PCSI 2 Mécanique quantique
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MECANIQUE QUANTIQUE
I Tir d’un projectile
Une balle de fusil de masse m = 10 g est lancée avec une vitesse v = 25 ± 1 m.s-1.
Quelle est la limite de la précision donnée par la mécanique quantique avec laquelle on pourra déterminer à un instant donné sa position ? Conclusion ?
Réponse : 10-32m.
II Microscope électronique
Dans un microscope électronique, les électrons sont accélérés par une différence de potentiel d’une cinquantaine de kV, ce qui leur communique une énergie cinétique d’environ 50 keV.
1) Quelle est la quantité de mouvement d’un électron en sortie ? 2) Quelle est sa longueur d’onde ?
3) Conclure quant à l’intérêt de cet appareil par rapport au microscope optique.
On donne la masse de l’électron m = 9,1.10-31 kg, la constante de Planck h = 6,6.10-34 J.s et 1 eV = 1,6.10-19 J.
Réponse : 5,5.10-12 m.
III Diffusion Compton
L’américain Arthur Compton a réalisé en 1923 l’expérience suivante. Il a envoyé des rayons X durs (c’est-à-dire une onde électromagnétique de fréquence élevée, donc de très faible longueur d’onde l typiquement de 10 pm à 10 nm) sur une mince feuille de graphite. Il a observé que l’onde était diffusée (déviée) dans la direction q vérifiant la relation 𝜆!− 𝜆 =#$" (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃), où l’ est la longueur d’onde diffusée, m = 9,1.10-31 kg la masse de l’électron, h = 6,6.10-34 J.s la constante de Planck et c = 3,0.108 m.s-1 la vitesse de la lumière. Ceci est dû à l’interaction entre les photons incidents et les électrons des atomes de la feuille de graphite.
1) Montrer que la quantité #$" est homogène à une longueur et la calculer.
2) Pourquoi cette expérience est-elle spécialement intéressante pour des rayons X ? 3) Comment évolue l’énergie du photon dans cette expérience ? Que se passe-t-il ?
4) Pour des rayons X incidents avec l = 7,08.10-11 m, Compton a observé des rayons X diffusés à q = 90°. Quelle est leur longueur d’onde ?
5) Quelle est l’énergie DE perdue par le photon ? Qu’en déduire sachant qu’une énergie d’ionisation est de l’ordre de la dizaine d’eV (1 eV = 1,6.10-19 J) ?
Cette expérience peut être interprétée en termes corpusculaires, mais pas de manière ondulatoire, vu le changement de fréquence du rayonnement. Tout comme l’effet photoélectrique, elle nécessite donc la notion de photon.
Réponse : l’ = 7,3.10-11 m, |Δ𝐸| ≈ 600𝑒𝑉.
IV Effet de serre
Le méthane CH4 et le dioxyde de carbone CO2 sont promoteurs de l’effet de serre. La dissociation d’une liaison H - CH3 nécessite 435 kJ.mol-1 et celle d’une double liaison O = CO requiert 531 kJ.mol-1.
Quelles sont les longueurs d’onde maximales des photons capables de rompre ces liaisons et participer ainsi à la disparition de ces molécules dans l’atmosphère ? A quel domaine appartiennent-elles ?
On donne : la constante de Planck h = 6,63.10-34 J.s, la célérité de la lumière dans le vide c = 3,00.108 m.s-1 et le nombre d’Avogadro NA = 6,02.1023 mol-1.
Réponse : 275 et 225 nm.
l
l’
q
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V Expérience de G. P Thomson
En 1927, les physiciens américains Davisson et Germer fournissaient la preuve expérimentale de l’hypothèse de Louis de Broglie en mettant en évidence le phénomène de diffraction d’électrons sur un échantillon monocristallin de nickel. Quelques mois plus tard, le britannique G. P. Thomson confirmait ce résultat en faisant passer un faisceau d’électrons monocinétique à travers une mince feuille de métal. Avec des électrons accélérés par une différence de potentiel (tension) de l’ordre du
kilovolt (kV), il obtient sur une plaque photographique placée derrière la cible une figure de diffraction identique à celle observée avec des rayons X de même énergie.
La figure ci-contre représente les anneaux concentriques obtenus par diffraction sur un mince feuillet métallique :
- de rayons X (à gauche) ; - d’électrons (à droite).
1) En quoi l’expérience de G. P. Thomson confirma-t-elle la nature ondulatoire des électrons ?
2) Donner l’ordre de grandeur de la longueur d’onde des rayons X. L’utilisation de ces derniers vous semble-t-elle adaptée pour mener une étude cristallographique par diffraction ?
3) Soumis à une différence de potentiel U > 0, un électron de charge q = - e = -1,60.10-19 C et de masse m = 9,11.10-31 kg, initialement au repos acquiert une énergie cinétique égale à eU. Établir la relation numérique approchée 𝜆 =%,'(
√* nm où U est la tension accélératrice en volts (V). En déduire la longueur d’onde des électrons utilisés par Thomson. Commenter.
Donnée : h = 6,63.10-34J.s.
VI Expérience de Shimizu et Takuma
En 1992, les physiciens japonais Shimizu et Takuma réalisaient une expérience d’interférences atomiques : un nuage d’atomes de néon lâchés sans vitesse initiale à 3,5 cm au-dessus d’un écran percé de deux fentes parallèles, de largeur égale à 2,0 µm et distantes de d = 0,6 µm. Les atomes sont alors détectés sur une plaque située à une distance D = 85 cm à l’aplomb du plan des fentes. Chaque point noir sur la plaque réceptrice représente l’impact d’un atome.
1) Comment se manifeste respectivement les caractères corpusculaire et ondulatoire des atomes de néon dans cette expérience ? 2) Déterminer l’ordre de grandeur de la longueur d’onde l des atomes de néon dans ce dispositif interférentiel. On donne l’expression de l’interfrange i dans une expérience de type fentes d’Young avec écran à grande distance : i = lD/d.
3) En déduire un ordre de grandeur de la vitesse v des atomes de néon au cours de leur chute. On donne le nombre d’Avogadro NA
= 6,0.1023 mol-1 et la masse molaire du néon M = 20 g.mol-1(h = 6,6.10-34J.s).
Réponse : 𝜆≈8nm ; 𝑣≈2,5m.s-1.
VII Absorption de photons par un puits quantique
1) En utilisant une analogie avec les modes propres d’une corde vibrante, déterminer l’expression des énergies totales En d’une particule libre de masse m confinée dans un puits quantique de largeur L. On exprimera le résultat en fonction de m, L, de la constante de Planck h et d’un entier n non nul.
2) Ce puits quantique peut émettre ou absorber un photon de fréquence vnk si l’écart En – Ek entre deux niveaux d’énergie du puits vérifie la relation En – Ek = h nnk (n > k, h = 6,6.10-34J.s).
a) Quelle est l’interprétation physique de la relation précédente ?
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b) Déterminer les fréquences n21 et n31, ainsi que les longueurs d’onde correspondantes l21 et l31 pour un puits à semi- conducteurs à base d’arséniure de gallium (AsGa), d’épaisseur L = 60 Å (on précise que l’angström est défini par 1 Å = 10-10 m), et tel que me= 0,067 m avec m = 9,1.10-31 kg la masse de l’électron.
c) A quel domaine du spectre appartiennent les longueurs d’onde des photons obtenues dans la question précédente ? Proposer des applications pratiques de tels puits quantiques.
Réponse : 𝐸+=,#-"!!𝑛' ; l21 = 2,7 µm et l31 = 1,0 µm.
VIII Photons hertziens
Un émetteur relais de téléphonie mobile émet un signal autour d'une fréquence f = 1 GHz et d'une puissance P = 10 W pour une action d'une dizaine de kilomètres. Évaluer le nombre de photons qu'il émet par seconde.
On donne : la constante de Planck h = 6,63.10-34J.s et le nombre d’Avogadro NA = 6,02.1023 mol-1.
Réponse : 2.1025 photons ; 3.101 mol.
IX Couleur d'un laser
1) La lumière d'un faisceau laser Hélium - Néon est émise par des atomes effectuant une transition entre les niveaux d'énergie 3s2 et 2p4 séparés par une énergie E = 1,96 eV. Quelle est la couleur de ce laser ?
2) La lumière d'un faisceau laser à dioxyde de carbone émet un rayonnement dont la longueur d'onde est comprise entre 9,40 μm et 10,6 μm. À quel type de rayonnement cela correspond-t-il ? À quelles transitions énergétiques cela correspond-t-il ?
On donne : la constante de Planck h = 6,63.10-34J.s, la célérité de la lumière dans le vide c = 3,00.108 m.s-1 et 1 eV = 1,60.10-19 J.
Réponse : rouge à 633 nm ; IR entre 0,12 et 0,13 eV.
X Nombres de photons
1) Le flux solaire au niveau du sol terrestre vaut, par beau temps, environ FS = 1 kW·m-2. En prenant pour les photons solaires une longueur d'onde moyenne lm = 0,5 μm, trouver l'ordre de grandeur du nombre de photons reçus par un capteur solaire de surface S
= 1 m2 pendant Dt = 1 s.
2) Il est possible de voir à l'œil nu une étoile de magnitude 6,5. La magnitude m est reliée au flux d'énergie F provenant de l'étoile par la relation 𝑚 − 𝑚.= 2,5𝑙𝑜𝑔//", où m0 et F0 correspondent à une étoile de référence. La magnitude du Soleil est égale à -26,8.
Trouver l'ordre de grandeur du nombre de photons provenant d'une étoile de magnitude 6,5 entrant pendant 1s dans un œil dont la pupille, ouverte au maximum, a un diamètre de 7 mm. On prendra pour longueur d'onde moyenne des photons de l'étoile la même valeur que pour les photons solaires (hypothèse valide si la température de l'étoile est proche de celle du Soleil).
On donne : la constante de Planck h = 6,63.10-34 J.s et la célérité de la lumière dans le vide c = 3,00.108 m.s-1.
Réponse : 3.1021 ; 5.103.
XI Étude d'une cellule photoélectrique au potassium
La cathode d'une cellule photoélectrique au potassium est éclairée par deux radiations lumineuses monochromatiques différentes de longueurs d'ondes respectives l = 490 nm et l = 660 nm. La puissance P = 9,00.10-7 W de ces deux sources de rayonnement est la même. Le travail d'extraction d'un électron du potassium est W0 = 2,25 eV.
On rappelle la masse de l'électron me = 9,11.10-31 kg, la charge élémentaire e = 1,60.10-19C et la constante de Planck h = 6,63.10-34 J·s.
1) Les deux radiations permettent-elles l'émission d'électrons ?
2) Déterminer l'expression de la vitesse des électrons émis par la cathode et calculer sa valeur numérique.
3) On observe que l'intensité du courant de saturation est IS = 4,00.10-8 A. Déterminer le rendement quantique de la cellule, c'est-à- dire le rapport du nombre d'électrons émis au nombre de photons reçus. On supposera que tous les électrons émis participent au courant de saturation.
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Réponse : émission pour l = 490 nm ; pas d’émission pour l = 660 nm ; 3,18.105 m.s-1 ; 11,3 %.
XII Colorants organiques et modèle de Kuhn
En 1949, le chimiste suisse Hans Kuhn (1919-2012) proposa, pour calculer les propriétés électroniques d’une molécule présentant des liaisons conjuguées (alternance de liaisons simples et de doubles liaisons), comme celle représentée ci-dessous, d’oublier le squelette d’atomes de carbone, d’azote et d’hydrogène, et d’attribuer les propriétés optiques dans le domaine visible au seul nuage d’électrons p. Ces électrons p ne restent pas localisés entre deux atomes comme dans une liaison simple covalente, mais on dit qu’ils sont délocalisés, c’est-à-dire qu’ils peuvent circuler librement sur l’ensemble de la molécule. On considère que leur nombre N est tel qu’il y ait apport de deux électrons par liaison double ou doublet non liant. Dans ce modèle simple, Kuhn propose que les N électrons p soient prisonniers d’un puits de potentiel infiniment profond, de longueur L.
1) La molécule représentée ci-dessus appartient à la famille des cyanines symétriques où le motif entre parenthèses est répété p fois. En incluant les atomes d’azote qui font partie du chromophore, justifier le fait que le nombre N d’électrons délocalisés s’écrive : N = 2p + 4.
On note L0 la longueur moyenne d’une liaison C-C ou C-N. Dans son modèle, Kuhn propose L = N.L0.
2) On cherche dans cette question à retrouver la valeur des différents niveaux d’énergie d’un électron p piégé dans le puits de potentiel infini en fonction de la constante de Planck h, de la masse de l’électron me, de la longueur L du puits et d’un nombre quantique entier n que l’on introduira.
a) Rappeler en quelques phrases la pertinence de l’analogie avec la corde de Melde dont on rappellera le dispositif en s’appuyant sur un schéma.
b) Rappeler alors la relation entre la longueur d’onde l et L.
c) Établir l’expression de l’énergie de l’électron en fonction de sa quantité de mouvement pe et de sa masse me (on prendra une énergie potentielle nulle au fond du puits).
d) Quelle relation de la mécanique quantique (nom, formule) établit un lien entre la quantité de mouvement pe d’une particule et la longueur d’onde l de l’onde associée ?
e) En déduire la relation donnant l’énergie En de l’électron en fonction de h, me, L et n.
3) On admet que les électrons se répartissent sur les différents niveaux d’énergie en respectant les règles de Hund (remplissage des niveaux par énergie croissante) et de Pauli (deux électrons par niveau d’énergie). L’existence d’une bande d’absorption est due à une transition électronique entre le niveau occupé le plus haut vers le niveau d’énergie libre le plus bas. Identifier ces deux niveaux en précisant leur valeur du nombre quantique n en fonction de p.
4) En déduire l’expression de la longueur d’onde du rayonnement électromagnétique absorbé en fonction de me, c, h, L0 et p : 𝜆 =,##"$-!"('123)'125!.
5) Pour la famille des cyanines symétriques, les raies d’absorption ont été mesurées :
P 1 2 3 4 5
l (nm) 313 416 519 625 735
On donne :
L0 = 0,139 nm ; me = 9,11.10-31 kg ;
c = 3,00.108 m.s-1 ; h = 6,62.10-34 J.s.
Comparer ces valeurs expérimentales aux valeurs fournies par le modèle de Kuhn. Commenter la validité du modèle.
