

La combinaison linéaire est aussi une

fonction d’onde possible pour cette particule: c’est le principe de superposition.

D’une manière générale, si l’équation de Schrödinger présente n solutions élémentaires , alors on peut construire une solution générale sous la forme:

Les sont des nombres complexes

1 1

( , ) r t

( , ) r t

    

1

( , ) r t

 

( , ) r t

( , )

i

r t



1

( , )

( , )

i

r t r t

 



 



Equation de Schrödinger

Principe de superposition

Comme exemple, on présente le cas des états stationnaires. Nous avons vu que chaque état stationnaire peut s’écrire sous la forme:

D'après le principe de superposition, toute combinaison linéaire de solutions stationnaires est encore solution de l'équation de Schrödinger:

Le principe de superposition est une propriété totalement conforme aux résultats des observations expérimentales.

( , )

( )

r t c r e

   

( , ) ( )

n

r t

r e

  

Application à l’atome d’hydrogène

But de cette application

L'atome d'hydrogène est le plus simple de tous les atomes du tableau périodique, étant composé d'un proton et d'un électron.

La compréhension des propriétés de cet atome au moyen de la théorie quantique fut une étape importante qui a notamment permis de développer la théorie des atomes à plusieurs électrons.

Le but de cette étude est de résoudre l’équation de Schrödinger pour déterminer la fonction d’onde de l’atome d’hydrogène dans son état fondamental.

Application à l’atome d’hydrogène

Hamiltonien du système

L'atome d'hydrogène est étudié dans le cadre d'un modèle quantique dans lequel le proton et l'électron interagissent par l'intermédiaire de l'interaction électrostatique de Coulomb:

L’hamiltonien H de l’électron de l’atome d'hydrogène s’écrit:

Le laplacien en coordonnées sphériques s’écrit:

2

0 0

( ) 4 4

q qp e e V r ^  r ^{ }  r

2 2

2 4 0

H e

m



   

2 2

2 1 ² 1

(sin )

²sin ² ² ²sin ²

r r r r

r 

    

    

    

   



( , , ) r  

Application à l’atome d’hydrogène

Equation de Schrödinger stationnaire

En tenant compte de l’expression du laplacien, l’équation de Schrödinger stationnaire s’écrit:

On cherche des solutions à symétrie sphérique de la forme:

C

α

2 2

2 2

0

( ) 2 ( ) 2 ( ) 0

4

d r d r m E e r

r dr r

dr

  



 

     

 

( ) r Ce

 

2 2

2 0

2 2

4 0 m e

E Ce

r r



 

   

   

   

   

 

Application à l’atome d’hydrogène

Equation de Schrödinger stationnaire

L’équation précédente peut se simplifier sous la forme:

Cette équation doit être vérifiée pour tout r. Le terme constant et le terme en 1/r doivent donc être nuls et on obtient:

2 2

2 2

0

2 1 2 0

2

m E me

 r 

 

 

      

 

2

2 0

0

4

2 2

0 0

1 ; :

4

2 2

13,605

2 (4 )

2

me

a

E me eV

a

m

 





 

   

 

   



RayondeBohr

Fonction d’onde de l’état fondamental

la fonction d’onde de l’état fondamental de l’atome d’hydrogène s’écrit:

La constante C est déterminée par la condition de normalisation

de :

On obtient:

Application à l’atome d’hydrogène

( ) r Ce

 

 

 

 ^{( ) r dV}



^{C e}

^{4 r dr}

¹

( ) r



0

03

( ) r 1 e

 a





C 1

 a



Allure de la densité de probabilité

La densité de probabilité de l’électron dans son état fondamental, , est représentée sur la figure suivante:

Application à l’atome d’hydrogène

[A^-3]

r[A]

0 0.2 0.4 a₀ 0.6 0.8 1 2

0.5 1 1.5

( )r 2



2 2 0

3 0

( )r  1 e^{ r a}

 a



Chapitre 3

Les bases mathématiques de

la mécanique quantique

Vecteurs kets

A chaque fonction d’onde on associe un vecteur appelé ket. L’ensemble de ces kets forme un espace vectoriel (ou espace de Hilbert ) appelé espace des états qu’on note E.

Soit une base orthonormée de l’espace des états E. Le produit scalaire de deux vecteurs et est défini par:

 

  u

0 Si 1 Si

n m

n m nm

u u 



   



u

u

Kets et bras et les notations de Dirac

Vecteurs kets

Dans la base , le ket peut se décomposé sous la forme:

Les coordonnées d’un ket sont des nombres complexes.

Les sont rangées verticalement sous forme d’une:

« Matrice à 1 colonne et à plusieurs lignes »

  u



n n n

   c u

1 2

n

c c c



 

 

 

 

  

 

 

 

Kets et bras et les notations de Dirac

c

{ }

c

{ }

Vecteurs bras

A chaque vecteur ket , on associe un nouvel objet mathématique qu’on appelle vecteur bra, qui se décompose comme suit:

: complexe conjugué de

Les coordonnées d’un bra sont rangées horizontalement sous forme d’une Matrice à une ligne et à plusieurs colonnes:

L’ensemble des bras constitue l’espace «dual» de E et généralement noté E^*.



n* n n

   c u



* * *

1 2

...

...

c c c

 _{ } ^{ } _

 

Kets et bras et les notations de Dirac

c

{ }

c

c

Vecteurs bras

A tout ket correspond un bra et réciproquement:

*

* *

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2

, ,

 

   

       

  





  

 

Kets et bras et les notations de Dirac

Produit hermitique (ou scalaire)

Soient et deux kets de l’espace des états E. Ces kets se décomposent comme suit sur une base orthonormée :

Le produit hermitique de et est défini par:

 

  u













n n n

m m m

b u c u

 

n n* n

    b c

Kets et bras et les notations de Dirac

Produit hermitique (ou scalaire)

En utilisant la représentation matricielle, on obtient:

*

1 2

* * *

1 2

...

...

n n

c c

b b b b c

c

 

 

 

 

   

        

 

 

 



Kets et bras et les notations de Dirac

Produit hermitique (ou scalaire)

Le produit hermitique présente les propriétés suivantes:

i) ii) iii)

iv) Si alors et sont orthogonaux

v) : Le carré de la norme du ket

1 1 2 2 1 1 2 2

            

* *

1 1 2 2 1 1 2 2

             

   0

   

    







Kets et bras et les notations de Dirac

Projecteur

Soit un état normé de l’espace des états. On définit l’opérateur suivant:

est appelé « Opérateur de Projection » sur l’état , ou encore le Projecteur sur .

En agissant sur le ket quelconque , donne un ket proportionnel à , le coefficient de proportionnalité étant le produit scalaire de par . En effet:

avec

P

  



 P

 

P

       

P

  

   

Kets et bras et les notations de Dirac

Projecteur

On a la relation :

Ceci indique que projeter deux fois de suite sur la même direction est équivalent à projeter une seule fois.

On a:

Or étant normé , on obtient donc:

( P

)

 P

( P

)

    

( P

)

  

    1

Kets et bras et les notations de Dirac

Relation de fermeture

Soit une base orthonormée de l’espace de Hilbert. La somme de tous les projecteurs sur tous les vecteurs de base est égale à l’identité :

C’est la relation de fermeture (ou de complétude).

On a:

D’où:

  u

n n n

n u n

P  u u 

  ¹

n n n

n n

c u c u





 

  





n

   u u 

n n n

u u 

 ¹

Kets et bras et les notations de Dirac

Kets et bras et les notations de Dirac

Représentation en coordonnées

On considère une particule décrite dans l’espace par une fonction d’onde . Cette fonction d’onde s’obtienne par la projection du vecteur d’état sur les kets d’espace :

En représentation

x

( ) r r

  

( ) r 

 r

( ) x x

  

Les opérateurs quantiques

Opérateur linéaire

Soient un ket de l’espace des états et

A

A

A

L’opérateur

A

où

λ

λ

En représentation spatiale (fonctions d’onde), on obtient:





A         A   A 

 





^{( )}

^{( )} 

^{( )}

^{( )}

A  r    r    A r    A r

Les opérateurs quantiques

Opérateur linéaire

Deux exemples d’opérateurs linéaires:

i) Opérateur position

X

ii) Opérateur impulsion

P

Dans ces deux exemples, l’action de l’opérateur est définie dans la représentation x.

( ) ( )

X  x  x x 

( ) ( )

P

x x

  i x ^ 



Les opérateurs quantiques

Les commutateurs

On appelle commutateur de deux opérateurs

A

B

l’opérateur défini par :

L’action de

AB

B

A

B

En général,

AB ≠ BA

Si

AB = BA

A

B

 ^{A B ,}  ^{ AB BA }

  

AB   A B 

Les opérateurs quantiques

Les commutateurs

Exemple: Commutateur position-impulsion

 ^{X P ,}



 

 

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

X

X

X X

x x

XP x x x

i x i x

P X x x x x x x

i x i i x

XP P X x x i x

i

 



   

  

 

 

 

 

  

 

   

 ^{X P ,}

 ^{ i}

Les opérateurs quantiques

Les commutateurs

Les commutateurs satisfont les règles suivantes:

   

     

     

, ,

, ,

)

, ,

)

, , )

i ii iii

A B B A

A B C A C B C

AB C A B C A C B

 

  

 

Les opérateurs quantiques

Représentation matricielle d’un opérateur

Soient une base orthonormée et

A

A

En représentation matricielle, on a :

  u

mn m n

A  u A u

n n

m m mn

A A A

A A A

A

A A A

11 12 1

21 22 2

1 2

... ...

... ...

... ...

 

 

 

 

 

 

 

 



Les opérateurs quantiques

Trace d’un opérateur

La trace d’un opérateur quantique

A

C’est la somme des éléments diagonaux de la représentation matricielle de

A

La trace satisfait les propriétés suivantes :

Tr

n n

A   u A u   A

 

 





  



A B A B

AB BA A B

ABC CAB BCA

Tr( ) Tr Tr

Tr( ) Tr( ) Tr , 0

T i)

ii)

iii ) r( ) Tr( ) Tr( )

Les opérateurs quantiques

Opérateurs adjoints

Soient un ket de l’espace des états et

A

A

La transformation de « kets » en « bras » se traduit par:

Cette nouvelle écriture peut se lire comme suit: l’action de l’opérateur

A

L’opérateur

A

A

A   

 



 A

 

 

Les opérateurs quantiques

Opérateurs adjoints

Les éléments de matrice d’un opérateur adjoint, dans une base orthonormée , s’obtiennent comme suit:

* * *

11 21 1

11 12 1

* * *

21 22 2 12 22 2

* * *

1 2 1 2

... ...

... ...

... ... ... ...

... ... ... ...

n n

n n

m m mn m m nm

A A A

A A A

A A A A A A

A A

A A A A A A



 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

 

 

 

 

   

* *

nm n m m n mn

A

 u A u

 u A u  A

  u

Les opérateurs quantiques

Opérateurs adjoints

En utilisant la définition de l’opérateur adjoint, on peut démontrer facilement les propriétés suivantes:

 

 

 

*

i) ii) iii

)

) v)

(

i

A A

A A

A B A B

AB B A

 

 

 

  

  





  



Les opérateurs quantiques

Opérateurs hermitiques

Soit

A

A

Les éléments de matrice d’un opérateur hermitique

A

liés par la relation:

Quelque soit la représentation matricielle d’un opérateur hermitique, ses éléments diagonaux sont réels.

A  A

nm mn

  

Les opérateurs quantiques

Opérateurs hermitiques

Ci-dessous un exemple d’opérateur hermitique:

1 5

5 0 2

2 4

i

A i

i i

  

 

 

  

  

 

1 5

5 0 2

2 4

i

A i

i i



  

 

 

  

  

 

Les opérateurs quantiques

Opérateurs unitaires

Un opérateur

U

ou encore

Une classe très importante d’opérateurs unitaires sont les opérateurs exponentiels:

avec

A

UU

 U U

 1 U

 U

exp( ) U  iA

exp( )exp( ) exp( )exp( )

U U

  iA

iA   iA iA  1

Définition: cas d’une valeur propre non dégénérée

Soit

A

A

Puisque

A

L’ensemble de toutes les valeurs propres de

A

le spectre de

A

La valeur propre de l’opérateur

A

Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur

n n n

A   a 



a

n n

1

  

  a

a



Définition: cas d’une valeur propre dégénérée

Si au moins deux vecteurs propres différents correspondent à la même valeur propre , alors est dite dégénérée.

Dans ce cas, un indice supplémentaire

α

g

Toutes combinaisons linéaires des états est aussi un état propre de

A

Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur

1, ...,

,

n n n

A 

 a 

a

a

a

a

n



a

Equation caractéristique

Pour trouver les valeurs propres

λ

A

Soit une base orthonormée dans laquelle le ket se décompose comme suit:

Projetons l’équation aux valeurs propres sur le ket :

Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur



A    

  u



m m m

   c u

n n

u A    u 

u