MÉCANIQUE QUANTIQUE

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MÉCANIQUE QUANTIQUE

COURS 10 – RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE QUENTIN GLORIEUX

3P001 – UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE 2015-2016

QUIZZ

A. A B. d

C. dsa D. vxc E. wq

| i hSzi=h |Sˆz| i

| i P⁺

On considère une particule de spin 1/2 (comme l’électron) dont l’état de spin est décrit par le ket . On appelle la valeur moyenne de Sz dans l’état et la probabilité que la mesure de Sz donne le résultat +h/2.

Quelles sont les 2 expressions correctes ?

RÉSUMÉ MOMENT MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE

• On a vu que l’électron porte un moment magnétique intrinsèque

• Qu’en est il pour le noyau ?

• Le proton porte un spin :

Mais ce spin est négligeable devant celui de l’électron :

• On a : et

~

µe= eS~e e'2 qe

2me

= 2 qp

2me

Spz=±~ 2

mp me | p|⌧| e| |µpz|⌧|µez|

p'5.59 qp

2mp n' 3.83 qp

2mp

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RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE

1. Sphère de Bloch 2. Opérateur rotation 3. Principe de la RMN 4. Applications de la RMN

Résonance magnétique nucléaire 5

SYSTEME A DEUX ETATS ET SUPERPOSITION

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En dimension deux, on a de façon générale :

Pour décrire cet état, on utilise une représentation géométrique : la sphère de Bloch :

| i= cos ^✓₂ |0i + eⁱ sin ^✓₂ |1i

SPIN 1/2

Dans la base les matrices de Pauli sont :

Quelle est la projection de sur le vecteur ?

sont vecteurs propres de de valeurs propres

On a

et

Résonance magnétique nucléaire

Sˆx = ~ 2

✓0 1 1 0

◆

Sˆy = ~ 2

✓0 i

i 0

◆

Sˆz = ~ 2

✓1 0

0 1

{|+iz,| iz} ◆

~ˆ

S ~u

|+i~u,| i~u S.~~ˆu

±~/2

~ˆ S.~u= ~

2

✓ cos✓ e ^i'sin✓ e^i'sin✓ cos✓

◆

UTILITÉ DE LA SPHERE DE BLOCH

On peut toujours décrire l’état quantique d’un spin 1/2 par un point sur la sphère de Bloch :

A une phase globale pres, on peut ecrire :

L’état est entierement déterminé par (à une phase globale près) par la connaissance de

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SPHERE DE BLOCH

A.

B.

C.

D.

On considère deux vecteurs unitaires diamétralement opposés sur la sphère de Bloch ( ). On appelle respectivement

et , les vecteurs d’états associés. Quelle est la valeur du produit scalaire hermitien entre les deux vecteurs d’état ?

~

u⁰= ~u | i=|+i~u

| ⁰i=| i~u⁰

h ⁰| i= 1 h ⁰| i= 0 h ⁰| i= 1/p

(2) h ⁰| i= 1

RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE

1. Sphère de Bloch 2. Opérateur rotation 3. Principe de la RMN 4. Applications de la RMN

OPÉRATEUR ROTATION

On en déduit la forme matricielle :

On peut vérifier l’unitarité de . Rˆ↵ =

✓e ^i↵/2 0 0 e^i↵/2

◆

= exp⇣ i↵

~Sˆz

⌘ Rˆ↵

ROTATION D’UN SPIN 1/2

A.

B.

C.

D.

On applique une rotation d’un angle 2pi à un spin 1/2 intialement dans l’état avec . On appelle et l’état du systeme et sa valeur moyenne après la rotation de 2pi.

Quelles sont les 2 propositions correctes ?

| i hSi=h |Sˆ| i ^|⁰ⁱ hSˆ⁰i

| ⁰i=| i

| ⁰i= | i

hSˆ⁰i=hSˆi hSˆ⁰i= hSˆi

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RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE

1. Sphère de Bloch 2. Opérateur rotation 3. Principe de la RMN 4. Applications de la RMN

SPIN ½ DANS UN CHAMP UNIFORME

On a vu l’effet de précession de Larmor.

Le Hamiltonien s’écrit : Pour le proton :

L’effet d’un champ magnétique sur un proton est de lever la dégénerescence des états + et –

Hˆ0 = B0µˆz = B0Sˆz =!0Sˆz

B0Sˆz=!0 <0 Hˆ0 = ~!0

2

✓1 0

0 1

◆

DISPOSITIF EXPERIMENTAL

• Création d’un champ magnétique B0

• Ajout d’une petite composante oscillante B1(t) l’aide de bobines en configuration de Helmholtz

HAMILTONIEN DU PROBLEME

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RÉFÉRENTIEL TOURNANT

On se place dans un référentiel tournant autour de l’axe z à la fréquence

Dans ce référentiel, le champ B1 tournant sera fixe.

Quelle est la rotation que l’on doit faire subir à l’état pour faire cette transformation ?

!

| (t)i

EQUATION DE SCHRODINGER DANS LE REFERENTIEL TOURNANT

On a :

On cherche une équation de la forme :

avec un Hamiltonien effectif indépendant du temps.

| (t)˜ i= ˆR(t)| (t)i

i~d| (t)˜ i

dt = ˆHef f(t)| (t)˜ i

Hˆef f(t) = ˆR(t) ˆH(t) ˆR^†(t) +i~dR(t)ˆ dt Rˆ^†(t)

Hˆef f = = ~ 2

✓!0 ! !1

!1 (!0 !)

◆

= (!0 !) ˆSz+!1Sˆx

INTERPRETATION DU HAMILTONIEN EFFECTIF

On aurait pu trouver ce résultat immédiatement à l’aide d’un raisonement géométrique :

Le Hamiltonien effectif donne naissance à un champ magnétique effectif

Précession de Larmor autour de Beff à la fréquence (fréquence de Rabi) Hˆef f = = ~

2

✓!0 ! !1

!1 (!0 !)

◆

= (!0 !) ˆSz+!1Sˆx

Dans le référentiel tournant, le champ B1 est fixe et reste aligné selon l’axe x

Dans le référentiel tournant la fréquence de précession de Larmor autour de B0 n’est plus mais !0 !0 !

Hˆ_{ef f} = S.~ˆB~_{ef f} ^|

B~ef f|=|⌦/ |

⌦=q

(!0 !)²+!²₁

⌦

ANIMATION

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PROBABILITÉ DE TRANSITION

On cherche à résoudre avec

On pose

On a alors puis

On en déduit :

Proba de mesurer –h/2 sur Sz :

Hˆef f = ~ 2

✓!0 ! !1

!1 (!0 !)

◆ i~d| i

dt =H| i

| i=b+(t)|+i+b (t)| i

| (t)i

GÉOMÉTRIE DANS LA SPHERE DE BLOCH

OSCILLATIONS DE RABI

On a vu : Or (cf quizz) : On a donc

P (t) = !²₁

⌦² sin²⌦t/2

⌦= q

(!0 !)²+!²₁

!=!₀

!6=!0

SPECTROSCOPIE PAR RMN

On a vu :

En moyenne temporelle :

P (t) = !₁²

⌦² sin²⌦t/2 _⌦₌^q_(!₀ _!)²₊_!₁² P =P (t) = 1

2

!₁² (!0 !)²+!²₁