Mécanique Quantique

Mécanique Quantique

Frédéric Le Quéré

Equipe de Chimie Théorique

Labo de Modélisation et Simulation Multi Echelle Bât Lavoisier, bureau K35 (3ème étage)

lequere@univ-mlv.fr

semaine mardi jeudi

38 Cours

39 Cours TD

40 TD Cours

41 TD Cours

42 TD Cours

43 TD Cours

44

45 TD Partiel

46 11-nov Cours

47 TD Cours

48 TD Cours

49 TD Cours

50 TD Cours

51 TD TD

52 1

2 TD

Organisation : Partiel

Document autorisé :

Une feuille A4 manuscrite Examen

Document autorisé :

Une copie double A4 manuscrite

Photocopies interdites

Bibliographie

• P.H. Communay « physique quantique » Groupe de recherche et édition.

• Berkeley « Cours de physique » vol 4 : Méca quantique Armand Colin

• C. Leforestier « Introduction à la Chimie Quantique » Dunod

• Y. Ayant E.Belorizky « Cours de mécanique quantique » Dunod

• C. Cohen Tanoudji, B. Diu, F. Laloé « Mécanique Quantique » Herman.

• http://alpha.univ-mlv.fr/meca

INTRODUCTION

I) Pourquoi a-t-on besoin de la mécanique Quantique ?

• A la fin du XIXème siècle, les lois de la nature semblaient totalement connues à travers la théorie de la gravitation (Newton) et de

l’électromagnétisme (Maxwell). Deux types de mouvements mutuellement exclusifs étaient connus :

– Mouvement ondulatoire :

• Caractérisé par la fréquence et la longueur d’onde d’un signal oscillant.

• La lumière est considérée comme une onde à cause des phénomènes d’interférences (Young).

– Mouvement d’un solide :

• Caractérisé par sa masse, sa position et sa quantité de mouvement.

• Il restait « juste » quelques petits points obscurs ….

Premier problème : la catastrophe ultra violette.

 Lorsque l’on chauffe un solide parfait (appelé corps noir), il émet des ondes électromagnétiques dans un domaine de longueurs d’ondes caractéristique de sa température.

λ_M

Expérimentalement la courbe présente un maximum lié à la température par la relation de Wien :

λ_M *T = 2,9.10^-3 m.K

 En 1900, Rayleigh ne parvient pas à expliquer théoriquement ce phénomène. Son calcul amène à une équation qui diverge dans l’ultra violet (catastrophe).

Le soleil est un corps noir imparfait. Certains de ses constituants (principalement atomiques) absorbent des radiations (raies de Fraunhofer sur spectre jaune).

Les molécules de l’atmosphère absorbent également des radiations (spectre rouge).

Raies de Fraunhofer

.

Fe Na H

H

Second problème : l’effet Photoélectrique.

• Des électrons sont éjectés de certains métaux lorsque ceux ci sont éclairés !

Interprétation classique : résonance entre l’oscillation de l’onde de lumière et une oscillation (hypothétique) des électrons.

Si on augmente l’intensité de l’onde, les électrons devraient être éjectés plus facilement.

Résultats expérimentaux :

•

l’intensité de la lumière qui compte, mais sa fréquence !

• Il y a une fréquence minimale pour que le phénomène apparaisse.

Ce n’est donc pas un phénomène de

résonance mécanique

Troisième problème : Le spectre atomique

• Les atomes absorbent et émettent de la lumière d’une manière discontinue. Seuls certaines longueurs d’ondes sont absorbées ou émises.

• Le modèle planétaire classique ne permet pas d’expliquer cela.

Très mauvais modèle !

Celui là

Aussi !

La solution à ces problèmes :

LE PHOTON

Le photon : une particule de lumière.

• Max Planck introduit l’idée de photon dans son étude théorique du corps noir. Chaque photon transporte une énergie proportionnelle à la fréquence de l’onde qui lui est associée.

• E_photon= h

• Il introduit la constante de proportionnalité « h » : constante de Planck h=6,62 10^-34 J s

• Il parvient alors à trouver la forme théorique de la courbe du corps noir et la loi de Wien s’exprime par :

Où k (constante de Boltzmann) et c (vitesse de la lumière) sont des constantes déjà établies.

Max Planck (1858 –1947)

Explication de l’effet photoélectrique (Einstein 1905)

• Si le photon est une particule il entre en collision avec les électrons dans le métal. Si son énergie est suffisamment forte pour surpasser l’énergie de liaison de l’électron, celui ci sera arraché (effet de seuil).

• Comme l’énergie du photon dépend de sa fréquence

d’après la formule de Planck, il est normal que l’énergie cinétique de l’électron arraché augmente avec la fréquence

• On obtiens l’équation simple pour l’énergie cinétique de l’électron :

E

= h - E

La pente des droites est égale à h dans tous les cas.

Spectres atomiques

• Un modèle simple utilisant le photon serait de considérer que l’atome ne peut prendre que certains états (niveaux) d’énergie et qu’il peut passer d’un état à un autre en absorbant ou émettant un photon.

• Reste à comprendre l’origine de ces états particuliers …

Hydrogène

Young

Et les figures d’interférences de Young ?

Même en envoyant la lumière photon par photon (très faible intensité), les interférences se forment !

=> En passant par une des fentes, le photon semble « savoir » que l’autre fente est présente ! La particule garde sa qualité d’onde.

Généralisation

• Puisque la lumière que l’on prenait pour une onde est aussi une particule, pourquoi les particules connues

n’auraient elles pas des comportements d’onde ?

• En 1923 Louis de Broglie propose cette dualité onde-corpuscule qui

associe une onde à toute particule. La longueur d’onde, , dépend de la

masse et de la vitesse de la particule :

mE

mv h h h p

 2



 

Preuve expérimentale (1928)

• Les ondes associées à des électrons doivent pouvoir interférer, mais il faut des fentes très rapprochées (quelques angstrœms) !

• Davisson et Germer utilisent les structures cristallines pour leurs expériences de diffraction électronique

Electron double slit experiment Diffraction électronique

II) Comportement corpusculaire des ondes

1) Formalisme mathématique des phénomènes ondulatoires.

Une onde monochromatique se propage dans un milieu homogène unidimensionnel (x) en vérifiant l’équation :

)) (

( cos

0

phase

v x t 

 



phase

v

₀

 Élongation d’un point x au temps t







Définitions

: longueur d’onde (période spatiale)

: période temporelle 2

T

  

1

T  : fréquence (s^-1 ou Hz) : pulsation (rad s^-1)

0

cos( t kx )

    

k 2

  : nombre d’onde (rad m^-1)

=0

Et on notera que la vitesse de phase v_phase

k

  _{(m s}^-1) , relie les parties temporelles et spatiales

x=x

=0

t=t

=0

On utilise également souvent la forme complexe :

où est un opérateur qui ne conserve que la partie réelle de la fonction.

Généralement on omet de l’écrire !

Qui permet la réécriture en produit d’exponentielles :



( )

0

i t kx

e

     ^

^ 

0

i t ikx

e e^





2) Superposition de N ondes : paquet d’ondes

Les ondes vues précédemment sont délocalisées sur tout l’espace. Peut on obtenir des ondes localisées dans l’espace, ce qui s’accorde mieux à la notion classique d’un

objet localisé à un endroit ? Additionnons N ondes

( )

0 1

n n

N i t k x

n

e

 



 

On peut choisir k_n compris entre k₀-k/2 et k₀+k/2 et faire tendre N vers l’infini.

Supposons également que l’on connaît une fonction de k qui permet d’obtenir les valeurs On a alors :

0

0

/ 2

( ( ) )

0 / 2

k k

i k t kx

k k

e

dk

 







 

En faisant en toute généralité un développement de taylor de  autour de k₀ :

0 0

( ) ( ) ( ) d ...

k k k k

dk

      

V

On arrive à la solution (voir les détails sur site en bas de page) :

0 0 0

sin( ( ))

2 exp( ( ))

( )

2

g

g

k V t x

i t k x k V t x

  

 

 

 

Enveloppe. A t donné, tend vers zéro quand x tend vers l’infini => Localisation

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/paquet2.html

Evolution temporelle, avec



k En résumé :

Une onde peut être localisée dans l’espace. Elle peut alors être représentée par une somme infinie d’ondes délocalisées.

On peut lui associer un déplacement qui va dépendre de

(k)

III) Comportement ondulatoire des corpuscules

1) Relation de de Broglie

• On a trouvé une relation entre une propriété corpusculaire du photon et une propriété de l’onde associée.

photon

E  h    

k V

m  

Masse de la particule Vitesse de la particule

nombre d’onde

 2

 h



• Louis de Broglie a proposé une relation s’appliquant à une particule quelconque (de masse différente de zéro). Si l’on associe une onde

de la forme ₎

0

i(kx t

e

  

a cette particule, alors la relation liant la propriété corpusculaire à la propriété ondulatoire est :

(= « h barre »)

Soit :

p ou h

k

p    

Quantité de mouvement

Longueur d’onde et

N.B pour l’énergie d’une particule relativiste (par exemple le photon !), il faut utiliser l’invariant relativiste :

Et en posant m=0 pour le photon, on obtient :

et donc

On retrouve la formule de l’énergie du photon

2 2 2 2 4

particule

E  p c  m c

E hc h 

   E  pc

2 2 2

2 2

cin particule

p k

E  m   m

Pour un acarien de 10^-8 kg se déplaçant à 0,1 mm s^-1 on obtient :

=6,6 10^-22 m



Pour détecter cette onde par diffraction, il faudrait



une fente avec une ouverture de l’ordre 10^-22 m !



Seul l’aspect « particule » est visible.

m T p

2

2



150, 4 ( ) 10

( ) 10

2

h eV

m mT T

   ^

Pour un électron de masse m = 9,1 10^-31 kg ayant une énergie cinétique

Rappel : 1 eV est l’énergie acquise par un électron soumis à un potentiel d’1 Volt.

Dans un potentiel de 150,4 V on a donc T=150,4 eV et donc =10^-10 m Qui est une dimension caractéristique du monde microscopique auquel appartient l’électron.

donc lorsque v devient petit,  augmente Pour obtenir une longueur d’onde

=10

m avec une masse de 1 kg, il faut une vitesse v=6,6 10

m s

!

Il faudra alors 10

années pour que l’objet parcoure 1 m, ce qui rend toute expérience impossible.

mv h

 

2) Inégalités d’Heisenberg.

Le vecteur d’onde k est lié à la quantité de mouvement de la particule.

Nous avons vu que pour avoir une onde parfaitement localisée, il fallait faire la somme d’un nombre infini d’ondes.

Chacune de ces ondes représente une certaine quantité de mouvement possible pour la particule. La quantité de mouvement est donc indéfinie.

De même, si l’on considère qu’une seule onde est associée à la

particule, on fixe très précisément sa quantité de mouvement, mais la position de la particule se retrouve indéfinie car l’onde est délocalisée.

Il y a donc difficulté pour décrire simultanément avec précision, la position et la quantité de mouvement d’une particule quantique.

Werner Heisenberg a énoncé en 1927 ce

« principe d’incertitude »

 2





 x p

Incertitude sur position Incertitude sur quantité de mouvement

La constante de Planck étant très petite dans des unités macroscopiques, cette relation, n’a pas de répercussion sur le monde macroscopique où l’on peut la négliger.

Ce principe reflète une loi de la nature et pas une impossibilité technique ! On dit que x et p sont des variables conjuguées. Il en existe d’autres, comme l’énergie et le temps :

E t 2

   

Mesurer l’incertitude ?

En physique classique, si l’on effectue un grand nombre

de mesures , a

, d’une grandeur A (position énergie, …) sur un système donné. L’incertitude sur la mesure sera égale à l’écart type entre ces mesures :

2 2

( _i ) ( ( ))_i a moy a moy a

  