MÉCANIQUE QUANTIQUE
COURS 8 – OSCILLATEUR0 HARMONIQUE QUENTIN GLORIEUX
3P001 – UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE 2015-2016
PLAN
• Oscillateur Harmonique
• Etats nombres
• Etats cohérents
• Etats comprimés
Oscillateur harmonique 2
RAPPEL0:0OSCILLATEUR0HARMONIQUE
Le Hamiltonien de l’oscillateur harmonique s’écrit :
On peut l’écrire avec des grandeurs sans dimensions en faisant le changement de variables suivant sur les observables :
On a alors :
Et la relation de commutation :
OPÉRATEURS0CRÉATION0ET0ANNIHILATION
On a que l’on cherche à factoriser.
On va étudier les quantités :
Le commutateur vaut :
On définit l’opérateur nombre par Cet opérateur hermitien satisfait :
Et on peut écrire l’Hamiltonien : Hˆ = ~!
2 ( ˆN+ 1/2) Hˆ = ~!
2
⇣Xˆ2+ ˆP2⌘
UNE0SECONDE0APPROCHE
On part de l’Hamiltonien :
On souhaite le factoriser.
Si x et p étaient des nombres on aurait une relation de la forme :
Pour des opérateurs ce n’est pas si simple ! On étudie les opérateurs
Que vaut ?
Oscillateur harmonique 5
u2+v2 = (iu+v)( iu+v)
ˆ a ˆa+
ˆ
a = 1
p2~m!(ipˆ+m!ˆx) ˆa+= 1
p2~m!( ipˆ+m!ˆx)
ˆ
a ˆa+= 1
2~m![ˆp2+ (m!x)ˆ 2] i 2~[ˆx,p]ˆ
COMMUTATION0CANONIQUE
On a :
Or on connaît la relation canonique entre x et p :
On en déduit :
Soit :
Que vaut ? et ?
Oscillateur harmonique 6
ˆ
a ˆa+= 1
2~m![ˆp2+ (m!x)ˆ 2] i 2~[ˆx,p]ˆ
[ˆx,p] =ˆ i~ ˆ
a ˆa+= 1
2~m![ˆp2+ (m!ˆx)2] +1 2 ˆ
a ˆa+= 1
~!Hˆ + 1 2 Hˆ =~!
✓ ˆ
a aˆ+ 1 2
◆
ˆ a+ˆa
Hˆ =~!
✓ ˆ
a+ˆa +1 2
◆
[ˆa ,ˆa+]
[ˆa ,ˆa+] = 1
ETATS0PROPRES
On peut écrire l’équation de Schrödinger sous la forme :
Lemme : si satisfait l’équation de Schrödinger avec la valeur propre E alors est aussi solution avec la valeur propre
Preuve :
~!
✓ ˆ
a+ˆa +1 2
◆
| i=E| i
| i
ˆ
a+| i E+~!
ˆ
a+| i
ETATS0PROPRES0
Lemme : si satisfait l’équation de Schrödinger avec la valeur propre E alors est aussi solution avec la valeur propre
Preuve :
On a donc une « machine à générer des solutions ».
Il ne reste qu’à trouver une solution et on pourra générer les solutions d’énergies supérieures avec a+ et d’énergie inférieures avec a-
| i
ˆ
a | i E ~!
ˆ a | i
CRÉATION0ET0ANNIHILATION
Oscillateur harmonique 9
Que se passe t’il lorsque l’on applique de façon répétée ?
ˆ a
RECHERCHE0D’UNE0SOLUTION0PARTICULIÈRE
On atteint le dernier barreau de l’échelle :
(les valeurs propres de sont positives ou nulles)
On en déduit :
ou
donc :
que l’on normalise :
soit et
Oscillateur harmonique 10
ˆ
a | 0i= 0 ˆ
a+aˆ
p 1 2~m!
✓
~ d
dx +m!ˆx
◆
| 0i= 0
d| 0i
dx = m!
~ xˆ| 0i
0(x) =Ae m!2~x2
QUELLE0EST0L’ÉNERGIE0DE0L’ÉTAT0 |
0i QUELLE0EST0L’ÉNERGIE0DE0L’ÉTAT0
A. 0 B. E=
C. E=
D. E=
E. On ne peut pas donner l’énergie, seulement la probabilité de trouver telle valeur.
|
0i
~!
~!/2 2~!
PREMIER0ÉTAT0EXCITÉ0
On peut maintenant gravir l’échelle pour trouver tous les états excités de l’oscillateur harmonique.
On a :
Normalisation pour le premier état excité ?
Oscillateur harmonique 13
MÉTHODE0ALGÉBRIQUE0POUR0LA0NORMALISATION
On sait que
Comment déterminer le coefficient cn?
On définit l’opérateur nombre :
Montrer que avec solution de
avec
Oscillateur harmonique 14
ˆ
a+| ni=cn| n+1i
Nˆ = ˆa+ˆa Nˆ| ni=n| ni | ni
~!
✓ ˆ
a+ˆa +1 2
◆
| ni=En| ni En=~!
✓ n+1
2
◆
MÉTHODE0ALGÉBRIQUE0POUR0LA0NORMALISATION
On a :
Calculez On en déduit
Calculez On en déduit
En déduire en fonction de ˆ
a+| ni=cn| n+1i
|ˆa+| ni|2 ˆ
a+| ni=p
n+ 1| n+1i
ˆ
a | ni=p
n| n 1i
|ˆa | ni|2
| ni | 0i
| ni= 1
pn!ˆan+| 0i
ETATS0NOMBRES
On appelle les états nombres les états propres de l’Hamiltonien.
Ce sont également les états propres de On les note
Calculez
• <E>
• ∆E
• <x>
• <p>
• ∆X∆P
Nˆ = ˆa+ˆa
| ni=|ni
ˆ
a = 1
p2~m!(iˆp+m!x)ˆ ˆ
a+= 1
p2~m!( ipˆ+m!ˆx) [ˆa ,aˆ+] = 1
ˆ
a+| ni=p
n+ 1| n+1i ˆ
a | ni=p
n| n 1i
ETATS0COHÉRENTS
On définit les états cohérents comme les états propres de l’opérateur d’annihilation :
• Déterminez l’expression d’un état cohérent sur la base des états nombres.
• Calculez
• <E>
• ∆E
• <x>
• <p>
• ∆x∆p
• Donnez l’évolution temporelle d’un état cohérent
Oscillateur harmonique 17
ˆ
a|↵i=↵|↵i
